Compito di Fisica Matematica, 16/11/2009
Prof. F. Bagarello
Lo studente di 6 cfu risolva almeno quattro dei seguenti quesiti, quello di 9 cfu almeno 6:
(1) Detti l5(N) e l7(N) rispettivamente gli spazi delle successioni il cui modulo alla quinta o alla settima potenza `e sommabile verificare che l5(N) ⊂ l7(N). Costruire poi un esempio che mostri come non sia vera l’inclusione opposta.
(2) Lo studente ottenga gli zeri della funzione f (z) = e4z−3z−3/4−1 e ne determini l’ordine.
(3) Calcolare l’integrale della funzione f (z) = 2z21+1e2zlungo la curva di equazione |z − i| = 1.
(4) Verificare che le funzioni f1(x) = α(2x + sin(x)) e f2(x) = β cos(2x) sono ortogonali in L2([−1, 1]). Calcolare α e β in modo che risultino anche normalizzate.
(5) Risolvere l’equazione differenziale 2y00(t) + 5y0(t) − 3y(t) = t, con le condizioni iniziali y(0) = y0(0) = 0 usando la tecnica delle trasformate di Laplace.
(6) Dopo avere verificato che la funzione
f (x) = (
sin(x − 3π), x ∈ [−2, −1] ∪ [1, 2]
0, altrove
appartiene ad L2(R), lo studente ne calcoli la trasformata di Fourier.
(TP1) Determinare la probabilit`a che, lanciando un dado a cinque facce 3 volte, i risultati appaiano in ordine strettamente decrescente.
(TP2) Sia b ≥ 2. Verificare che la funzione
f (x) =
( x
log(b), 0 ≤ x ≤p
2 log(b);
0, altrove
`e una densit`a di probabilit`a, calcolarne la funzione cumulativa associata.
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