Fisica Generale LA N.1 Prova Scritta del 12 Gennaio 2010 Prof. Nicola Semprini Cesari Quesiti

Fisica Generale LA N.1

Prova Scritta del 12 Gennaio 2010 Prof. Nicola Semprini Cesari

Quesiti

1) Siano dati due sistemi di riferimento Oxy e O’x’y’ in quiete relativa. Sapendo che le coordinate di O rispetto ad O’ sono espresse dal vettore (2, 3)e che gli assi x e y sono ruotati di un angolo α =^30 rispetto ai corrispondenti assi x’ e y’ fornire l’espressione, nel riferimento O’x’y’ (e nella notazione dei versori), del punto P del piano identificato dal vettore r=3i+4j.

2) Un punto materiale di massa m, in moto lungo l’asse x di un riferimento Oxy, è soggetto all’azione di una forza f = −λx. Fornire l’espressione della velocità in funzione del tempo sapendo che v0 è il suo valore al

tempo t=0.

3) Sapendo che M=5 Kg determinare il valore di m affinchè la sua accelerazione sia diretta verso il basso e valga g/6.

4) ^{F x y z( , , )= −α}

(

^{3x y z2 2 +y z2 3}

)

^i−2α

(

^{x yz3 +xyz3}

)

^j−α

(

^{x y3 2+3xy z2 2}

)

^k. Stabilire se il campo di forze dato è conservativo e calcolarne, eventualmente, la funzione energia potenziale. Determinare inoltre le dimensioni e le unità di misura della costante α.

5) Spiegare e commentare in che modo viene introdotto in meccanica il concetto di massa inerziale.

6) Commentare la prima equazione cardinale della meccanica e fornire i passaggi matematici che conducono alla sua formulazione (circa 1 pagina).

Problema

Due punti materiali di massa m e 2m, disposti su una piattaforma orizzontale priva di attrito (che assumeremo come riferimento inerziale), ruotano l’uno attorno all’altro con velocità angolare di modulo ω legati da una fune (che assumeremo tesa) di lunghezza l e massa trascurabile. Calcolare (sull’asse x che congiunge i punti materiali) le espressioni: i) della distanza xG del centro di massa del punto materiale di massa m; ii) delle tensioni della fune che applicate ai punti materiali.

M m

Soluzioni

Quesito 1

'

'

3 1 3 1

2 ' 3 ' ' ' ' '

2 2 2 2

' 2 ' 3 ' 3 4

3 1 3 1

2 ' 3 ' 3( ' ') 4( ' ')

2 2 2 2

3 3 9 4 3

' '

2 2

OO

OO

r i j i i j j j i

r r r i j i j

i j i j j i

i j

= + = + = −

= + = + + + =

= + + + + − =

= + +

       



   

  

     

 

Quesito 2

( )

(0) 0

0

ln ( ) ( ) (0)

(0) ( )

x t t

t m x

mt

dx dx x t

x mx x m dt t x t x e

dt x m x m

x t v e

λ

λ

λ λ

λ λ ⁻

−

− = − = = − = − =

=

∫ ∫





  

    

 



Quesito 3

2

1 2

7 7

6 5

T mg mz

M m g M m

T Mg Mz z g g m M Kg

M m M m

− =

− −

− = = − = = =

+ +



 

Quesito 4

∂F_x

∂y = 2α

(

3x²yz+ yz³

)

^=∂_∂^Fy

x ;

∂F_x

∂z = 3α

(

x²y² + y²z²

)

^=∂_∂^Fz

x ;

∂F_y

∂z = 2α

(

x³y+ 3xyz²

)

^=∂_∂^Fz

y ;

il campo è conservativo.



V = −U = − r F⋅ dr

∫

s ^{= − Fxdx+ Fydy+ Fzdz}

( x, y,0 ) ( x, y, z )

∫

( x,0,0 ) ( x, y,0 )

∫

(0,0,0 ) ( x,0,0 )



∫

 

 = −α x

(

³y²z+ xy²z³

)

[ ]

α ^{= ML}_ ^−5T−2_{ ⇒} ^N m⁶

Problema

x_G = m⋅ 0 + 2m ⋅ l m+ 2m = 2

3l T_m = mω²²

3l= 2 3mω²l T_{2 m} = 2mω²¹

3l= 2

3mω²l =>Verifica del II principio della dinamica