MECCANICA RAZIONALE ING. MECCANICA prof. Daniele Andreucci Prova a distanza del 15/02/2021 (2)

(1)

1. Un disco di massa m e raggio R è vincolato a giacere sul piano x3 = 0, con il centro G sulla circonferenza

x²1+ x²2 = L², x3 = 0 ,

ove (O, (x_i) è il sistema di riferimento fisso. Su di esso agisce la distribuzione di forze

dF = βe3×−−→GP dS + αe1dδA,

ove dS è la misura di area sul disco, A è un punto solidale al disco che appartiene alla sua circonferenza bordo e P denota il generico punto del disco. Si tratta quindi della somma di una sollecitazione distribuita e di una forza concentrata in A. Qui α, β > 0 sono costanti e con I33 si denota il momento del disco rispetto all’asse a esso ortogonale in G.

Si usino come coordinate lagrangiane (ϕ, θ) ∈ (−π, π) × (−π, π) tali che XG= L cos θe1+ L sin θe2, −→GA = R cos ϕe1+ R sin ϕe2.

01 Dire quale è l’espressione corretta dell’energia cinetica in forma lagrangiana.

a

T^l= m

2L²˙θ²+I33

2 ϕ˙². b

T^l= m

2L²ϕ˙²+ I33

2 ˙θ². cNessuna delle precedenti.

02 Dire quale è la corretta espressione delle componenti lagrangiane della forza concentrata αe1dδA.

aQ^A_θ = −αR sin θ, Q^Aϕ = −αL sin ϕ.

b Q^A_θ = −αL sin ϕ, Q^Aϕ = −αR sin θ.

cNessuna delle precedenti.

03 Dire quale delle seguenti relazioni è soddisfatta dalle componenti lagrangiane della forza distribuita βe3×−−→GP dS.

aQ^dist_ϕ = 0 per ogni (ϕ, θ).

b Q^dist_ϕ 6= 0 per ogni (ϕ, θ).

Soluzione

(2)

I: a

Infatti per il teorema di König T^l= m

2|vG|²+1

2σ_Gω· ω = m

2L²˙θ²+I33

2 ϕ˙². II: c

La parametrizzazione del generico punto del disco è

X^l(ϕ, θ, r, ψ) = (L cos θ + r cos(ϕ + ψ))e1+ (L sin θ + r sin(ϕ + ψ))e2, r ∈ [0, R], ψ ∈ [0,2π]. Dato che XA = X^l(ϕ, θ, R,0), dalla definizione di componenti lagrangiane delle forze segue la c.

III: b

Usando la parametrizzazione data sopra βe3×−−→

GP = −βr[sin(ϕ + ψ)e¹− cos(ϕ + ψ)e²] . Si calcola

∂ X^l

∂ϕ = −r[sin(ϕ + ψ)e¹− cos(ϕ + ψ)e²] , quindi

βe3×−−→

GP ·∂ X^l

∂θ = βr², che ha integrale positivo sul disco.

2. Un punto materiale (X, m) è vincolato all’elica ψ(s) = (R cos(αs), R sin(αs), hαs) , α = 1/√

R²+ h², R, h > 0, s ∈ R. Il vincolo è scabro, con legge

|f^tanvin| = µ|f^norvin| , µ > 0. Si prenda s(t) come coordinata lagrangiana.

Qui (T , N , B) denota la terna intrinseca dell’elica e k, τ curvatura e torsione rispettivamente (si ricordi che nell’elica k e τ sono costanti).

04 Sia ˙s(0) = v0 > 0, e sul punto agisca la forza F = αN (s) + βB(s) ,

con α, β ∈ R costanti, α²+ β² = 1. Come si devono scegliere α e β in modo da rendere minima |f^tanvin| all’istante t = 0?

aα = 1, β = 0.

b α = β = 1/√ 2.

05 Sul punto non agiscono forze direttamente applicate. Il moto con condizioni iniziali s(0) = 0, ˙s(0) = v0 > 0 si arresta in un tempo finito (cioè

˙s(t) → 0 per t → t⁰< +∞)?

(3)

aNo.

b No, ma solo se v0> V > 0 con V opportuno.

06 Supponiamo che sia F = αT con α costante. Dire quale delle seguenti affermazioni è corretta.

aIl moto è indipendente da µ.

b La quantità |f^tanvin| all’istante iniziale t = 0 è indipendente da s(0).

Soluzione I: a

Dalle equazioni di moto segue infatti

|f^tan^vin|²= µ²|f^nor^vin|²= µ²[(F · B)²+ (m ˙s²k − F · N )²] = µ²[1 + (m ˙s²k)²− 2m ˙s²kα] . II: a

L’equazione di moto è

m¨s = −µm ˙s²k . Integrando per separazione delle variabili

˙s(t) = v0

1 + v0µkt, t > 0 , perciò ˙s non si annulla mai.

III: b Si ha infatti

|f^tan^vin(0)| = µ|f^nor^vin(0)| = µp(F (s(0)) · B(s(0)))²+ (m ˙s(0)²k − F (s(0)) · N (s(0)))²

= µm ˙s(0)²k .

3. Un’asta rigida AB di massa m e lunghezza 2L è vincolata a giacere sul piano x3 = 0, con il centro G nell’origine O del sistema di riferimento fisso.

Sull’asta agisce la forza, applicata nell’estremo B F_B = α−−→

AB × e³− ke². Qui α, k > 0 sono costanti.

Si usi la parametrizzazione lagrangiana

X^l_B= L cos ϕe1+ L sin ϕe2, ϕ ∈ (−π, π).

07 Si può definire un potenziale lagrangiano U^l∈ C²((−π, π))?

aNo.

b Solo se k = α.

08 Se esiste una posizione di equilibrio ϕ0 > 0 ne esiste una simmetrica

−ϕ⁰.

(4)

aSì.

b Questo dipende dalla scelta di L > 0.

09 Possono esistere infinite posizioni di equilibrio?

aSì se k = α.

b Sì, se L è sufficientemente piccolo in dipendenza degli altri parametri.

Soluzione I: c

Il potenziale lagrangiano esiste sempre; la forza è posizionale quindi si ha Qϕ = Qϕ(ϕ) e

U^l(ϕ) =

ϕ

Z

0

Qϕ(θ) dθ ;

si noti che la forza non è conservativa.

II: a Si ha

F^l_B= 2Lα(sin ϕe1− cos ϕe²) − ke², cosicché

Qϕ= F^l_B·∂ X^l_B

∂ϕ = −2L²α − kL cos ϕ . Quindi le posizioni di equilibrio ϕ0 sono date da

cos ϕ0= −2Lα k . Poiché il coseno è una funzione pari, segue l’asserto.

III: c

Come si è visto sopra, esistono al massimo 2 punti di equilibrio.

4. Si consideri il moto unidimensionale m¨x = f (x) , con f ∈ C^∞(R), e il piano delle fasi (x, p).

10 Se la curva (non chiusa, si noti)

{(x, p) | x²+ p² = L², x < L} , con L > 0 è un’orbita, quale conclusione si può trarre?

aIl punto x = L non è di equilibrio.

b Il punto x = L è di equilibrio.

11 Se un’orbita p = p(x), x ∈ J, ove J è l’intervallo aperto di definizione della funzione p(x), soddisfa p(x) > 0 per ogni x ∈ J, allora p(x) > p⁰ > 0 per ogni x ∈ J, per un p⁰> 0 opportuno.

aSì, ma solo se U ha punti di flesso.

(5)

b No in generale.

12 Se il potenziale U soddisfa U (x) → −∞ per x → ±∞, allora esiste almeno un punto di equilibrio stabile.

aSì, ne esiste esattamente uno.

b Sicuramente non ne esistono.

Soluzione I: b

Se il punto (L,0) non appartiene all’orbita, vuol dire che il moto tende a esso in un tempo infinito e il punto è di equilibrio, secondo un noto risultato teorico.

II: b

Per esempio può essere un’orbita che connette due punti di equilibrio instabile, come nel piano delle fasi di m¨x = −k sin x.

III: c

Sicuramente esiste un punto di massimo assoluto, ma non è detto che sia isolato, quindi non è detto che sia di equilibrio stabile.

5. Un corpo rigido non degenere C si muove di moto polare intorno al polo O.

13 Se M^ext_O (t) 6= 0 per ogni t, e non mantiene direzione costante, il moto può essere una rotazione intorno a un asse principale d’inerzia in O.

aSì, se C ha ellissoide d’inerzia sferico.

b Sì, se C non ha ellissoide d’inerzia sferico.

14 Se M^ext_O (t) 6= 0 per ogni t è costante nel sistema fisso, il moto può essere una rotazione uniforme non nulla intorno a un asse non principale d’inerzia in O.

aNo.

b Sì se l’ellissoide d’inerzia è sferico.

15 Sia M^ext_O (t) = 0 per ogni t. Dire quale delle seguenti quantità si conserva sempre.

aIl modulo |ω|.

b Il modulo |σOω|.

Soluzione I: c

Si sa che nelle ipotesi fatte M^ext_O è parallelo all’asse di rotazione, che ha direzione costante.

II: a

Supponiamo che l’asse di rotazione sia l’asse solidale u3; allora le equazioni di Eulero danno per le componenti di M^ext_O nella base solidale (poichè ˙ω3= 0)

M1= −I²³ω²3, M2= I13ω²3, M3= 0 .

Dunque M^ext_O è costante nella terna solidale; poiché questa però si muove di rotazione non nulla nella fissa, non può essere costante in quest’ultima (avendo componenti

(6)

non nulle ortogonali all’asse di rotazione).

III: b

Si conosce infatti l’integrale primo σOω(t) = LO(t) = LO(0).

6. Si consideri un sistema di punti materiali liberi (X1, m1) , . . . , (X_n, m_n) , n ≥ 100 .

Sui punti agiscono le forze esterne F^ext₁ , . . . , F^ext_n , e si assumono le usuali ipotesi sulle forze interne.

Qui F^ext è la risultante delle forze esterne e M^ext_G è il momento risultante delle forze esterne rispetto al centro di massa G. Si suppongono note le condizioni iniziali.

16 Sia F^ext(t) = 0 e M^ext_G (t) = 0 per ogni t. Dire quali dei seguenti moti sono determinati dalle equazioni globali della dinamica.

aIl moto di un punto del sistema, ma non di tutti.

b Il moto del centro di massa del sistema.

17 Supponiamo inoltre che il sistema sia rigido non degenere e che abbia quindi 6 gradi di libertà. A esso si aggiunge un altro moto Xn+1, che è vincolato da vincoli rigidi solo a 2 tra gli n moti precedenti.

aIl numero dei gradi di libertà aumenta.

b Il numero dei gradi di libertà può diminuire.

18 Supponiamo che il sistema sia rigido non degenere, e che si conosca il momento M^ext_G (t) come funzione del tempo. Allora si può determinare LG(t).

aSì.

b In genere no, a meno che M^ext_G = 0.

Soluzione I: b

La prima equazione globale determina il moto rettilineo uniforme del centro di massa.

II: a

Si aggiunge un grado di libertà, dovuto al fatto che il punto Xn+1può muoversi sulla circonferenza intersezione delle due sfere centrate sui 2 punti da cui Xn+1ha distanza prescritta. Il numero dei gradi di libertà ovviamente non può diminuire aggiungendo un punto non altrimenti vincolato al sistema.

III: a

Dalla seconda equazione globale

L_G(t) = LG(0) +

t

Z

0

M^ext_G (τ ) dτ .