Fisica Generale LA N.1
Prova Scritta del 3 Febbraio 2010 Prof. Nicola Semprini Cesari Quesiti
1) Sia dato un sistema di riferimento Oxy in moto rototraslatorio rispetto al sistema O’x’y’.
Sapendo che, al tempo t =t0 le coordinate di O rispetto ad O’ sono espresse dal vettore (3, 4), gli assi x e y sono ruotati di un angolo α =30 rispetto ai corrispondenti assi x’ e y’ e Oxy possiede una velocità angolare ω=(0, 0,ω0) rispetto al sistema O’x’y’, esprimere, nel riferimento O’x’y’ (e nella notazione dei versori), la velocità del punto P del piano identificato dal vettore r=4i+5j ed in quiete nel riferimento Oxy.
2) Un punto materiale di massa m, in moto lungo l’asse x di un riferimento Oxy, è soggetto all’azione di una forza f = −Λx2. Fornire l’espressione della velocità in funzione del tempo nella ipotesi che v0 sia il suo valore al tempo t=0.
3) Sapendo che la massa M=4Kg trasla senza attrito sulla superficie di appoggio, determinare il valore di m affinchè la sua accelerazione sia diretta verso il basso e valga g/2.
4) Spiegare e commentare in che modo viene introdotto in meccanica il concetto di massa gravitazionale.
5) Commentare il principio di azione e reazione e fornire i passaggi matematici che conducono alla sua formulazione matematica (circa 1 pagina).
Problema
Un astronauta in fase di preparazione si muove sulla superficie di una piattaforma orizzontale priva di attrito, solidale ad un riferimento terrestre da considerarsi inerziale.
Egli è legato a una fune di lunghezza l1 e massa trascurabile. La fune passa attraverso un foro al centro della piattaforma ed è fissata al disotto di questa. L’astronauta, trattenuto dalla fune, ruota con velocità angolare ω1. A un certo istante la corda viene accorciata a una lunghezza l2 < l1; sia ω2 la velocità angolare dell’astronauta in questa nuova configurazione. Trattando l’astronauta come un punto materiale di massa m, si calcolino:
a) l’espressione della tensione della fune quando la velocità angolare è ω1; b) l’espressione della velocità angolare ω2;
c) l’espressione del lavoro compiuto per accorciare la fune dalla lunghezza l1 alla lunghezza l2;
d) se, mentre l’astronauta si muove lungo la circonferenza di raggio l2, la fune si spezzasse sotto l’azione di forze interne, determinare, in funzione di ω1, l1 edl2, l’espressione del modulo della velocità assunta dall’astronauta in tale circostanza.
M
m
Soluzioni
Quesito 1
'
' 0
0
0
0 0
3 1 3 1
3 ' 4 ' ' ' ' '
2 2 2 2
' 3 ' 4 ' ' (4 5 )
3 1 3 1
3 ' 4 ' ' [4( ' ') 5( ' ')]
2 2 2 2
4 3 5 5 3 1
3 ' 4 ' ' [ ' ']
2 2
4 3 5 5 3
3 ' 4 ' '
2
OO
OO
v i j i i j j j i
v v v r i j k i j
i j k i j j i
i j k i j
i j j
ω ω
ω
ω
ω ω
= + = + = −
= + + ∧ = + + ∧ + =
= + + ∧ + + − =
− +
= + + ∧ + =
= + + − −
0 0
1 ' 2
5 3 1 4 3 5
(3 ) ' (4 ) '
2 2
i
i j
ω ω
+ =
+ −
= − + +
Quesito 2
( )
2 ( ) 0
2 (0)
(0) 0
0
1 (0)
[ ] ( ) ( )
1 (0) 1
x t t
x t x x
v
dx dx x
x m dt t x t x t
dt x m x m
x t v t
m m
Λ Λ
−Λ = = − − = − = =
Λ Λ
+ +
∫ ∫
Quesito 3
2 4
2
T mg mz
m g m
T My z g g m M Kg
M m M m
z y
− =
= = − − = − = =
+ +
= −
Quesito 4
∂Fx
∂y = 2αy=∂Fy
∂x ;
∂Fx
∂z = 2αx=∂Fz
∂x ;
∂Fy
∂z = 2αz=∂Fz
∂y ;
il campo è conservativo.
V = −U = − r F⋅ dr
∫
s = − Fxdx+ Fydy+ Fzdz( x, y,0 ) ( x, y, z )
∫
( x,0,0 ) ( x, y,0 )
∫
(0,0,0 ) ( x,0,0 )
∫
= −α xy
(
2+ yz2+ zx2)
[ ]
α = ML −2T−2 ⇒ N m3Problema
a) T = mv12
l1 = mω12l1
b) K = mvl = mωl2 = cost ⇒ mω1l12 = mω2l22 ⇒ω2 =ω1 l1 l2
2
c)
L= 1
2I2ω22 −1
2I1ω12 = 1
2ml22ω22 −1
2ml12ω12 = 1
2m l22ω22 − l12ω12 =
= 1
2m l22ω12 l1 l2
4
− l12ω12
= 1
2ml12ω12 l1 l2
2
− 1
d) v2 =ω2l2 =ω1l12
l22l2 =ω1l12 l2
