Fisica Generale LA N.2 Prova Scritta del 22 Luglio 2010 Prof. Nicola Semprini Cesari Quesiti

(1)

Fisica Generale LA N.2

Prova Scritta del 22 Luglio 2010 Prof. Nicola Semprini Cesari Quesiti

2) Un punto materiale di massa m è vincolato a muoversi su di una circonferenza di raggio R. Trascurando gli attriti si determini l’equazione oraria del moto nel caso sia soggetto ad una forza costante tangenziale di modulo k.

4) Un sistema meccanico, in quiete su un piano orizzontale liscio, è composto da una sbarra omogenea di dimensioni trasversali trascurabili, massa 2M e lunghezza L/2, e da due punti materiali, ciascuno di massa 2M, allineati con la sbarra e situati da una stessa parte rispetto a questa. Il centro C della sbarra e ciascuno dei due punti materiali sono posti a distanza 2L l’uno dall’altro. Calcolare le espressioni: a) della distanza D del centro di massa del sistema dal centro della sbarra; b) del momento d’inerzia ICM del sistema rispetto ad un asse baricentrico perpendicolare al piano orizzontale.

5) Mostrare e commentare i passaggi che conducono alla formulazione matematica del principio di azione e reazione.

6) Enunciare e dimostrare il teorema di Konig per l’energia cinetica di un corpo rigido in rotazione attorno ad un asse fisso.

Problema

Un punto materiale P di massa M si trova nell’origine di un sistema di riferimento cartesiano con velocità v = 2v0 i + 2v0 k ed è soggetto a un campo di forza conservativo la cui energia potenziale è data dall’espressione V(x,y,z)= Ax²y + Bz - C, dove A, B e C sono costanti aventi opportune dimensioni.

Determinare le espressioni

a) del modulo dell’ accelerazione tangenziale del punto P.

b) del raggio di curvatura ρρρρ della traiettoria.

m

L

L/3 M

x L

y

O

3) Un’asta rigida e omogenea di lunghezza L e massa M è appoggiata, in equilibrio, su di un fulcro posto ad una distanza L/3 da un suo estremo. Determinare il valore della massa puntiforme m e della reazione vincolare fornita dal fulcro (mostrare i calcoli in dettaglio).

1) Dall’origine di un riferimento OXY un proiettile viene scagliato con velocità di modulo v lungo una direzione inclinata di un angolo α rispetto all’asse X. A quale altezza il proiettile colpirà la parete ?

(2)

Soluzioni Q1

2

sin 1

2 cos

cos cos

sin 1 ( ) 1

cos 2 cos ( )

2 cos

y v t gt

t L

L v t

x v t v

L L

y v g L

v v h L tg g

v α

α α α

α α α α

α

−

 = − − 

 

  =  =

 = 

 

 = −

 = −

−

 Q2

2

0 0

1 2

k k

k m s s s s s t t

m m

= ɺɺ ɺɺ= = +ɺ + Q3

) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0

2 3 3 6 3 2

) 0 3

2 2

L L L L L M

a j Mg k j mg k Mg mg m

b R k Mgk M gk R Mg k

− − ∧ − + ∧ − = − = =

− − = =

Q4

a) La distanza del CM dal centro della sbarra sulla retta che unisce i tre oggetti vale:

D= 2M ⋅0+2M ⋅2L+2M ⋅4 L 2M +2M +2M =12

6 L=2L. b)

I_s =I_sbarra +I_punto1+I_punto2; I^CM_sbarra = I_sbarra^centro +2MD² I_sbarra^centro = 2M

L2

x²dx= 4 M L

x³ 3 ₋_{L / 4}

L / 4

= 4 M L

2 3

L³ 4⋅16 =

−L / 4 +L / 4

∫

₂₄¹ ^ML²

2MD² =2M 4 L² =8ML² I^CM_sbarra = 1

24ML²+8ML² I_punto1=0

I_punto2 =2M 4 L² =8ML² I_s^CM = 1

24+8+8







ML² = 385 24 ML²

(3)

Soluzione problema

La forza F cui è soggetto il punto materiale vale: ^{F x y z}

(

^{, ,}

)

^{= −}

(

²^Axy^ι⁺^{Ax j}²⁺^Bk

)

a) Nel punto P=(0,0,0) ^{F P}

( )

^{= −}^Bk che posso scrivere in componenti intrinseche come:

0 0

0

2 2

2 2 2

2

1 1 1 1

( )

2 2 2 2 2 2

1 2

t n

t

v v k

v k

t v v

n t n k

k k

F P Bk B B Bt Bn Ma t Ma n

a B

M

ι ι

ι

ι ι

+ +

= = =

⊥ ⇒ = −

+ −

= − = − + = − + = +

= −

b) Il raggio di curvatura si ricava dalla componente normale dell’accelerazione.

2 2 2

0 0

8 8 2

1

n 2

v v Mv

a B

M ρ B

ρ ρ

= = = ⇒ =