Sistemi Dinamici e Meccanica Classica Scritto del 12/02/2015
Esercizio SD1. Una particella di massa unitaria si muove sull’asse x soggetta ad una forza di energia potenziale U (x) = 3 x4+ 4 x3− 12 x2
1. Tracciare qualitativamente le curve di fase del sistema.
2. Determinare le tangenti alla separatrice nel punti di equilibrio instabile e le frequenza delle piccole oscillazioni attorno ai punti di equilibrio stabile.
3. Scrivere l’integrale definito che d`a il periodo del moto con Energia E = −5.
Hint: Vale che
3 x4+ 4 x3− 12 x2+ 5 = 3 x2+ 10 x + 5 (x − 1)2.
Esercizio L. Nel piano verticale xOz, si consideri il sistema costituito dal punto P di massa m, che scorre liberamente sull’asse delle x, e dal punto Q, di uguale massa m libero di muoversi su una retta z = ax (a > 0). P e Q si attraggono con una forza elastica di costante elastica k Inoltre Q `e attratto dall’asse delle z da una forza elastica, sempre di costante k. P e Q possono muoversi senza che avvengano urti tra di loro.
Affrontare i seguenti punti:
1. Scrivere la Lagrangiana del sistema e l’equazione di Eulero-Lagrange relativa ad una delle due coordinate lagrangiane (a vostra scelta).
2. Trovare il punto di equilbrio e verificare che l’equilibrio `e stabile.
3. Posto a = 1 trovare frequenze proprie e modi normali di oscillazione attorno al punto di equilibrio.
g z=a x
z
Q
x
O P
1
Esercizio H.
a) Si consideri, in R2 con coordinate canoniche (q1, q2, p1, p2), la trasformazione ( Q1 = e12(q1−q2)
Q2 = 12(q1+ q2)
( P1 = e−12(q1−q2)p1− e−12(q1−q2)p2,
P2 = p1+ p2 (1)
Verificare che `e canonica e trovarne la funzione generatrice di seconda specie.
Determinare quali altre specie di trasformazione sono ammesse.
Esercizio SD2 – (CdL in Matematica).
Si consideri il sistema dinamico
˙x = −αx + x + y,
˙
y = −x3− 2 x + y.
dove α ≥ 0 `e un parametro reale positivo.
i) Trovare i punti di equilibrio.
ii) Determinare la stabilit`a del punto (0, 0) al variare di α in (0, +∞) utilizzando il primo di Lyapunov.
iii) Verificare che, per il minimo valore di α per il quale il primo metodo non `e applicabile (cio`e, “fallisce”), la stabilit`a si dimostra utilizzando la funzione
W = x2− xy +1
2y2+ 1 4x4.
2
