MECCANICA RAZIONALE ING. MECCANICA prof. Daniele Andreucci Prova a distanza del 15/02/2021 (1)
1. Un disco di massa m e raggio R è vincolato a giacere sul piano x3 = 0, con il centro G sulla circonferenza
x21+ x22 = L2, x3 = 0 ,
ove (O, (xi) è il sistema di riferimento fisso. Su di esso agisce la distribuzione di forze
dF = α−−→
GP × e3dS + ke1dδA,
ove dS è la misura di area sul disco, A è un punto solidale al disco che appartiene alla sua circonferenza bordo e P denota il generico punto del disco. Si tratta quindi della somma di una sollecitazione distribuita e di una forza concentrata in A. Qui α, k > 0 sono costanti e con I33 si denota il momento del disco rispetto all’asse a esso ortogonale in G.
Si usino come coordinate lagrangiane (ϕ, θ) ∈ (−π, π) × (−π, π) tali che XG= L cos ϕe1+ L sin ϕe2, −→GA = R cos θe1+ R sin θe2.
01 Dire quale è l’espressione corretta dell’energia cinetica in forma lagran- giana.
a
Tl= m
2L2˙θ2+I33
2 ϕ˙2. b
Tl= m
2L2ϕ˙2+ I33
2 ˙θ2. cNessuna delle precedenti.
02 Dire quale è la corretta espressione delle componenti lagrangiane della forza concentrata ke1dδA.
aQAϕ = −kL sin ϕ, QAθ = −kR sin θ.
b QAϕ = −kL cos θ, QAθ = −kR sin θ.
cNessuna delle precedenti.
03 Dire quale delle seguenti relazioni è soddisfatta dalle componenti la- grangiane della forza distribuita α−−→
GP × e3dS.
aQdistϕ = 0 per ogni (ϕ, θ).
b Qdistθ = 0 per ogni (ϕ, θ).
cNessuna delle precedenti.
Soluzione
I: b
Infatti per il teorema di König Tl= m
2|vG|2+1
2σGω· ω = m
2L2ϕ˙2+I33 2 ˙θ2. II: a
La parametrizzazione del generico punto del disco è
Xl(ϕ, θ, r, ψ) = (L cos ϕ + r cos(θ + ψ))e1+ (L sin ϕ + r sin(θ + ψ))e2, r ∈ [0, R], ψ ∈ [0,2π]. Dato che XA = Xl(ϕ, θ, R,0), dalla definizione di compo- nenti lagrangiane delle forze segue la a.
III: a
Usando la parametrizzazione data sopra α−−→
GP × e3= αr[sin(θ + ψ)e1− cos(θ + ψ)e2] . Poiché
∂ Xl
∂ϕ = −L sin ϕe1+ L cos ϕe2, che non dipende da ψ, l’integrale sul disco di
α−−→
GP × e3· ∂ Xl
∂ϕ si annulla. Invece
∂ Xl
∂θ = −r[sin(θ + ψ)e1− cos(θ + ψ)e2] , quindi
α−−→
GP × e3·∂ Xl
∂θ = −αr2, che non ha integrale nullo sul disco.
2. Un punto materiale (X, m) è vincolato all’elica ψ(s) = (R cos(αs), R sin(αs), hαs) , α = 1/√
R2+ h2, R, h > 0, s ∈ R. Il vincolo è scabro, con legge
|ftanvin| = µ|fnorvin| , µ > 0. Si prenda s(t) come coordinata lagrangiana.
Qui (T , N , B) denota la terna intrinseca dell’elica e k, τ curvatura e torsione rispettivamente (si ricordi che nell’elica k e τ sono costanti).
04 Sia ˙s(0) = v0 > 0, e sul punto agisca la forza F = αN (s) + βB(s) ,
con α, β ∈ R costanti. Come si devono scegliere α e β in modo da rendere minima |ftanvin| all’istante t = 0?
aα = mv20k, β = 0.
b α = β = mv02k/2.
cNessuna delle precedenti.
05 Sul punto agisce la forza F = βB, con β > 0 costante. Il moto con condizioni iniziali s(0) = 0, ˙s(0) = v0 > 0 è illimitato? (Il moto è definito finché ˙s > 0.)
aPuò esserlo, se v0 è abbastanza grande.
b No, è sempre limitato.
cNessuna delle precedenti.
06 Supponiamo che sia F = F (s) (ossia F sia posizionale). Dire quale delle seguenti affermazioni è corretta.
aLa forza vincolare tangente all’istante iniziale t = 0 è indipendente da ˙s(0).
bLa forza vincolare tangente all’istante iniziale t = 0 è indipendente da s(0).
cNessuna delle precedenti.
Soluzione I: a
Dalle equazioni di moto segue infatti
|ftanvin| = µ|fnorvin| = µp(F · B)2+ (m ˙s2k − F · N)2. II: b
L’equazione di moto è
m¨s = −µpβ2+ m2˙s4k2≤ −µβ < 0 . Quindi
˙s(t) ≤ v0− µ mβt ,
perciò ˙s si annulla per la prima volta in t = ¯t ≤ mv0/µβ; pertanto s(t) ≤ s(¯t) <
+∞.
III: c Si ha infatti
|ftanvin(0)| = µ|fnorvin(0)| = µp(F (s(0)) · B(s(0)))2+ (m ˙s(0)2k − F (s(0)) · N (s(0)))2.
3. Un’asta rigida AB di massa m e lunghezza 2L è vincolata a giacere sul piano x3 = 0, con il centro G nell’origine O del sistema di riferimento fisso.
Sull’asta agisce la forza, applicata nell’estremo B FB = α−−→
AB × e3− k(XB− Le1) . Qui α, k > 0 sono costanti.
Si usi la parametrizzazione lagrangiana
XlB= L cos ϕe1+ L sin ϕe2, ϕ ∈ (−π, π).
07 Si può definire un potenziale lagrangiano Ul∈ C2((−π, π))?
aNo.
b Solo se k = α.
cNessuna delle precedenti.
08 All’interno dell’intervallo (−π, π) quante posizioni di equilibrio esistono al massimo?
a4.
b 2.
cNessuna delle precedenti.
09 Se 2α ≤ k esiste la posizione di equilibrio ϕ0 = − arcsin2α
k ∈h
−π 2, 0
.
In questa posizione si possono definire le piccole oscillazioni?
aSì, sempre.
b Solo se 2α < k.
cNessuna delle precedenti.
Soluzione I: c
Il potenziale lagrangiano esiste sempre; la forza è posizionale quindi si ha Qϕ = Qϕ(ϕ) e
Ul(ϕ) =
ϕ
Z
0
Qϕ(θ) dθ ;
si noti che la forza non è conservativa.
II: b Si ha
FlB = 2Lα(sin ϕe1− cos ϕe2) − k(XlB(ϕ) − Le1) , cosicché
Qϕ= FlB·∂ XlB
∂ϕ = −2L2α − kL2sin ϕ . Quindi le posizioni di equilibrio sono date da
sin ϕ = −2α k .
Al massimo ci sono 2 valori di ϕ ∈ (−π, π) che soddisfano questa uguaglianza.
III: b
Dal calcolo sopra, (Ul)′= Qϕ; quindi
(Ul)′′(ϕ0) = −kL2cos ϕ0, che è negativo se e solo se ϕ0> −π/2.
4. Si consideri il moto unidimensionale m¨x = f (x) ,
con f ∈ C∞(R), e il piano delle fasi (x, p).
10 Se la curva
x2+ p2 = L2,
con L > 0 è un’orbita, quale conclusione si può trarre?
aEsiste almeno un punto di equilibrio xeq con |xeq| < L.
b Esiste almeno un punto di equilibrio xeq con |xeq| ≥ L.
cNessuna delle precedenti.
11 Se un’orbita è limitata, cioè contenuta in un insieme {(x, p) | x2+ p2≤ R2} ,
con R < +∞, e non è un punto di equilibrio, è sempre una curva chiusa.
aSì, se U (x) è una funzione limitata.
b No in generale.
cNessuna delle precedenti.
12 Si considerino due moti x1(t) e x2(t), tali che x1(t0) 6= x2(t0), ˙x1(t0) 6=
˙x2(t0) per un t0 assegnato.
aAllora i due moti hanno certamente orbite diverse.
b Se x1 e x2 hanno la stessa orbita, sono entrambi moti periodici.
cNessuna delle precedenti.
Soluzione I: a
Poiché le orbita sono curve di livello dell’energia meccanica, si ha per p = 0 U (−L) = U(L) .
Quindi in (−L, L) esiste almeno un punto critico di U.
II: b
Per esempio può essere un’orbita che connette due punti di equilibrio instabile, come nel piano delle fasi di m¨x = −k sin x.
III: c
I due moti hanno certamente la stessa orbita se sono uno traslato temporale dell’al- tro: x1(t) = x2(t−T ), T > 0, il che è compatibile con le ipotesi, indipendentemente dalla loro periodicità.
5. Un corpo rigido non degenere C si muove di moto polare intorno al polo O.
13 Se MextO (t) 6= 0 per ogni t, e il moto è una rotazione intorno a un asse principale d’inerzia in O, allora MextO (t) ha direzione costante.
aSì.
b Se è vero allora C ha ellissoide d’inerzia sferico.
cNessuna delle precedenti.
14 Supponiamo che il moto sia una rotazione uniforme non nulla intorno a un asse non principale d’inerzia in O, e che MextO (t) 6= 0 per ogni t.
a MextO (t) può essere un vettore solidale al corpo.
b MextO (t) può essere un vettore costante nel sistema fisso.
cNessuna delle precedenti.
15 Sia MextO (t) = 0 per ogni t. Dire quale delle seguenti quantità si conserva sempre in riferimento al moto alla Poinsot dell’ellissoide d’inerzia che rotola sul piano fisso Π ortogonale a LO.
aLa direzione di ω.
b La componente di ω normale a Π.
cNessuna delle precedenti.
Soluzione I: a
Si sa che nelle ipotesi fatte MextO è parallelo all’asse di rotazione, che ha direzione costante.
II: a
Supponiamo che l’asse di rotazione sia l’asse solidale u3; allora le equazioni di Eulero danno per le componenti di MextO nella base solidale (poichè ˙ω3= 0)
M1= −I23ω23, M2= I13ω23, M3= 0 .
Dunque MextO è costante nella terna solidale; poiché questa però si muove di rotazio- ne non nulla nella fissa, non può essere costante in quest’ultima (avendo componenti non nulle ortogonali all’asse di rotazione).
III: b
La normale è LO= σOω, che è costante. Quindi la componente è σOω
|σOω| · ω = 2T
|σOω|, che è costante per i noti integrali primi.
6. Si consideri un sistema di punti materiali liberi (X1, m1) , . . . , (Xn, mn) , n ≥ 100 .
Sui punti agiscono le forze esterne Fext1 , . . . , Fextn , e si assumono le usuali ipotesi sulle forze interne.
Qui Fext è la risultante delle forze esterne e MextG è il momento risultante delle forze esterne rispetto al centro di massa G. Si suppongono note le condizioni iniziali.
16 Se Fext(t) = 0 e MextG (t) = 0 per ogni t, allora le equazioni globali (o cardinali) della dinamica determinano il moto del sistema.
aIn genere no.
b Sì, se si conoscono le Fexti per ciascun i = 1, . . . , n.
cNessuna delle precedenti.
17 Supponiamo inoltre che il sistema sia rigido non degenere e che abbia quindi 6 gradi di libertà. A esso si aggiunge un altro moto Xn+1, che è vincolato da vincoli rigidi solo a p tra gli n moti precedenti.
aIn genere il numero dei gradi di libertà aumenta se p ≥ 3.
b Il numero dei gradi di libertà può diminuire.
cNessuna delle precedenti.
18 Supponiamo che il sistema sia rigido non degenere, e che si conosca il moto del centro di massa G. Allora la seconda equazione globale
dLG
dt = MextG determina il moto del sistema.
aIn genere no, a meno che MextG = 0.
b Sì.
cNessuna delle precedenti.
Soluzione I: a
Se il sistema non è rigido la conoscenza delle sole forze esterne non è sufficiente a determinare il moto dei singoli punti.
II: c
Si sa che se p ≥ 3 il numero dei gradi di libertà resta 6, perché un sistema rigido non può avere più di 6 gradi di libertà. Il numero dei gradi di libertà ovviamente non può diminuire aggiungendo un punto non altrimenti vincolato al sistema.
III: b
Infatti la seconda equazione globale si riduce alle equazioni di Eulero, che determi- nano il moto del sistema noto quello di un punto solidale.