MECCANICA RAZIONALE ING. MECCANICA prof. Daniele Andreucci Prova a distanza del 11/06/2020
1. Un cubo di massa m e spigolo L è vincolato a muoversi di moto polare con polo in un vertice A, che occupa l’origine O del sistema di riferimento fisso. Siano B il vertice opposto a A e G il centro del cubo.
Sul cubo sono applicate le forze, nei punti indicati, FB= α cos(γt)u , FG = β sin(γt)
−−→AB
|−−→
AB| × u ,
ove u è un versore solidale ortogonale alla diagonale −−→AB, e α, β, γ costanti positive.
Il cubo parte da fermo.
Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere.
1)[a1] Esiste una costante C > 0 tale che
T (t) ≤ C , per ogni t ≥ 0.
2)[a2] Il moto è una rotazione.
3)[a3] Il momento delle quantità di moto LArimane costante durante il moto.
Soluzione 1. S
Scriviamo il sistema delle equazioni di Eulero; scegliamo il sistema di riferimento solidale con origine in A e terna
u1= u , u2= u3× u1, u3=
−−→AB
|−−→
AB|. Allora si vede subito che
MextA =√
3Lu3×α cos(γt)u1+
√3L
2 u3×β sin(γt)u2=√
3Lα cos(γt)u2−
√3L
2 β sin(γt)u1. Quindi tenendo conto del teorema di Huygens, le equazioni di Eulero in A sono
I11˙ω1= (I11− I33)ω2ω3−
√3L
2 β sin(γt) , I11˙ω2= (I33− I11)ω1ω3+√
3Lα cos(γt) , I33˙ω3= 0 .
Dunque ω3(t) = 0 per ogni t e
ω(t) =
√3L
2γI11β(1 − cos(γt))u1+
√3L
γI11α sin(γt)u2.
Perciò ω si mantiene sempre limitato e T = σω · ω/2 anche.
2. N
Per il calcolo al punto precedente, ω non ha direzione costante nel sistema solidale e quindi neanche in quello fisso.
3. N
Il momento delle quantità di moto ha derivata pari al momento delle forze esterne, che non è nullo.
2. Un punto materiale P di massa m è vincolato con vincolo scabro al piano
x1+ x3 = 0 , e soggetto alla forza
F = αx1e1, con α > 0 costante.
La reazione vincolare soddisfa le usuali ipotesi di Coulomb-Morin con
|ftanvin| = µ|fnorvin| ,
µ > 0 costante. Si assuma che la velocità non sia nulla.
Si usino come coordinate lagrangiane (x1, x2) ∈ R2. Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera.
4)[b1] Il sistema di moto è costituito da due equazioni nella forma
¨
x1 = f (x1, x2) , x¨2 = g(x1, x2) . 5)[b2] Tra i moti possibili esiste un moto rettilineo uniforme.
6)[b3] Esistono condizioni iniziali
x1(0) , x2(0) , ˙x1(0) 6= 0 , ˙x2(0) 6= 0 ,
per cui non vale il teorema di esistenza e unicità del moto in un opportuno intervallo di tempo.
Soluzione 1. N
Le equazioni devono contenere anche la velocità, che dà la direzione della compo- nente tangente della reazione vincolare.
2. S
Il moto lungo l’asse x2. La reazione vincolare è nulla.
3. N
Il vincolo di attrito scabro su una superficie regolare, se la forza è regolare, conduce a un sistema per cui vale esistenza e unicità di soluzioni.
3. Si consideri un sistema formato da due moti
X1 = z1e1+ z2e2+ z3e3, X2 = z4e1+ z5e2+ z6e3,
vincolati da
f1(z) = (z1− z4)2+ (z2− z5)2− α[1 + (cos(γt))2] = 0 , f2(z) = z3− z5 = 0 ,
f3(z) = z1z6− β = 0 ,
con z = (z1, . . . , z6), t > 0 e α, β e γ costanti positive.
Si assuma come noto che il sistema di vincoli è olonomo regolare in ogni configurazione compatibile.
Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera.
7)[c1] Assumiamo che la stessa configurazione z sia compatibile in due istanti diversi, t1 e t2. Allora lo spazio degli spostamenti virtuali Vz,t1f può essere diverso da quello Vz,t2f.
8)[c2] L’ipotesi dei lavori virtuali per il sistema, nella configurazione z, può esprimersi come
(fvin1, fvin2) ∈ hv1(z), v2(z), v3(z)i ,
ove i vi(z) ∈ R6 sono opportuni vettori indipendenti dal tempo.
9)[c3] Esiste una parametrizzazione lagrangiana in cui z1 e z6 sono entrambe coordinate lagrangiane.
Soluzione 1. N
Lo spazio degli spostamenti virtuali è l’ortogonale in R6di Nz,tf = h∇zf1, ∇zf2, ∇zf3i .
Nonostante le fi dipendano dal tempo, i loro gradienti non lo fanno, quindi Nz,tf e perciò il suo ortogonale sono indipendenti da t.
2. S
L’ipotesi dei lavori virtuali afferma (fvin1, fvin2) ∈ Nz,tf, quindi vale quanto osser- vato al punto precedente.
3. N
Le due coordinate locali non possono evidentemente essere indipendenti l’una dal- l’altra, per il terzo vincolo.
4. Un punto materiale è soggetto a vincoli olonomi fissi e a forze conservative. La lagrangiana è L = Tl+ Ul, con
Tl = α ˙ϕ2+ 2(α + β) ˙ϕ ˙θ + β2˙θ2, Ul = −αϕ2− β2θ4. Qui α, β sono costanti e (ϕ, θ) ∈ R2 sono le coordinate lagrangiane.
Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è compatibile con le definizioni date sopra e le proprietà che ne seguono.
10)[d1] Si può prendere β = 0, purché α > 0.
11)[d2] Si possono prendere alcuni valori α > 0, β > 0 e in modo tale che in (ϕ, θ) = (0, 0) si possono definire le piccole oscillazioni.
12)[d3] Si possono prendere alcuni valori α > 0 e β = −α, e in (ϕ, θ) = (0, 0) si ha un equilibrio stabile.
Soluzione 1. N
L’unica cosa da controllare è che la forma quadratica di Tlsia definita positiva; la matrice associata, a parte un fattore 2, è
α α + β
α + β β2
. Se β = 0 questa non è definita positiva.
2. N
In (0, 0) il potenziale ha un massimo isolato, ma con matrice hessiana non definita negativa, quindi non si possono definire le piccole oscillazioni.
3. S
Per i valori dati, la matrice dell’energia cinetica è definita positiva, e Ulha massimo isolato in (0, 0).
5. Una lamina quadrata è vincolata a muoversi di moto polare intorno al suo centro G, con vincolo liscio.
Si sa che il momento delle forze esterne di polo G soddisfa in ogni istante MextG = αu × ω ,
ove α > 0 è una costante e u è un versore solidale alla lamina. Si assuma ω(t) 6= 0 per ogni t.
Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera.
13)[e1] L’energia cinetica si conserva durante il moto.
14)[e2] Il momento delle quantità di moto LG si conserva durante il moto.
15)[e3] Se per t = 0 sia ω che u sono ortogonali alla lamina, il moto è una rotazione.
Soluzione 1. S Si sa che
dT
dt = MextG · ω = 0 , nel presente caso in cui MextG e ω sono perpendicolari.
2. N
Per la seconda equazione globale, questo è vero solo se MextG = 0 il che in genere non è vero.
3. S
Se prendiamo un sistema di riferimento solidale con origine in G e u3 ortogonale alla lamina, allora all’istante iniziale ω e u sono paralleli a u3. Poiché questo è un asse principale, l’ipotesi che ω si mantenga parallelo a u3conduce a ω costante (dalle equazioni di Eulero), quindi l’ipotesi fatta è verificata (unicità di soluzioni) e il moto è una rotazione.
6. Consideriamo un punto materiale P di massa m vincolato con vincolo liscio a una superficie S con parametrizzazione regolare r ∈ C∞(Q), Q ⊂ R2.
Si prendano (u, v) ∈ Q come coordinate lagrangiane.
Sul punto agisce la forza posizionale F (x).
Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera.
16)[f1] Se vale su S
F(r(u, v)) = F1(r(u, v)) + g(u, v)ν(u, v) ,
con ν normale a S, g ∈ C∞(Q), e F1(x) conservativa in R3, allora l’energia meccanica si conserva lungo i moti di P .
17)[f2] Se F è ovunque nulla, e all’istante iniziale
˙u(0) 6= 0 , ˙v(0) = 0 , allora lungo il moto si ha v(t) costante.
18)[f3] Sia X(t) = ψ(s(t)) un moto di P con traiettoria ψ(s) parametrizzata dall’ascissa curvilinea s. Se T , N , B è la terna intrinseca della traiettoria, in generale sia N che B possono avere una componente tangente a S non nulla.
Soluzione 1. S
Infatti la forza è in questo caso data da una componente conservativa più una (che comprende la reazione vincolare) che fa lavoro nullo (essendo normale alla velocità).
2. N
Per esempio se S è il piano senza l’origine, e u = θ, v = ρ sono le usuali coordinate polari, il moto con le condizioni iniziali indicate è rettilineo uniforme sulla retta tangente alla circonferenza di raggio ρ(0) e centro l’origine. Quindi su di esso ρ non si mantiene costante.
3. S
Per esempio si consideri il moto su una circonferenza contenuta in una sfera che non sia un cerchio massimo. Sia N che B non sono radiali, e quindi hanno una componente tangente.
7. Un punto materiale P di massa m è soggetto al campo di forze F(x) = α cos(βx1x2x3) x
|x|, x6= 0 , con α > 0, β > 0 costanti.
Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera.
19)[g1] Il moto è piano.
20)[g2] Vale la conservazione dell’energia lungo tutti i moti di P .
21)[g3] Supponiamo che il moto non si riduca alla quiete, ma abbia velocità nulla in qualche istante. Allora la traiettoria del moto giace su una retta.
Soluzione 1. S
La forza ha direzione radiale e l’affermazione segue da un noto teorema.
2. N
Si sa che una forza a direzione radiale è conservativa se e solo se la sua componente scalare dipende solo da |x|, e questo non vale nel nostro caso.
3. S
Per la conservazione della velocità areolare, questo è l’unico caso possibile.
8. Si consideri un sistema di riferimento mobile S = (XO, M) con M di velocità angolare ω(t) rispetto alla terna fissa. Assumiamo che ω(t) 6= 0 per ogni t.
Ricordiamo la definizione del campo della velocità di trascinamento di S, Vt(x, t) = vO(t) + ω(t) × (x − XO(t)) .
Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera.
22)[h1] Il luogo dei punti x ove, all’istante t, |Vt(x, t)| è minimo, può essere una sfera di raggio positivo.
23)[h2] Per ogni istante t esiste una direzione u(t) tale che la componente di Vt(x, t) parallela a u(t) è indipendente da x.
24)[h3] Si ha sempre Vt(x, t) 6= 0 per ogni (x, t).
Soluzione 1. N
Il luogo dei punti suddetto è una retta, l’asse istantaneo di moto.
2. S
Basta prendere u(t) come il versore di ω(t); questo segue subito dalla definizione di Vt.
3. N
Se per esempio vO(t) è sempre nulla, Vt(XO, t) = 0.
