Prova scritta di meccanica razionale del 02.09.2015
Esercizio 1
Nel piano Oxy di una terna solidale Oxyz = Oˆe1eˆ2eˆ3 un sistema rigido `e composto da una piastra quadrata omogenea P = ABCD, di lato a e massa m, e da un anello circolare γ, di centro O, raggio a e densit`a:
λ(Q) = m a2
(Q − O) · ˆe2
∀ Q ∈ γ , saldati fra loro e disposti come indicato in figura (i lati AB e BC sono rispettivamente paralleli agli assi Ox e Oy). La terna Oxyz ruota con velocit`a angolare costante ω attorno all’asse verticale Oy rispetto ad un riferimen- to inerziale non disegnato in figura. Un punto materiale P di massa m `e inoltre vincolato a scorrere senza attrito lungo γ. Determinare:
(a) la massa e la posizione rispetto a Oxyz del baricentro del sistema γ ∪ P;
(b) la matrice d’inerzia relativa a Oxyz di γ ∪ P;
(c) i momenti d’inerzia di γ ∪ P relativi alle rette OA e BC;
(d) l’equazione pura del moto di P in Oxyz, usando l’angolo ϕ ∈ R evidenziato in figura;
(e) la condizione di equilibrio di P , relativa a Oxyz, in presenza di attrito radente statico di coefficiente µs.
Esercizio 2
Nel piano Oxy di una terna Oxyz con l’asse Oy verticale un disco circolare omogeneo D1, di raggio a, centro O e massa m, ruota liberamente attorno all’asse fisso Oz. Un secondo disco D2, uguale al precedente ma di centro C, rotola senza strisciare lungo il bordo interno di una guida circolare fissa γ di centro O e rag-
gio 4a. I dischi sono pesanti e una molla ide- ale di costante elastica k congiunge un punto fissato A del bordo di D1 con il centro C di D2. Resistenze viscose di uguale costante di frizione β agiscono in A e C. Come coordinate lagrangiane si usano i parametri adimensiona- li ϕ ∈ R e ϑ ∈ (−π/2, π/2) mostrati in figura (4aϑ `e la lunghezza dell’arco compreso fra il punto pi`u basso B di γ e il punto di contatto istantaneo fra γ e D2). I vincoli si assumono ideali. Infine, la terna Oxyz ruota attorno all’asse Oy con velocit`a angolare costante ω rispetto ad un riferimento inerziale non illu- strato in figura. Determinare del sistema, ri- spetto a Oxyz:
(a) gli equilibri;
(b) le propriet`a di stabilit`a degli equilibri;
(c) l’espressione dell’energia cinetica;
(d) le equazioni di Lagrange;
(e) i modi normali delle piccole oscillazioni attorno ad un equilibrio stabile per β = 0, g = 6aω2 e k = mω2.
Soluzione dell’esercizio 1 (a) Massa e baricentro Massa dell’anello γ
L’anello γ pu`o essere descritto per mezzo della parametrizzazione:
Q(ϕ) − O = a sin ϕ ˆe1− a cos ϕ ˆe2 , ϕ ∈ [0, 2π] , cui `e associato l’elemento infinitesimo di lunghezza:
ds = |Q0(ϕ)| dϕ = |a cos ϕ ˆe1 + a sin ϕ ˆe2| dϕ = a dϕ , mentre la densit`a di linea diventa:
λ(ϕ) = m
a2| − a cos ϕ| = m
a| cos ϕ| , ϕ ∈ [0, 2π] . La massa dell’anello `e quindi data dall’integrale:
mγ = Z
γ
λ ds =
2π
Z
0
m
a | cos ϕ| a dϕ = m
2π
Z
0
| cos ϕ| dϕ =
= m
"π/2 Z
0
cos ϕ dϕ −
π
Z
π/2
cos ϕ dϕ −
3π/2
Z
π
cos ϕ dϕ +
2π
Z
3π/2
cos ϕ dϕ
#
=
= m
sin ϕπ/20 −sin ϕππ/2−sin ϕ3π/2π +sin ϕ2π3π/2
=
= m1 − (−1) − (−1) + 1 = 4m .
Massa del sistema γ ∪ P
La massa del sistema costituito dall’anello γ e dalla piastra P si ottiene sommando le masse delle singole parti, visto che il punto di intersezione A costituisce un insieme di misura nulla tanto per l’anello quanto per la piastra. Si ha pertanto:
mγ∪P = mγ+ mP = 4m + m = 5m . Baricentro del sistema γ ∪ P
Il baricentro G del sistema viene determinato mediante il teorema distributivo, che porge:
G − O = mγ(Gγ − O) + mP(GP− O) mγ+ mP
dove il baricentro della piastra P coincide con il relativo centro geometrico e di simmetria:
GP− O = A − O + C − A
2 = a
√2ˆe1+ a
√2eˆ2+ a
2eˆ1 + a
2eˆ2 = 1
√2 + 1 2
a(ˆe1+ ˆe2),
mentre il baricentro dell’anello va identificato con l’origine O, a sua volta riconoscibile come centro di simmetria:
Gγ− O = 0 ,
come `e immediato verificare notando che se Q e Q? sono punti dell’anello simmetrici rispetto ad O vale:
λ(Q) = m a2
(Q − O) · ˆe2
= m
a2
−(Q?− O) · ˆe2
= m
a2
(Q? − O) · ˆe2
= λ(Q?) . Si ha pertanto:
G − O =
4m · 0 + m 1
√2 + 1 2
a(ˆe1+ ˆe2)
5m = 1
5
1
√2 + 1 2
a(ˆe1+ ˆe2) .
(b) Matrice d’inerzia
Matrice d’inerzia della piastra
La matrice d’inerzia della piastra quadrata omogenea, di massa m e lato a, rispetto alla terna baricentrale GPxyz `e ben nota:
[LPG
P] = ma2
1/12 0 0
0 1/12 0
0 0 1/6
ed il vettore posizione del baricentro GP rispetto al riferimento Oxyz si scrive:
GP− O = 1
√2 + 1 2
aˆe1+ 1
√2 + 1 2
aˆe2, in modo che le coordinate di GP in Oxyz risultano:
d1 = 1
√2 + 1 2
a d2 = 1
√2 + 1 2
a d3 = 0 .
La matrice d’inerzia di P relativa a Oxyz `e allora data dal teorema di Huygens-Steiner generalizzato:
[LPO] = [LPG
P] + mP
d22+ d23 −d1d2 −d1d3
−d1d2 d21+ d23 −d2d3
−d1d3 −d2d3 d21+ d22
=
= ma2
1/12 0
0 1/12 0
0 0 1/6
+ ma2
1
√2 + 1 2
2
− 1
√2 + 1 2
2
0
− 1
√2 + 1 2
2 1
√2 + 1 2
2
0
0 0 2 1
√2 + 1 2
2
dove vale:
1
√2 + 1 2
2
= 1 2 + 1
4 + 1
√2 = 3 4 + 1
√2 1
12 + 1
√2 + 1 2
2
= 1 12 + 3
4 + 1
√2 = 5 6 + 1
√2 1
6 + 2 1
√2 + 1 2
2
= 5 3 +√
2 , per cui:
[LPO] = ma2
5 6 + 1
√2 −3 4 − 1
√2 0
−3 4 − 1
√2 5 6 + 1
√2 0
0 0 5
3 +√ 2
.
Matrice d’inerzia dell’anello
Poich`e γ giace nel piano Oxy, ovvio piano di simmetria, ed ammette la retta Ox come asse di simmetria di massa, il riferimento cartesiano ortogonale Oxyz rappresenta una terna centrale d’inerzia dell’anello, rispetto alla quale la matrice d’inerzia assume la forma diagonale:
[LγO] =
Lγxx 0 0
0 Lγyy 0 0 0 Lγxx+ Lγyy
.
Il momento d’inerzia rispetto ad Ox risulta:
Lγxx = Z
γ
y2λ ds =
2π
Z
0
(−a cos ϕ)2m
a| cos ϕ| a dϕ = ma2
2π
Z
0
cos2ϕ | cos ϕ| dϕ =
= ma2
"π/2 Z
0
cos3ϕ dϕ −
3π/2
Z
π/2
cos3ϕ dϕ +
2π
Z
3π/2
cos3ϕ dϕ
#
ed essendo:
Z
cos3ϕ dϕ = Z
(cos ϕ − sin2ϕ cos ϕ) dϕ = sin ϕ − 1
3sin3ϕ , si riduce a:
Lγxx = ma2
1 − 1
3 −
−1 + 1
3 − 1 + 1 3
+ 1 − 1 3
= 8 3ma2. Per il momento d’inerzia relativo ad Oy si ha invece:
Lγyy = Z
γ
x2λ ds =
2π
Z
0
(a sin ϕ)2m
a | cos ϕ| a dϕ = ma2
2π
Z
0
sin2ϕ | cos ϕ| dϕ =
= ma2
"π/2 Z
0
sin2ϕ cos ϕ dϕ −
3π/2
Z
π/2
sin2ϕ cos ϕ dϕ +
2π
Z
3π/2
sin2ϕ cos ϕ dϕ
#
=
= ma2
"
1 3sin3ϕ
π/2 0
− 1 3sin3ϕ
3π/2 π/2
+ 1 3 sin3ϕ
2π 3π/2
#
=
= ma21 3 + 1
3 + 1 3 + 1
3
= 4 3ma2 e di conseguenza:
Lγxx+ Lγyy = 8
3ma2+ 4
3ma2 = 4ma2. Dunque:
[LγO] = ma2
8/3 0 0
0 4/3 0
0 0 4
.
Matrice d’inerzia del sistema γ ∪ P
La matrice d’inerzia del sistema costituito da piastra e anello `e la somma delle matrici d’inerzia relative alle singole parti componenti:
[LO] = [LPO] + [LγO] = ma2
5 6 + 1
√2 −3 4 − 1
√2 0
−3 4 − 1
√2 5 6 + 1
√2 0
0 0 5
3 +√ 2
+ ma2
8/3 0 0
0 4/3 0
0 0 4
=
= ma2
7 2 + 1
√2 −3 4 − 1
√2 0
−3 4 − 1
√2
13 6 + 1
√2 0
0 0 17
3 +√ 2
.
(c) Momenti d’inerzia di γ ∪ P
Momento d’inerzia relativo alla retta OA
La retta passa per l’origine ed `e individuata dal versore tangente:
ˆ
n = A − O
|A − O| = 1
√2eˆ1+ 1
√2eˆ2.
Il momento d’inerzia del sistema γ ∪ P rispetto ad OA risulta pertanto:
IOA = ˆn · LO(ˆn) = 1
2(1 1 0) [LO]
1 1 0
= 1
2 Lxx+ Lyy + 2Lxy =
= ma2 2
7 2 + 1
√2 + 13 6 + 1
√2 − 3 2 − 2
√2
= ma2 2
2 + 13 6
= 25 12ma2. Momento d’inerzia relativo alla retta BC
La retta BC `e parallela all’asse coordinato Oy, ma non contiene il baricentro G del sistema.
Il momento d’inerzia relativo a BC pu`o quindi essere ricavato applicando due volte il teorema di Huygens-Steiner, la prima fra la retta BC e la retta parallela Gy passante per il baricentro:
IBC = IGy+ M (xB− xG)2 e la seconda fra la retta baricentrale Gy e l’asse coordinato Oy:
IOy = IGy + M x2G.
Sottraendo membro a membro le due equazioni si ottiene la relazione:
IBC− IOy = M (xB − xG)2− M x2G nella quale `e:
M = 5m xB = a
√2 + a xG = 1
5
1
√2 + 1 2
a per cui:
IBC− IOy = 5m a
√2 + a − xG
2
− 5mx2G = 5m a
√2 + a a
√2 + a − 2xG
=
= 5ma2
1
√2 + 1
√1
2 + 1 − 2 5
1
√2 + 1 2
=
= 5ma2 1
√2 + 1 1
√2 + 1 − 2 5
√1 2 − 1
5
=
= 5ma2 1
√2 + 13 5
√1 2 + 4
5
= ma2 1
√2 + 1 3
√2 + 4
=
= ma2
3 2 + 4
√2 + 3
√2 + 4
= ma2
11 2 + 7
√2
. Il momento d’inerzia cercato vale perci`o:
IBC = IOy+ ma211 2 + 7
√2
= ma213 6 + 1
√2
+ ma211 2 + 7
√2
= ma223 3 + 8
√2
.
(d) Equazioni del moto di P
Essendo in rotazione uniforme con velocit`a angolare ωˆe2 rispetto ad un riferimento iner- ziale, la terna Oxyz non `e galileiana ed in essa agiscono forze di trascinamento e forze di Coriolis. Per il punto P il postulato delle reazioni vincolari porge perci`o l’equazione:
m ¨P = −mgˆe2− mωˆe2∧ [ωˆe2∧ (P − O)] − 2mωˆe2∧ ˙P + ~Φ (1)
dove ~Φ indica la reazione vincolare agente sul punto materiale e la posizione di questo `e individuata, in termini dell’angolo ϕ ∈ R, dalla parametrizzazione:
P (ϕ) − O = a(sin ϕ ˆe1− cos ϕ ˆe2) con derivata prima:
P0(ϕ) = a(cos ϕ ˆe1+ sin ϕ ˆe2) e versore tangente:
ˆ
τ (ϕ) = P0(ϕ)
|P0(ϕ)| = cos ϕ ˆe1+ sin ϕ ˆe2. La velocit`a e l’accelerazione istantanee del punto si scrivono inoltre:
P = P˙ 0(ϕ) ˙ϕ P = P¨ 0(ϕ) ¨ϕ + P00(ϕ) ˙ϕ2,
mentre la forza di trascinamento si riduce a quella centrifuga:
−mωˆe2∧ [ωˆe2∧ (P − O)] = mω2xˆe1 = mω2a sin ϕ ˆe1.
Per l’ipotesi dei vincoli ideali l’equazione pura del moto si ottiene proiettando la (1) lungo la direzione ˆτ tangente alla circonferenza vincolare:
m ¨P · ˆτ = −mgˆe2· ˆτ + mω2a sin ϕ ˆe1· ˆτ − 2mωˆe2∧ ˙P · ˆτ ,
dove per`o il contributo della forza di Coriolis si annulla identicamente (forza che `e ortogo- nale alla velocit`a istantanea e dunque alla curva):
−2mωˆe2∧ ˙P · ˆτ = −2mωˆe2∧ P0(ϕ) ˙ϕ · ˆτ = −2mωˆe2∧ aˆτ ˙ϕ · ˆτ = 0 ed il primo membro si riduce a:
m ¨P · ˆτ = mh
P0(ϕ) ¨ϕ + P00(ϕ) ˙ϕ2i
· ˆτ = m a
h
P0(ϕ) ¨ϕ + P00(ϕ) ˙ϕ2i
· P0(ϕ) =
= m a
h
P0(ϕ)2ϕ + P¨ 00(ϕ) · P0(ϕ) ˙ϕ2i
= m a
P0(ϕ)2ϕ +¨ 1 2
d
dϕP0(ϕ)2 ˙ϕ2
= ma ¨ϕ .
L’equazione richiesta diventa pertanto:
ma ¨ϕ = −mg sin ϕ + mω2a sin ϕ cos ϕ ovvero, in forma adimensionale:
¨
ϕ = −g
a sin ϕ + ω2sin ϕ cos ϕ .
(e) Condizione di equilibrio per P in presenza di attrito radente
Per un qualsiasi stato di quiete del punto P il postulato delle reazioni vincolari si riduce a:
0 = −mgˆe2+ mω2a sin ϕ ˆe1+ ~Φ e fornisce l’espressione della reazione vincolare agente sul punto:
Φ = −mω~ 2a sin ϕ ˆe1+ mgˆe2
di cui si devono calcolare la componente tangenziale, diretta lungo il versore ˆτ tangente alla circonferenza vincolare, e la componente ortogonale a γ, diretta lungo il versore normale
ˆ
n = ˆe3∧ ˆτ = ˆe3∧ (cos ϕ ˆe1+ sin ϕ ˆe2) = cos ϕ ˆe2− sin ϕ ˆe1 = − sin ϕ ˆe1+ cos ϕ ˆe2. La componente tangente vale:
Φ · ˆ~ τ = −mω2a sin ϕ cos ϕ + mg sin ϕ e quella ortogonale risulta:
~Φ · ˆn = mω2a sin2ϕ + mg cos ϕ .
La condizione di equilibrio `e data dalla legge di Coulomb-Morin dell’attrito radente statico:
~Φ · ˆτ
≤ µs
~Φ · ˆn
e sostituendo le relazioni precedenti diventa:
−mω2a sin ϕ cos ϕ + mg sin ϕ
≤ µs
mω2a sin2ϕ + mg cos ϕ riducibile alla forma adimensionale:
| sin ϕ|
1 − aω2 g cos ϕ
≤ µs
cos ϕ +aω2 g sin2ϕ
.
Si osservi che fra le configurazioni di equilibrio del punto materiale si hanno quelle con ϕ sufficientemente vicino a zero.
Soluzione dell’esercizio 2 (a) Equilibri
Il sistema `e scleronomo, a vincoli bilaterali ideali e soggetto a sollecitazioni in parte po- sizionali conservative, rappresentate dal peso, dalle forze centrifughe e dall’interazione elastica che la molla ideale produce fra i punti A e C, e in parte dissipative (le resistenze viscose negli stessi punti A e C). Le forze di Coriolis, che pure agiscono sui dischi, hanno componenti generalizzate nulle perch`e si esercitano ortogonalmente al piano vincolare Oxy
e devono quindi essere ignorate nello studio del sistema ideale. Per determinare il poten- ziale del sistema `e utile ricavare preliminarmente i vettori posizione dei punti A e C rispetto alla terna Oxyz:
A − O = a sin ϕ ˆe1− a cos ϕ ˆe2 C − O = 3a sin ϑˆe1− 3a cos ϑˆe2, (2) dove si `e sfruttato il fatto (ovvio) che il parametro ϑ coincide con l’angolo formato in O dal vettore posizione C − O con il semiasse Oy negativo.
Potenziale elastico
Dalle equazioni (2) segue il vettore posizione:
C − A = (3 sin ϑ − sin ϕ)aˆe1− (3 cos ϑ − cos ϕ)aˆe2
di modulo quadrato:
|C − A|2 = a2(3 sin ϑ − sin ϕ)2+ (3 cos ϑ − cos ϕ)2 =
= a2(9 + 1 − 6 sin ϑ sin ϕ − 6 cos ϑ cos ϕ) = a210 − 6 cos(ϑ − ϕ) . Il potenziale associato alla molla ideale di costante elastica k vale pertanto:
Uel = −k
2|C − A|2 = 3ka2cos(ϑ − ϕ) + costante . Potenziale gravitazionale
Il potenziale gravitazionale del sistema `e la somma dei potenziali gravitazionali dei due dischi, il primo dei quali d`a per`o contributo costantemente nullo:
−mgˆe2· (O − O) = 0 , mentre per il secondo si ha:
Ug = −mgˆe2· (C − O) = 3mga cos ϑ . Potenziale centrifugo
Il potenziale centrifugo del sistema si pu`o esprimere come somma dei contributi di D1 e di D2. Il potenziale centrifugo di D1 `e tuttavia costante:
ω2
2 IOyD1 = ω2 2
ma2
4 = ma2ω2 8 e pu`o essere ignorato, mentre per quello di D2 si ottiene:
Ucf = ω2
2 IOyD2 = ω2
2 m[(C − O) · ˆe1]2+ ICyD2
=
= ω2 2
m(3a sin ϑ)2+ ma2 4
= 9
2ma2ω2sin2ϑ + costante .
Potenziale del sistema
La somma dei potenziali elastico, gravitazionale e centrifugo definisce il potenziale del sistema che quindi, omesse le costanti additive inessenziali, si scrive:
U (ϕ, ϑ) = Uel+ Ug + Ucf = 3ka2cos(ϑ − ϕ) + 3mga cos ϑ + 9
2ma2ω2sin2ϑ con (ϕ, ϑ) ∈ R × (−π/2, π/2).
Forze viscose
Le forze viscose sono date da:
F~A = −β ˙A F~C = −β ˙C
rispettivamente applicate nei punti A e C individuati dai vettori posizione (2):
A − O = a sin ϕ ˆe1− a cos ϕ ˆe2 C − O = 3a sin ϑˆe1− 3a cos ϑˆe2, che porgono le velocit`a, relative a Oxyz:
A = a(cos ϕ ˆ˙ e1+ sin ϕ ˆe2) ˙ϕ C = 3a(cos ϑˆ˙ e1+ sin ϑˆe2) ˙ϑ .
Il metodo pi`u rapido per determinare le componenti generalizzate Dϕ e Dϑ delle forze viscose consiste nel ricavare la funzione di Rayleigh:
R = −β 2
A˙2− β 2
C˙2 = −βa2
2 ϕ˙2− 9 2βa2ϑ˙2 e derivarla parzialmente rispetto alle velocit`a generalizzate:
Dϕ = ∂R
∂ ˙ϕ = −βa2ϕ˙ Dϑ = ∂R
∂ ˙ϑ = −9βa2ϑ .˙ (3) Il sistema di sollecitazioni viscose ha natura completamente dissipativa, in quanto la potenza `e di segno non positivo:
π = Dϕϕ + D˙ ϑϑ = −βa˙ 2ϕ˙2− 9βa2ϑ˙2 ≤ 0 e si annulla unicamente per velocit`a generalizzate nulle:
π = −βa2ϕ˙2− 9βa2ϑ˙2 = 0 ⇐⇒ ( ˙ϕ, ϑ) = (0, 0) . Equilibri
Siccome le componenti lagrangiane (3) delle sollecitazioni dissipative si annullano per ( ˙ϕ, ˙ϑ) = (0, 0), esse non concorrono a determinare le configurazioni di equilibrio del si- stema, pur influenzandone la stabilit`a. Gli equilibri del sistema scleronomo a vincoli bila- terali ideali, tutti ordinari, vanno dunque identificati con i punti stazionari del potenziale U e vengono determinati uguagliando simultaneamente a zero le derivate parziali prime:
Uϕ(ϕ, ϑ) = ∂U
∂ϕ(ϕ, ϑ) = 3ka2sin(ϑ − ϕ) Uϑ(ϕ, ϑ) = ∂U
∂ϑ(ϕ, ϑ) = −3ka2sin(ϑ − ϕ) − 3mga sin ϑ + 9ma2ω2sin ϑ cos ϑ ,
cio`e risolvendo il seguente sistema di equazioni trigonometriche nel dominio indicato:
3ka2sin(ϑ − ϕ) = 0
−3ka2sin(ϑ − ϕ) − 3mga sin ϑ + 9ma2ω2sin ϑ cos ϑ = 0 (ϕ, ϑ) ∈ R×(−π/2, π/2) , che si semplifica in:
sin(ϑ − ϕ) = 0 9ma2ω2sin ϑ
− g
3aω2 + cos ϑ
= 0 (ϕ, ϑ) ∈ R × (−π/2, π/2) . (4) La seconda equazione (4) dipende dalla sola variabile ϑ e fornisce per sin ϑ = 0 due radici definite incondizionatamente:
ϑ = 0 ϑ = π ,
delle quali per`o soltanto la prima `e accettabile. Per cos ϑ = g/3aω2 si hanno invece le soluzioni:
ϑ = arccos g 3aω2
= ϑ? ϑ = −ϑ?, definite e distinte da ϑ = 0 a condizione che si abbia:
g
3aω2 < 1
ed in tal caso sempre accettabili, dal momento che ϑ? ∈ (0, π/2).
Per ϑ = 0 la prima delle (4) fornisce:
ϕ = 0 ϕ = π ,
mentre per ϑ = ϑ? si ha:
ϕ = ϑ? ϕ = ϑ?+ π
e per ϑ = −ϑ?:
ϕ = −ϑ? ϕ = −ϑ?+ π .
Il sistema ammette perci`o complessivamente 6 configurazioni di equilibrio, due delle quali definite incondizionatamente:
(ϕ, ϑ) = (0, 0) (ϕ, ϑ) = (π, 0) , (5)
e le altre quattro definite e distinte dalle precedenti per g/3aω2 < 1:
(ϕ, ϑ) = (ϑ?, ϑ?) (ϕ, ϑ) = (ϑ? + π, ϑ?)
(ϕ, ϑ) = (−ϑ?, −ϑ?) (ϕ, ϑ) = (−ϑ?+ π, −ϑ?), (6) con ϑ? = arccos(g/3aω2) ∈ (0, π/2).
(b) Stabilit`a degli equilibri
Le propriet`a di stabilit`a degli equilibri possono essere caratterizzate mediante la forma forte del teorema di Lagrange-Dirichlet, basata sui criteri di Barbasin-Krasovskii, dal mo- mento che il sistema scleronomo `e soggetto sia a sollecitazioni posizionali conservative sia a sollecitazioni completamente dissipative, e gli equilibri risultano tutti isolati perch`e in numero finito. A questo scopo si rende necessario determinare le derivate parziali seconde del potenziale:
Uϕϕ(ϕ, ϑ) = −3ka2cos(ϑ − ϕ) Uϑϕ(ϕ, ϑ) = Uϕϑ(ϕ, ϑ) = 3ka2cos(ϑ − ϕ) Uϑϑ(ϕ, ϑ) = −3ka2cos(ϑ − ϕ) − 3mga cos ϑ + 9ma2ω2(cos2ϑ − sin2ϑ)
e la relativa matrice hessiana:
HU(ϕ, ϑ) = 3ka2
− cos(ϑ − ϕ) cos(ϑ − ϕ)
cos(ϑ − ϕ) − cos(ϑ − ϕ) − mg
ka cos ϑ + 3mω2
k (cos2ϑ − sin2ϑ)
dei cui autovalori si deve ricavare il segno in ciascuna configurazione di equilibrio (5) e (6).
Configurazione (ϕ, ϑ) = (0, 0)
In questo caso l’hessiana del potenziale assume la forma:
HU(0, 0) = 3ka2
−1 1
1 −1 − mg
ka + 3mω2 k
con determinante di segno non definito:
detHU(0, 0) = (3ka2)2
mg
ka − 3mω2 k
= (3ka2)23mω2 k
g
3aω2 − 1 che richiede di considerare tre sottocasi distinti:
◦ se g/3aω2 < 1, il segno negativo del determinante implica che l’hessiana sia indefinita, con due autovalori reali di segno opposto. La presenza di un autovalore positivo esclude che l’equilibrio sia un massimo relativo proprio del potenziale e ne assicura l’instabilit`a in virt`u del teorema forte di Lagrange-Dirichlet;
◦ per g/3aω2 > 1 si ha invece detHU(0, 0) > 0, mentre l’elemento comune alla prima riga ed alla prima colonna della matrice ha segno negativo:
HU(0, 0)11 = −3ka2 < 0 .
Queste due condizioni caratterizzano la matrice hessiana come definita negativa per il criterio di Sylvester-Jacobi, ed individuano perci`o l’equilibrio come massimo relativo
proprio del potenziale. La stabilit`a asintotica segue dal teorema forte di Lagrange- Dirichlet;
◦ qualora sia g/3aω2 = 1, infine, l’hessiana ha determinante nullo e traccia negativa, risultando perci`o semidefinita non definita negativa. L’informazione non `e sufficiente ad assicurare che l’equilibrio sia un massimo relativo proprio del potenziale, n´e ad escluderlo. Ricorre un caso critico di stabilit`a, anche se rimane aperta l’eventualit`a di poter riconoscere l’equilibrio come un massimo relativo proprio di U mediante uno sviluppo di Taylor di ordine superiore al secondo, o una conveniente riscrittura della funzione potenziale.
Configurazione (ϕ, ϑ) = (π, 0)
Nella fattispecie si ha la matrice hessiana:
HU(π, 0) = 3ka2
1 − 1
−1 1 − mg
ka + 3mω2 k
ancora con determinante di segno non definito:
detHU(π, 0) = (3ka2)2
−mg
ka + 3mω2 k
= (3ka2)23mω2 k
1 − g 3aω2
e conseguente necessit`a di distinguere tre diversi sottocasi:
◦ se g/3aω2 > 1 risulta detHU(π, 0) < 0 e la matrice `e indefinita. Avendo un autovalore positivo, essa esclude che l’equilibrio possa costituire un massimo relativo proprio del potenziale e ne implica l’instabilit`a per il teorema forte di Lagrange-Dirichlet;
◦ per g/3aω2 < 1 vale invece detHU(π, 0) > 0, ma l’elemento comune alla prima riga e alla prima colonna `e positivo:
HU(π, 0)11 = 3ka2 > 0
(al pari della traccia). La matrice risulta definita positiva per il criterio di Sylvester- Jacobi e presenta pertanto entrambi gli autovalori di segno positivo: l’equilibrio `e un minimo relativo proprio del potenziale. L’instabilit`a `e assicurata dalla forma forte del teorema di Lagrange-Dirichlet;
◦ se infine g/3aω2 = 1, la matrice ha determinante nullo e traccia positiva e presenta perci`o un autovalore nullo ed uno positivo. Quest’ultimo esclude che l’equilibrio sia un massimo relativo proprio e ne comporta l’instabilit`a.
In definitiva, sebbene sia stato necessario esaminare una certa casistica, questa configu- razione di equilibrio risulta sempre instabile.
Configurazione (ϕ, ϑ) = (ϑ?, ϑ?) La matrice hessiana assume la forma:
HU(ϑ?, ϑ?) = 3ka2
−1 1
1 −1 −mg
ka cos ϑ?+ 3mω2
k (cos2ϑ?− sin2ϑ?)
con determinante positivo:
detHU(ϑ?, ϑ?) = (3ka2)2 mg
ka cos ϑ?− 3mω2
k (cos2ϑ?− sin2ϑ?)
=
= 9k2a43mω2 k
g
3aω2 cos ϑ?− cos2ϑ? + sin2ϑ?
= 27ka4mω2sin2ϑ? > 0 in quanto ϑ? ∈ (0, π/2), ed inoltre:
HU(ϑ?, ϑ?)11 = −3ka2 < 0 .
Il criterio di Sylvester-Jacobi assicura che la matrice `e definita negativa, circostanza da cui segue che l’equilibrio costituisce un massimo relativo proprio del potenziale, asintoti- camente stabile per la forma forte di Lagrange-Dirichlet.
Configurazione (ϕ, ϑ) = (ϑ? + π, ϑ?) Per questa configurazione si ha l’hessiana:
HU(ϑ?+ π, ϑ?) = 3ka2
1 − 1
−1 1 − mg
ka cos ϑ?+ 3mω2
k (cos2ϑ?− sin2ϑ?)
con determinante opposto a quello calcolato per l’equilibrio precedente:
detHU(ϑ?+π, ϑ?) = (3ka2)2
−mg
ka cos ϑ?+3mω2
k (cos2ϑ?−sin2ϑ?)
= −27ka4mω2sin2ϑ? e dunque di segno negativo. La matrice risulta indefinita, con un autovalore positivo che esclude il ricorrere di un massimo relativo proprio del potenziale nella configurazione di equilibrio ed assicura l’instabilit`a di questa per la forma forte del teorema di Lagrange- Dirichlet.
Configurazione (ϕ, ϑ) = (−ϑ?, −ϑ?)
Nella fattispecie la matrice hessiana risulta:
HU(−ϑ?, −ϑ?) = 3ka2
−1 1
1 −1 − mg
ka cos ϑ?+ 3mω2
k (cos2ϑ?− sin2ϑ?)
ed `e identica alla HU(ϑ?, ϑ?) analizzata in precedenza. Di conseguenza, quando definito, anche questo equilibrio risulta asintoticamente stabile in quanto massimo relativo proprio del potenziale.
Configurazione (ϕ, ϑ) = (−ϑ? + π, −ϑ?)
In questa caso la matrice hessiana `e uguale a quella calcolata in (ϕ, ϑ) = (ϑ?+ π, ϑ?):
HU(−ϑ?+ π, −ϑ?) = 3ka2
1 − 1
−1 1 − mg
ka cos ϑ?+ 3mω2
k (cos2ϑ?− sin2ϑ?)
e al pari di quella risulta indefinita, con determinante negativo ed autovalori di segno opposto. La presenza di un autovalore positivo esclude il ricorrere di un massimo relativo e comporta l’instabilit`a dell’equilibrio per la forma forte di Lagrange-Dirichlet.
(c) Energia cinetica
Energia cinetica del disco D1
Il disco D1 ruota di un angolo ϕ attorno all’asse fisso Oz, per cui la sua energia cinetica `e espressa dalla relazione:
TD1 = 1 2IOzD1
~ω1
2 = 1 2
ma2 2
ϕˆ˙e3
2 = ma2 4 ϕ˙2. Energia cinetica del disco D2
Il disco D2 risulta privo di punti fissi e la sua energia cinetica viene perci`o scritta mediante la formula di K¨onig:
TD2 = m 2
C˙2+ 1 2ICzD2
~ω2
2
dove:
C − O = 3a(sin ϑˆe1− cos ϑˆe2) per cui:
C = 3a(cos ϑˆ˙ e1+ sin ϑˆe2) ˙ϑ e C˙2 = 9a2ϑ˙2, ed inoltre:
ICzD2 = ma2
2 ~ω2 = −4a
a − 1 ˙ϑˆe3 = −3 ˙ϑˆe3,
per via della condizione di puro rotolamento lungo il bordo interno della circonferenza γ di raggio 4a. Si ha cos`ı:
TD2 = m
2 9a2ϑ˙2+ 1 2
ma2 2
−3 ˙ϑˆe3
2 = 9
2ma2ϑ˙2+ 9
4ma2ϑ˙2 = 27
4 ma2ϑ˙2. Energia cinetica del sistema
La somma delle energie cinetiche dei due dischi definisce l’energia cinetica del sistema, relativa a Oxyz:
T = TD1 + TD2 = ma2
4 ϕ˙2+ 27
4 ma2ϑ˙2. (7)
(d) Equazioni di Lagrange
Grazie all’ipotesi dei vincoli ideali, le equazioni pure del moto sono identificabili con quelle di Lagrange:
d dt
∂L
∂ ˙ϕ
− ∂L
∂ϕ = Dϕ d
dt
∂L
∂ ˙ϑ
− ∂L
∂ϑ = Dϑ in cui figura la lagrangiana:
L = T + U = ma2
4 ϕ˙2+ 27
4 ma2ϑ˙2+ 3ka2cos(ϑ − ϕ) + 3mga cos ϑ + 9
2ma2ω2sin2ϑ . I termini parziali dei binomi di Lagrange a primo membro si calcolano facilmente, data la semplice struttura dell’energia cinetica:
d dt
∂L
∂ ˙ϕ
= ma2
2 ϕ¨ ∂L
∂ϕ = 3ka2sin(ϑ − ϕ) d
dt
∂L
∂ ˙ϑ
= 27 2 ma2ϑ¨
∂L
∂ϑ = −3ka2sin(ϑ − ϕ) − 3mga sin ϑ + 9ma2ω2sin ϑ cos ϑ . Ricordando le espressioni (3) si ottiene cos`ı:
ma2
2 ϕ − 3ka¨ 2sin(ϑ − ϕ) = −βa2ϕ˙ 27
2 ma2ϑ + 3ka¨ 2sin(ϑ − ϕ) + 3mga sin ϑ − 9ma2ω2sin ϑ cos ϑ = −9βa2ϑ .˙ (e) Modi normali delle piccole oscillazioni
Per β = 0 le resistenze viscose vengono escluse dal sistema, che diventa posizionale con- servativo. Se si assume g = 6aω2, risulta:
g
3aω2 = 2
e le sole configurazioni di equilibrio definite per il sistema sono (ϕ, ϑ) = (0, 0) e (ϕ, ϑ) = (π, 0). La prima costituisce un massimo relativo proprio del potenziale, risultando cos`ı sta- bile per il teorema di Lagrange-Dirichlet; nella seconda, invece, l’hessiana del potenziale presenta esattamente un autovalore positivo, che ne implica l’instabilit`a per il teorema di inversione parziale di Lagrange-Dirichlet. Ne deriva che il solo equilibrio stabile nell’intorno del quale abbia senso studiare le piccole oscillazioni `e dato da (ϕ, ϑ) = (0, 0), indipendente- mente dal valore della stiffness k. Per k = mω2, tuttavia, la matrice hessiana del potenziale si semplifica ulteriormente e risulta:
HU(0, 0) = 3ka2
−1 1
1 −1 − mg
ka + 3mω2 k
!
=
= 3ka2
−1 1
1 −1 − 3mω2 k
!
= 3ka2 −1 1
1 −4
.
La matrice dell’energia cinetica `e invece indipendente dalla configurazione e si ricava im- mediatamente dall’espresione (7):
A(0, 0) = ma2 1/2 0 0 27/2
. Pulsazioni e frequenze normali
Le pulsazioni normali delle piccole oscillazioni attorno all’equilibrio considerato sono le soluzioni Ω > 0 dell’equazione caratteristica:
0 = detΩ2A(0, 0) + HU(0, 0)
=
= det
ma2Ω2 1/2 0 0 27/2
+ 3ka2 −1 1
1 −4
=
= (3ka2)2det mΩ2 3k
1/2 0 0 27/2
+ −1 1 1 −4
=
= (3ka2)2det mΩ2 6k
1 0 0 27
+ −1 1
1 −4
che, posto per brevit`a µ = mΩ2
6k e semplificato il fattore non nullo (3ka2)2, diventa:
0 =
µ − 1 1
1 27µ − 4
= (µ − 1)(27µ − 4) − 1 = 27µ2− 4µ − 27µ + 3 , ossia:
0 = 27µ2− 31µ + 3 . Questa equazione trinomia ammette le radici reali positive:
µ± = 31 ±√
312− 4 · 27 · 3
2 · 27 = 31 ±√
961 − 324
54 = 31 ±√
637 54 dalle quali si possono ricavare le pulsazioni normali Ω+ ed Ω−:
mΩ2±
6k = 31 ±√ 637
54 =⇒ Ω2± = 31 ±√
637 9
k m che risultano perci`o:
Ω+ =
p31 +√ 637 3
rk
m Ω− =
p31 −√ 637 3
rk m
con Ω+ > Ω−, la prima corrispondente al modo “alto” e la seconda al modo “basso”. Le rispettive frequenze normali si scrivono:
f+ = Ω+ 2π =
p31 +√ 637 6π
rk
m f− = Ω−
2π =
p31 −√ 637 6π
rk m.
Si osservi che, a causa della condizione k = mω2, pulsazioni e frequenze normali ammettono le espressioni alternative:
Ω+ =
p31 +√ 637
3 ω Ω− =
p31 −√ 637
3 ω
f+ =
p31 +√ 637
6π ω f− =
p31 −√ 637
6π ω .
Vettori delle ampiezze
Per ciascun modo normale il vettore delle ampiezze `e dato da una qualsiasi soluzione non nulla (a± b±)T del sistema lineare omogeneo:
µ±− 1 1 1 27µ±− 4
a± b±
= 0 0
ovvero della singola equazione linearmente indipendente:
(µ±− 1)a±+ b± = 0 , che porge, ad esempio:
a± = 1 b± = 1 − µ± = 1 − 31 ±√ 637
54 = 23 ∓√
637
54 .
Moltiplicando entrambe le componenti per 54, in modo da eliminare il denominatore in b±, si pu`o porre pi`u semplicemente:
a± = 54 b± = 23 ∓√ 637 . Modo alto
Il modo normale di oscillazione di pulsazione pi`u elevata `e espresso da:
ϕ ϑ
= A+
54
23 −√ 637
cos
p
31 +√ 637
3 ωt + α+
∀ t ∈ R
con A+ 6= 0 e α+ costanti reali arbitrarie, e vede i due parametri lagrangiani oscillare in opposizione di fase attorno ai rispettivi valori di equilibrio, causa il segno opposto delle ampiezze a+ > 0 e b+< 0.
Modo basso
Per il modo normale di pulsazione pi`u bassa vale invece l’espressione:
ϕ ϑ
= A−
54
23 +√ 637
cos
p
31 −√ 637
3 ωt + α−
∀ t ∈ R
dove A− 6= 0 e α− sono costanti reali assegnate a piacere. In questo caso i parametri lagrangiani oscillano in fase con legge sinusoidale, visto che le ampiezze a− > 0 e b− > 0 presentano lo stesso segno.
