Fisica Generale LA N.1
Prova Scritta del 9 Settembre 2010 Prof. Nicola Semprini Cesari
Meccanica: quesiti
1) Al tempo t=0 una carrozza ferroviaria comincia a muoversi di moto rettilineo uniformemente accelerato (a). Al tempo t=t0, da un certo punto P un osservatore a bordo della carrozza lancia lungo la verticale verso l’alto un punto materiale di massa m con velocità v=v0. Determinare a quale distanza da P il punto materiale cadrà sul pavimento della carrozza (si trascuri l’attrito dell’aria e si supponga la carrozza sufficientemente alta).
2) Due punti materiali P1 e P2 aventi la stessa massa inerziale m = 1 g sono lanciati verso l’alto, in assenza di attrito, con velocità avente lo stesso modulo v = 100 m s-1, ma rispettivamente lungo la verticale (P1) e lungo una direzione che forma un angolo di π/3 con l’orizzontale (P2). Determinare i valori delle massime quote h1 e h2 raggiunte dai due punti materiali.
4) Un campo di forza è definito in tutto lo spazio dall’espressioneF = (2k1y2z3 + k2)i + 4k1x yz3j + 6k1x y2z2k, con k1 e k2 costanti note aventi le opportune dimensioni.
Verificare se il campo è conservativo, e in tal caso determinarne l’energia potenziale V.
6) Commentare e mostrare i passaggi che conducono alla formulazione della prima equazione cardinale della meccanica.
7) Formulare e dimostrare il teorema di Konig per il momento angolare.
A s1
s2 L
L O
q x
m 3) Una massa m è libera di scorrere senza attrito lungo un’asta liscia
posta in rotazione con velocità angolare w attorno all’asse verticale tratteggiato nella figura. Determinare a quale distanza x da O si deve posizionare la massa affinché si trovi in equilibrio.
5) Una lastra quadrata di lato L è costituita da due materiali di densità superficiale s1 e s2 rispettivamente. Determinare l’angolo all’equilibrio (rispetto alla verticale) formato dalla linea di separazione dei due materiali qualora la lastra venga sospesa ad un asse normale al foglio e passante per il punto A.
Esercizio 1
2
2
0 0 0 0 0 0
2
0 0 0
2 0
( ) 1 2 ( )
( ) 1
2 ( ) 1
2
1 2
posizione e velocità del punto P della carrozza rispetto a terra
X t a t
X t a t
posizione del punto materiale rispetto a terra
x t x x t x a t x at
y t y t g t y v
durata del volo del punto materiale v t g t
=
=
= + = =
= − =
−
0
0
0 0 0
2 0 2 0
0 0 0 0
0 2
( ) ( ) 2
2 2
1 1
( ) ( ) ( )
2 2
t v g
spazio percorso in direzione arizzontale dal punto materiale
x x t t x t at v
g
spazio percorso in direzione orizzontale dal punto P della carrozza
v v
X X t t X t a t a t t a a t
g g
differ
= ∆ =
∆ = + ∆ − =
∆ = + ∆ − = ∆ + ∆ = +
2
0 2 0 0 0
0 0 2
2 2 2 2
1 ( ) 2
enza dei percorsi
v v v av
d X x a a t at
g g g g
= ∆ − ∆ = + − =
Esercizio 2
La quota massima si raggiunge a
h= 1 2
vy2
g ⇒ h1= 1 2
v12 g = 1
2
( )
100 29.81 ; 510m mentre
h2 = 1 2
v2sinπ 3
2
g = 1
2
100⋅ 3 2
2
9.81 ; 382m
Esercizio 3
2
' ' .
'
( )
Assumiamo un riferimento xy con l asse y lungo l asse di rotazione Le forze agenti sul punto materiale valgono
R R sin j R cos i
P mg j
All equilibrio si deve avere
R P m x sin i
otteniamo allora
R sin j R cos i mg j
ϑ ϑ
ω ϑ
ϑ ϑ
= −
= −
+ = −
− − =
2
2 2
2 2
( )
/
( ) ( / ) ( )
m x sin i
R sin mg R mg sin
R cos m x sin mg sin cos m x sin
g cos
x sin
ω ϑ
ϑ ϑ
ϑ ω ϑ ϑ ϑ ω ϑ
ϑ ω ϑ
−
= =
= =
−
=
Esercizio 4
∂Fx
∂y = 4k1yz3 = ∂Fy
∂x ; ∂Fx
∂z = 6k1y2z2 = ∂Fz
∂x; ∂Fy
∂z = 12k1xyz2 = ∂Fz
∂y; => campo conservativo
−V =
(
2k1y2z3+ k2)
dx(0,0,0 ) ( x,0,0 )
∫
+ 4k1xyz3dy+( x,0,0 ) ( x, y,0 )
∫
6k1xy2z2dz=( x, y,0 ) ( x, y, z )
∫
k2x+ 2k1xy2z3Esercizio 5
2 2
1 2
1 2
2 2
1 2 1 2
' '
.
/ 2
( )
4 4
4
' '
Assumiamo un riferimento xy con l origine in A e l asseY lungo la linea di separazione dei due mezzi
Il centro di massa della lastra è posizionato in
Y L
L L
L L
X L
L L
L angolo cercato altro non è che l a
σ σ σ σ
σ σ σ σ
= −
+ − −
= =
+ +
1 2
1 2
'
| | (1 )
2
ngolo formato dalla congiungente il centro di massa con l origine e la direzione verticale
arctg X arctg Y
ϑ σ σ
σ σ
= = −
+
