MECCANICA RAZIONALE ING. MECCANICA prof. Daniele Andreucci Prova a distanza del 12/05/2020
1. Un cilindro di massa m, raggio R e altezza H, è vincolato a muoversi mantenendo il centro A di una delle due basi nell’origine O del sistema di riferimento fisso (O, (e
h)).
Nel centro B dell’altra base è applicata la forza F
B= k(x
1+ R)e
1, con k > 0 costante.
Il cilindro parte da fermo, con −− →
AB(0) = He
3. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere.
1) Il moto è una rotazione intorno all’asse x
2. 2) L’energia meccanica si conserva durante il moto.
3) Il momento delle quantità di moto (rispetto a A) si conserva durante il moto.
Soluzione 1. S
Scegliamo un sistema solidale S = (A, (uh)) in modo che u3=−−→
AB/H e che uh(0) = eh, h = 1, 2, 3. Nell’ipotesi che il moto sia una rotazione come indicato, il versore e1 resta sempre nel piano hu1, u3i, quindi il momento della forza è diretto lungo u2= e2. Le equazioni di Eulero sono
I11˙ω1= (I11− I33)ω2ω3,
I11˙ω2= (I33− I11)ω2ω3+ Hk(x1B(ϕ) + R) sin ϕ , I33ω33= 0 .
Qui ϕ è l’angolo (di rotazione) tra u3e e1. Quindi le equazioni hanno in effetti una soluzione ω = (0, ˙ϕ, 0) con ϕ soluzione della seconda equazione. Perciò per l’unicità di soluzioni, il moto è davvero una rotazione.
2. S
La forza applicata è conservativa.
3. N
Nei moti polari
LA= σAω= I11ϕu˙ 2.
La seconda uguaglianza vale in effetti perché il moto è una rotazione intorno a u2. Si vede infine (per esempio dalle equazioni di Eulero di cui sopra) che ˙ϕ non è costante.
2. Un punto materiale P di massa m è vincolato a muoversi sulla sfera
x
21+ x
22+ x
23= R
2,
soggetto alla forza
F = −k(x
1e
1+ x
2e
2) . Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere.
4) Gli unici punti di equilibrio sono i poli (0, 0, R) e (0, 0, −R).
5) Nella parametrizzazione lagrangiana
(x
1, x
2) ∈ Q = {(x
1, x
2) | x
21+ x
22< R
2} , x
3=
q
R
2− x
21− x
22, l’energia cinetica è
T
l= m 2
˙x
21+ ˙x
22+ R
2˙x
1˙x
2R
2− x
21− x
22. 6) Si può scrivere la lagrangiana del moto.
Soluzione 1. N
Si ha equilibrio ove le componenti lagrangiane delle forze si annullano, ossia dove il prodotto scalare tra forza e vettori tangenti alla sfera si annulla, ossia dove la forza è ortogonale alla sfera, e quindi anche sull’equatore x3= 0.
2. N
Si vede subito che per (x1, x2) vicino alla circonferenza x21 + x2 = R2 la forma quadratica data (in ( ˙x1, ˙x2)) non è definita positiva (si prenda ˙x1= − ˙x2 < 0 e si mandi x21+ x22→ R2−.
3. S
La forza è conservativa con potenziale U = −k
2(x21+ x22) ,
e quindi come è noto dalla teoria si può definire il potenziale lagrangiano.
3. Un punto P di massa m si muove sulla circonferenza x
21+ x
22= R
2, x
3= 0 . Il vincolo è scabro, tale che, se la velocità non è nulla,
|f
tanvin| = µ|f
norvin| , ove µ > 0 è costante.
Su punto agisce la forza elastica repulsiva F = k −−→
OP ,
ove O è il centro della circonferenza e k > 0 è costante.
Le condizioni iniziali sono
X (0) = Re
1, v(0) = v
0e
2,
con v
0> 0.
Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere.
7) Il punto si arresta a un istante ¯ t < mv
0/(µkR).
8) La reazione vincolare non fa lavoro.
9) Se s(t) indica l’ascissa curvilinea di P al tempo t, allora ¨ s(t) è costante.
Soluzione 1. S
La risposta richiede la scrittura delle equazioni di moto:
m¨s = fvin· T ,
mR−1˙s2= −kR + fvin· N , 0 = fvin· B .
Dunque, se s cresce nel verso antiorario, cosicché ˙s(0) = v0> 0 si ha finché il moto non si arresta
m¨s = −µ(mR−1˙s2+ kR) < −µkR . Per integrazione
m ˙s(t) < mv0− µkRt da cui l’asserto.
2. N
La reazione vincolare ha secondo la legge assegnata una componente non nulla parallela alla velocità (ossia alla tangente alla curva). Per cui il suo lavoro non è nullo.
3. N
Occorre scrivere le equazioni di moto (vedi sopra). L’equazione scalare in s mostra subito che ¨s è strettamente negativo, quindi ˙s varia e quindo lo fa anche ¨s.
4. Dire quale delle seguenti componenti lagrangiane delle forze sono conservative in senso lagrangiano e quali no.
In ogni caso ℓ = 2 e le coordinate lagrangiane sono (x, y) ∈ R
2. 10)
Q
x= xy , Q
y= x
22 + t . 11)
Q
x= x + ˙y , Q
y= x
22 + x ˙y + y . 12)
Q
x= y , Q
y= −x .
Soluzione1. S Infatti
Ul(x, y, t) = x2y 2 + yt . 2. N
Impossibile, perché le componenti dipendono dalle derivate nel tempo delle coordi- nate lagrangiane.
3. N
Non è soddisfatta la condizione di chiusura, necessaria per l’esistenza di un poten- ziale.
5. Un sistema di corpi rigidi è vincolato da vincoli olonomi fissi.
Le coordinate lagrangiane sono (ϕ, θ) ∈ (0, 2π) × (0, 2π). Qui a, b, c sono costanti positive.
Dire quali delle seguenti funzioni possono rappresentare l’energia cinetica del sistema in forma lagrangiana.
13) T
l= a ˙ ϕ
2+ b ˙θ
2+ cθ
2. 14) T
l= a
2ϕ ˙
2+ abϕ ˙ ϕ ˙θ + b
2˙θ
2. 15) T
l= a
2ϕ ˙
2+ 2ab ˙ ϕ ˙θ + b
2˙θ
2.
Soluzione1. N
Se i vincoli sono fissi l’energia cinetica deve essere una forma quadratica nelle ( ˙ϕ, ˙θ).
2. N
La forma quadratica che rappresenta la Tl deve essere definita positiva, mentre quella data ha determinante negativo per qualche ϕ.
3. N
La forma quadratica uguaglia (a ˙ϕ + b ˙θ)2 e quindi è solo semidefinita positiva.
6. Sia ϕ : I → R
3una soluzione di
˙
ϕ = F (ϕ) , con F ∈ C
1(R
3).
Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali no.
16) Se ϕ(t
1) = ϕ(t
2) per t
16= t
2, allora la funzione ϕ è periodica.
17) Se F (x
0) = 0, allora x
0è un punto di equilibrio.
18) Sia x
0di equilibrio. Allora se ϕ(¯ t) 6= x
0per un ¯ t ∈ R, vale ϕ(t) 6= x
0per ogni t ∈ R.
Soluzione 1. S
Perché ϕ(t) e ϕ(t − t1+ t2) risolvono lo stesso problema di Cauchy (con punto iniziale (t1, ϕ(t1))) e quindi coincidono per il teorema di unicità.
2. S
È la definizione di punto di equilibrio.
3. S
Altrimenti si contraddirebbe il teorema di unicità: esiste una sola soluzione che passa per il punto di equilibrio all’istante ¯t e questa è quindi quella costante.
7. Si consideri il momento delle quantità di moto L
Odi un corpo rigido C, di polo O solidale con C. Qui ω è la velocità angolare di C.
Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali no.
19) Se ω è sempre nullo durante il moto, anche L
Olo è.
20) Se L
Oè costante nel sistema fisso, allora è costante anche nel sistema
solidale.
21) Se il moto è polare, L
Oè un multiplo scalare di ω.
Soluzione 1. N
No, nel caso in oggetto vale (in genere)
LO= m(XG− XO) × Vt(XO(t), t) 6= 0 . 2. N
Nei moti polari per inerzia, per esempio, LO è sempre costante nel sistema fisso, ma è costante nel sistema solidale solo nelle rotazioni.
3. N
Nei moti polari per inerzia, per esempio, LO= σOω che non è (salvo il caso delle rotazioni) un multiplo scalare di ω.
8. Un sistema di punti materiali soggetto a vincoli olonomi lisci e fissi ha equazione di moto
¨
x = f (x) ,
ove f ∈ C
∞(R) e x ∈ R è la coordinata lagrangiana (infatti si assume ℓ = 1).
Si assume anche
f (x) ≥ x
2, x ∈ R .
Dire quali delle seguenti affermazioni è vera, con riferimento al diagramma delle orbite del moto nel piano delle fasi (x, p).
22) Le orbite (x(t), p(t)) del moto tali che p(0) = 0, x(0) 6= 0 hanno in t = 0 un punto di inversione del moto (ossia p(t) cambia segno intorno a t = 0).
23) Esiste almeno un punto di equilibrio.
24) Esistono orbite su cui p diviene illimitata.
Soluzione 1. S
Questo è vero per tutte le orbite nel piano delle fasi, a meno che non si tratti di orbite degeneri corrispondenti a punti di equilibrio, ma questo è impossibile per x 6= 0, perché per ipotesi f (x) > 0 per x 6= 0.
2. N
I punti di equilibrio corrispondono alle soluzioni di f (x) = 0, che nel nostro caso può valere al più in x = 0, ma non necessariamente; basta prendere f (x) = x2+ 1.
3. S
Si ha per x > 0
U (x) = U (0) +
x
Z
0
f (s) ds ≥ U (0) +x3 3 . Quindi per esempio le orbite date da
p =r 2
m(E + U (x)) ,
con E ∈ R qualunque, sono definite almeno in una semiretta (¯x, +∞) e soddisfano p → +∞ se x → +∞.
