Fisica Generale LA N.2 Prova Scritta del 22 Luglio 2011 Prof. Nicola Semprini Cesari Meccanica: quesiti

Fisica Generale LA N.2

Prova Scritta del 22 Luglio 2011 Prof. Nicola Semprini Cesari

Meccanica: quesiti

3) Stabilire se è conservativo il campo di forza  f (

r )=αr²

r , dove 

r è il vettore posizionale del generico punto P rispetto all’origine O di un riferimento cartesiano Oxyz e α è una costante, e in caso affermativo calcolare il lavoro da esso compiuto per uno spostamento del punto di applicazione della forza dal punto A di coordinate (2,0,0) al punto B di coordinate (0,0,1).

4) Determinare il momento d’inerzia di un’asta di densità di massa uniforme λ, massa M e lunghezza L, libera di ruotare attorno ad un asse passante per il suo punto di mezzo ed inclinato di un angolo α rispetto alla direzione della sbarra stessa.

5) Commentare le proprietà dei sistemi meccanici rigidi. Dimostrare la formula del momento assiale della quantità di moto.

Meccanica: problema

Determinare la relazione tra v0 ed h affinché il punto materiale raggiunga il suolo con una velocità inclinata di un angolo di ^30 rispetto alla perpendicolare.

x y

O

h

2) Un corpo di massa m cade da una quota h mentre un secondo corpo di massa m scende, dalla stessa quota, lungo un piano inclinato di un angolo α. Determinare l’intervallo temporale tra le partenze affinché i due corpi arrivino a terra contemporaneamente.

1) Tre forze di eguale modulo F sono applicate ai capi e a 2/3 della lunghezza di una sbarra omogenea di massa M e lunghezza L.

Determinare il momento totale delle forze agenti sulla sbarra rispetto al centro di massa.

Termodinamica

2) Un cilindro chiuso da un pistone scorrevole con attriti trascurabili contiene n=3 moli di gas perfetto monoatomico alla temperatura di t1=30 ⁰C in equilibrio con la pressione atmosferica esterna P0=1 atm. Successivamente il cilindro viene posto in contatto termico con un serbatoio di calore a temperatura t2=300 ⁰C fino al raggiungimento dell’equilibrio termico e sempre in equilibrio con la pressione atmosferica esterna. Calcolare le variazioni di entropia del gas e del serbatoio di calore.

3) Mostrare e commentare i passaggi che conducono dal teorema di Clausius alla introduzione del concetto di entropia ed al teorema dell’aumento dell’entropia nei sistemi termodinamici isolati.

P

V PA

P_B

V_B V_A 1) Un gas compie il ciclo di trasformazioni quasi statiche

rappresentato in figura. Sapendo che P^A = 5 bar, PB = 1 bar, V^A = 300 cm³ ed il ramo curvilineo è una trasformazione isoterma, calcolare il lavoro eseguito dal gas nel ciclo.

SOLUZIONI MECCANICA 1)

2 6 3

T

L L F L

M = − i∧F j+ i∧F j= k 2)

2 1 *

1 1 1 1

2 2 *

2 2 2 2 2

* *

2 1 2

2

1 2

2

2

1 2 2

2 sin sin sin sin

2 2 2 1

( 1)

sin sin

s h

s g t t t

g g

s L h

s g t t t

g g g

h h h

t t

g g g

α α α α

α α

= = =

= = = =

− = − = −

3) Scrivendo la forza in termini dei componenti cartesiane si verifica che il rotazionale è nullo, e quindi il campo è conservativo. Il lavoro compiuto dalla forza, diretta radialmente, è nullo lungo la traiettoria circolare con centro in O lungo la quale, con raggio 2 nel piano xz, si sposta il punto di applicazione da A = (2,0,0) a A’= (0,0,2). Resta da calcolare il lavoro compiuto per spostare il punto di applicazione da A’ a B, che si riduce ad integrare lungo l’ asse z (quindi con x e y nulle) ottenendo

 α (x²

0,0,2 0,0,1

∫

2

∫

4



  

  2 1= −15

4 α .

4)

/ 2 / 2 3

2 2 2 2 2 2

ˆ

0 0

1 1

2 ( sin ) 2 sin 2 sin sin

3 8 12

L L

I_ω =

∫

∫

Problema

2

0 0

1 ( , )

y= −h 2gt x=v t v= v −gt

il punto materiale tocca terra quando y=0 ovvero t = 2 /h g per cui la velocità al momento dell’impatto vale

0 0

( , 2h) ( , 2 )

v v g v gh

= − g = −



affinché tale velocità abbia l’inclinazione richiesta si deve avere

2

0 1 0 2

2 3 3

v v

h g

gh = =

TERMODINAMICA

1)

( )

0

ln ( )

( ) ( 1)

ln ( ) ln ( )

( 1) ln

B B

A A

A A

B B

V V

I A A B A

V V

II

V V

A III

V V B

A

A A B B A A B B B A

B

A

I A B A A A

B

A B

III A A

B A

A

I II III A A A A

B

L P dV P dV P V V

L

V L P dV n RT dV n RT

V V

ma P V n RT e P V n RT da cui P V P V V P V P L P V V P V P

P

V P

L n RT P V

V P

L L L P V P P V

P

= = = −

=

= = =

= = = =

= − = −

= =

+ + = − +

∫ ∫

∫ ∫

5 6

( ) ( ln ( ) 1)

5 5

5 10 300 10 ( ln 1) 358.58

1 1

B A A

A A

A B B

P P P

P P V P P

− J

= − − =

= × × × − − =

2)

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

2 1

1 1

2 1 2 2

1 1 1 2 2 2 1 2

1 2 1 1

2

2 1

1

( ) ln ( ) ln ( )

( ) ln ( )

V

V

T V

gas V V

T V

T V

gas V V

T V

dQ dU dL dU nC dT dL P dV nRT dV V

dQ dT dV

dS nC nR

T T V

T V

dT dV

S S nC nR n C nR

T V T V

V P T T

ma PV nRT PV nRT poichè P P

V P T T

T

dT dV

S S nC nR n C n

T V T

= + = = =

= = +

− = + = +

= = = = =

− = + = +

∫ ∫

∫ ∫

1 1 1 1

3 5

ln ( ) ln ( ) ln ( ) ln ( )

2 2

5 573.15

3 8.31 ln ( ) 39.70 /

2 303.15

T T T T

R n R nR n R

T T T T

J K

= + = =

= × × × =

2 1

2 1

2 1

2 1

2 2

( )( )

( )( )

( )( )

( )

V V

gas V

serbatoio gas V

serbatoio V

serbatoio

la frazione di calore scambiata dal gas vale

dQ nC dT PdV nC dT n R dT poichè il gas scambia calore a pressione costante

Q n C R T T

Q Q n C R T T

Q n C R T T

S S

T T

= + = +

= + −

= − = − + −

+ −

− = = − ¹

2

5 (1 )

2

5 303.15

3 8.31 (1 ) 29.36 /

2 573.15

n R T T J K

= − − =

= − × × × − = −