Compito di Fisica Matematica, 13/7/2009
Prof. F. Bagarello
Lo studente di 6 cfu risolva almeno quattro dei seguenti quesiti, quello di 9 cfu almeno 6:
(1) Detti l3(N) e l5(N) rispettivamente gli spazi delle successioni il cui modulo cubo o la cui potenza quinta `e sommabile verificare che l3(N) ⊂ l5(N). Costruire poi un esempio che mostri come non sia vera l’inclusione opposta.
(2) Lo studente ottenga gli zeri della funzione f (z) = e3z−2z−2/3−1 e ne determini l’ordine.
(3) Calcolare l’integrale della funzione f (z) = z21+1ez lungo la curva di equazione |z − i| = 32. (4) Verificare che le funzioni f1(x) = α(x + sin(x)) e f2(x) = β cos(x) sono ortogonali in L2([−1, 1]). Calcolare α e β in modo che risultino anche normalizzate.
(5) Risolvere l’equazione differenziale 2y00(t) + 5y0(t) − 3y(t) = 2 + t, con le condizioni iniziali y(0) = y0(0) = 0 usando la tecnica delle trasformate di Laplace.
(6) Dopo avere verificato che la funzione
f (x) = (
cos(x − 2π), x ∈ [−3, −1] ∪ [1, 3]
0, altrove
appartiene ad L2(R), lo studente ne calcoli la trasformata di Fourier.
(TP1) Ottenere la probabilit`a che, estraendo (e non reintroducendo) tre numeri da un’urna contenente i numeri da 1 a 15, si ottenga una sequenza crescente di numeri primi (1 compreso).
(TP2) Verificare che la funzione
f (x) = ( x
a, 0 ≤ x ≤√
2a;
0, altrove
`e una densit`a di probabilit`a, per a > 0, calcolarne la funzione cumulativa associata. Discutere il risultati al variare di a.
1
