27novembre2014 PaolaMannuccieAlviseSommariva Serie.

(1)

Serie.

Paola Mannucci e Alvise Sommariva

Universit`a degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica

(2)

Sommatorie

Notazione.

Dati n

0

, n

1

∈ Z, con n

0

≤ n

1

e a

n0

, . . . , a

n1

∈ R si pone

n1

X

k=n0

a

k

= a

n0

+ . . . + a

n1

.

Il simbolo

P si chiama

sommatoria.

Nota.

Se

(3)

(4)

Sommatorie: cambiamenti di indice

Nota.

Utilizzeremo spesso

cambiamenti di indice. Nell’esempio

−8

X

k=−10

1 k + 1

= −

1

9 −

1

8 −

1

7 posto

k = j − 10

abbiamo ad esempio che se k varia tra −10 e −8

allora da j = k + 10, necessariamente j varia tra 0 e 2. Quindi

(5)

Sommatorie: cambiamenti di indice

Nota.

Utilizzeremo spesso

cambiamenti di indice. Nell’esempio

−8

X

k=−10

1 k + 1

= −

1

9 −

1

8 −

1

7 posto

k = j − 10

abbiamo ad esempio che se k varia tra −10 e −8

allora da j = k + 10, necessariamente j varia tra 0 e 2. Quindi

(6)

Sommatorie: progressione geometrica

Si ricorda che fissato r ∈ R

1 − r

n+1

= (1 − r )(1 + r + . . . + r

n

).

(1)

Casi notevoli sono

I

n = 1: 1 − r

2

= (1 − r )(1 + r );

I

n = 2: 1 − r

4

_{= (1 − r )(1 + r + r}

2

_).

Di conseguenza, dividendo ambo i membri di (1) per 1 − r , si ricava

n

X

k=0

r

k

= 1 + r + . . . + r

n

=

1 − r

n+1

1 − r

.

(7)

Serie numeriche: definizioni

Definizione

Una

serie numerica

`

e la somma formale degli elementi di una

successione numerica {a

n

}

n∈N

. Di solito, per indicare una serie si

usano le notazioni

a

0

+ a

1

+ . . . + a

n

+ . . .

oppure

+∞

X

k=0

a

k

.

Gli elementi a

k

si chiamano

termini della serie, mentre i numeri

s

n

=

n

X

k=0

a

k

= a

0

+ a

1

+ . . . + a

n

si chiamano

somme ridotte

o

somme parziali

della serie

P

+∞

(8)

Serie numeriche (semplicemente) convergenti

Definizione

Sia {a

n

}

n∈N

una successione a valori in R. Si dice che la serie

P

+∞

k=0

a

k

`

e

(semplicemente) convergente

se `

e convergente la

successione {s

n

}

n∈N

delle somme parziali.

In tal caso, il limite

s =

lim

n→+∞

s

n

=

n→+∞

lim

n

X

k=0

a

k

si dice

somma della serie.

Si dice che la serie

I

converge

se s ∈ R;

I

diverge

se s = ±∞;

(9)

Serie numeriche convergenti e infinitesime

Teorema

Sia {a

n

}

n∈N

una successione a valori in R. Allora

+∞

X

k=0

a

k

`

e convergente

allora

lim

k

a

k

= 0.

cio`

e {a

n

}

n∈N

infinitesima.

Dimostrazione.

Se la serie `e convergente allora per un certo S ∈ R abbiamo limnsn= S e

ovviamente limnsn−1= S da cui

lim

n (sn− sn−1) = limn sn− limn sn−1= S − S = 0. (2)

Osserviamo ora che se sn=Pn_k=0ak, allora

sn− sn−1= n X k=0 ak− n−1 X k=0 ak= (an+ n−1 X k=0 ak) − n−1 X k=0 ak= an.

(10)

Serie numeriche convergenti e infinitesime

Nota.

Osserviamo che esistono serie non convergenti, ma tali che

{a

n

}

n∈N

`

e infinitesima.

Esempio

La serie

+∞

X

k=1

1 k

pur essendo infinitesima `

e

divergente

.

Esempio

La serie

P

+∞

k=1 1 √

k

pur essendo infinitesima `

e

divergente

. Infatti si

(11)

Serie numeriche: propriet`

a

Teorema

Le serie

P

+∞ k=0

a

k

e

P

+∞

k=k0

a

k

hanno lo stesso comportamento.

Definizione

La quantit`

a

+∞

X

k=n+1

a

k

si chiama

resto

n−simo della serie

P

+∞

(12)

Serie numeriche: propriet`

a

Teorema

Se

P

+∞

k=0

a

k

`

e convergente allora il resto n-simo `

e infinitesimo cio`

e

+∞

X

k=n0

a

k

→ 0

per n

0

→ ∞

.

Teorema

Se

P

+∞

k=0

a

k

,

P

+∞k=0

b

k

sono convergenti allora lo `

e pure

+∞

X

k=n0

(λa

k

+ µb

k

)

(13)

Serie numeriche: serie di Mengoli

Esempio (Serie di Mengoli)

La serie (di Mengoli)

+∞

X

k=2

1 k(k − 1)

`

e

convergente

e la sua somma vale S = 1.

(14)

Serie numeriche: serie geometrica

Esempio (Serie geometrica)

La serie (geometrica) di ragione geometrica

+∞

X

k=0

r

k

`

e

I

convergente per r ∈ (−1, 1)

e la somma vale 1/(1 − r );

I

divergente per r ∈ [1, +∞);

(15)

Serie numeriche a termini positivi

Definizione

Una serie

P

+∞

k=0

a

k

si dice

a termini positivi

se a

k

≥ 0 per ogni

k ∈ N.

Definizione

Una serie

P

+∞

k=0

a

k

si dice

a termini definitivamente positivi

se

esiste n

0

∈ N tale che a

k

≥ 0 per ogni k ∈ N, k ≥ n

0

.

Esempio

La serie

P

+∞

k=0 k−5

k3

`

e a termini definitivamente positivi (n

0

= 5).

Teorema

Sia

P

+∞

k=0

a

k

a termini definitivamente positivi. Allora

I

o converge

(16)

Serie numeriche a termini positivi: serie armonica

Definizione

La serie

P

+∞

k=1k1

si chiama

serie armonica

.

Teorema

La serie armonica `

e divergente.

Dimostrazione.

Osserviamo che essendo una serie a termini positivi,P∞

k=2n0+1 1 k > 0 per ogni n0≥ 0 e quindi ∞ X k=n0+1 1 k = 2n0 X k=n0+1 1 k + ∞ X k=2n0+1 1 k > 2n0 X k=n0+1 1 k > 2n0 X k=n0+1 1 2n0 = n0· 1 2n0 =1 2. Quindi il resto n-simo non converge a 0 altrimenti assumerebbe valori

(17)

Serie numeriche a termini positivi: criterio del confronto

Teorema

Siano {a

n

}

n∈N

, {b

n

}

n∈N

due successioni (reali) tali che

0 ≤ a

k

≤ b

k

, k ∈ N.

Allora

I

Se

P

+∞

k=0

b

k

converge

allora

P

+∞k=0

a

k

converge

.

I

Se

P

+∞ k=0

a

k

diverge

allora

P

+∞ k=0

b

k

diverge

.

Nota.

I

Se

P

+∞

k=0

a

k

converge

allora non si pu`

o dire che

P

+∞

k=0

b

k

converge

.

I

Se

P

+∞

k=0

b

k

diverge

allora non si pu`

o dire che

P

+∞

k=0

a

k

diverge

.

Pensare alle serie

P

+∞

k=1

(1/k

2

) e

P

+∞

(18)

Serie numeriche a termini positivi: criterio del confronto

Esempio

La serie

P

+∞ k=1b k k

diverge per b > 1.

Traccia.

(19)

Serie numeriche a termini positivi: serie armonica

generalizzata

Definizione

La serie

+∞

X

k=1

1 k

α

, α ∈ R

`

e detta

serie armonica generalizzata.

Teorema

La serie armonica generalizzata ha il seguente comportamento

I

diverge

per

α ∈ (−∞, 1]

;

(20)

Serie numeriche a termini positivi: serie armonica

% SULLA SERIE ARMONICA sum ( 1 / n )

N : 1 . 0 e+02 SOMMA : 5 . 1 8 7 3 7 7 5 1 7 6 3 9 6 2 1 e+00 N : 1 . 0 e+03 SOMMA : 7 . 4 8 5 4 7 0 8 6 0 5 5 0 3 4 3 e+00 N : 1 . 0 e+04 SOMMA : 9 . 7 8 7 6 0 6 0 3 6 0 4 4 3 4 8 e+00 N : 1 . 0 e+05 SOMMA : 1 . 2 0 9 0 1 4 6 1 2 9 8 6 3 4 5 e+01 N : 1 . 0 e+06 SOMMA : 1 . 4 3 9 2 7 2 6 7 2 2 8 6 5 8 1 e+01 N : 1 . 0 e+07 SOMMA : 1 . 6 6 9 5 3 1 1 3 6 5 8 5 8 5 1 e+01 N : 1 . 0 e+08 SOMMA : 1 . 8 9 9 7 8 9 6 4 1 3 8 5 3 0 1 e+01

Nella tabella valutiamo la somma

P

N

k=1 1k

, per

(21)

Serie numeriche a termini positivi: serie armonica

generalizzata

% SULLA SERIE ARMONICA sum ( 1 / n ˆ 2 )

Nella tabella valutiamo la somma

P

N

k=1 1 k2

, per

(22)

Serie numeriche a termini positivi: confronto asintotico

Teorema (Confronto asintotico)

Siano {a

k

}

k∈N

, {b

k

}

k∈N

due successioni

definitivamente positive

.

Se a

n

∼ b

n

, cio`

e

lim

n

a

n

b

n

= 1

allora le serie

P

+∞

k=0

a

k

,

P

+∞k=0

b

k

hanno

lo stesso comportamento

.

Nota.

(23)

(24)

Serie numeriche a termini positivi: confronto asintotico.

Esempio 1

Quindi, per il criterio di confronto asintotico, la serie ha lo stesso comportamento di +∞ X k=1 k4.5 3k6 = 1 3 +∞ X k=1 1 k1.5

che converge in quanto la serieP+∞ k=1

1

k1.5 `e una serie armonica generalizzata P+∞

k=1 1

(25)

Serie numeriche a termini positivi: confronto asintotico.

Esempio 1

Nella tabella valutiamo la somma

P

+∞

k=1

k3.5_+k4.5

(26)

Serie numeriche a termini positivi: confronto asintotico.

Esempio 2

La serie converge come

P

+∞

k=1 3k11.5

ma per valori piccoli le

successioni sono leggermente diverse.

N : 4 . 0 e+00 a b s( a_n−b_n ) : 1 . 0 e−02 N : 3 . 6 e+01 a b s( a_n−b_n ) : 4 . 3 e−05 N : 4 . 1 e+02 a b s( a_n−b_n ) : 9 . 9 e−08 N : 4 . 6 e+03 a b s( a_n−b_n ) : 2 . 3 e−10 N : 5 . 3 e+04 a b s( a_n−b_n ) : 5 . 2 e−13 N : 6 . 0 e+05 a b s( a_n−b_n ) : 1 . 2 e−15 N : 6 . 8 e+06 a b s( a_n−b_n ) : 2 . 8 e−18 N : 7 . 7 e+07 a b s( a_n−b_n ) : 6 . 3 e−21 N : 8 . 8 e+08 a b s( a_n−b_n ) : 1 . 5 e−23 N : 1 . 0 e+10 a b s( a_n−b_n ) : 3 . 3 e−26

(27)

Serie numeriche a termini positivi: confronto asintotico.

Esempio 2

Esempio

La serie

P

+∞ k=1 log(k+1)−log(k)_√ 4k2₊₃

converge.

Traccia.

Distinguiamo il numeratore dal denominatore.

I

A numeratore, osserviamo che

log(k + 1) − log (k) = log((k + 1)/k) = log(1 + (1/k)). Posto

t = 1/k se k → +∞ allora t → 0

+

. Dalla tabella degli

infinitesimi log(1 + t) ∼ t e quindi

log(1 + (1/k)) ∼ (1/k)

.

I

A denominatore osserviamo che

p

(28)

Serie numeriche a termini positivi: confronto asintotico.

Esempio 2

Di conseguenza

log(k + 1) − log(k)

√

4k

2

_{+ 3}

∼

(1/k)

2k

=

1 2k

2

.

Che sia una serie a termini positivi, lo si vede direttamente, in

quanto il logaritmo `

e crescente e pure la radice quadrata, come

affidandosi all’asintotico

_2k12

che `

e ovviamente positivo.

Quindi la serie richiesta converge in quanto lo `

e la serie

+∞

X

k=1

1 2k

2

=

1

2

+∞

X

k=1

1 k

2

dove

1₂

P

+∞

k=1 k12

`

e una serie armonica generalizzata

P

+∞

(29)

Serie numeriche a termini positivi: confronto asintotico.

Esempio 2

N : 1 . 0 e+02 SOMMA : 5 . 2 7 8 5 2 7 1 5 2 9 3 2 7 7 3 e−01 N : 1 . 0 e+03 SOMMA : 5 . 3 2 3 1 5 7 9 0 8 8 3 8 6 1 3 e−01 N : 1 . 0 e+04 SOMMA : 5 . 3 2 7 6 5 4 1 9 8 3 4 9 8 7 4 e−01 N : 1 . 0 e+05 SOMMA : 5 . 3 2 8 1 0 4 1 6 1 2 2 6 7 2 2 e−01 N : 1 . 0 e+06 SOMMA : 5 . 3 2 8 1 4 9 1 6 0 8 5 5 5 6 2 e−01 N : 1 . 0 e+07 SOMMA : 5 . 3 2 8 1 5 3 6 6 0 8 5 1 3 7 7 e−01 N : 1 . 0 e+08 SOMMA : 5 . 3 2 8 1 5 4 1 1 0 6 0 4 8 0 7 e−01

Nella tabella valutiamo la somma

P

+∞

k=1

(30)

Serie numeriche a termini positivi: confronto asintotico.

Esempio 2

La serie converge come

P

+∞

k=1 2k12

ma per valori piccoli le

successioni sono leggermente diverse.

N : 4 . 0 e+00 a b s( a_n−b_n ) : 4 . 0 e−03 N : 3 . 6 e+01 a b s( a_n−b_n ) : 5 . 4 e−06 N : 4 . 1 e+02 a b s( a_n−b_n ) : 3 . 7 e−09 N : 4 . 6 e+03 a b s( a_n−b_n ) : 2 . 5 e−12 N : 5 . 3 e+04 a b s( a_n−b_n ) : 1 . 7 e−15 N : 6 . 0 e+05 a b s( a_n−b_n ) : 1 . 2 e−18 N : 6 . 8 e+06 a b s( a_n−b_n ) : 8 . 1 e−22 N : 7 . 7 e+07 a b s( a_n−b_n ) : 1 . 9 e−24 N : 8 . 8 e+08 a b s( a_n−b_n ) : 1 . 7 e−25 N : 1 . 0 e+10 a b s( a_n−b_n ) : 8 . 8 e−26

(31)

Facoltativo. Serie numeriche a termini positivi: criterio di

condensazione.

Teorema (Criterio di condensazione)

Sia {ak}k∈Nuna successione

I definitivamente positiva;

I definitivamente decrescente. Allora le serieP+∞

k=0ak,P

+∞

k=0a2k2k hannolo stesso comportamento.

Esempio

Consideriamo la serie positiva e decrescente

+∞

X

k=2

1 k logβ(k)

con β > 0. Per il criterio di condensazione, ha lo stesso comportamento di

+∞ X k=2 2k 2k_logβ (2k₎ = +∞ X k=2 1 (log(2k₎₎β = +∞ X k=2 1 kβ_(log(2))β

(32)

Serie numeriche a termini positivi: criterio del rapporto

Teorema (Criterio del rapporto)

Sia {a

k

}

k∈N

una successione

definitivamente strettamente positiva

cio`

e a

k

> 0 definitivamente.

I

Se esiste r ∈ (0, 1) tale che

a

k+1

a

k

≤ r

definitivamente, allora la serie

P

+∞

k=0

a

k

converge

.

I

Se

a

k+1

a

k

≥ 1

definitivamente, allora la serie

P

+∞

(33)

Serie numeriche a termini positivi: criterio del rapporto

Corollario (Criterio del rapporto)

Sia {ak}k∈Nuna successionedefinitivamente strettamente positivacio`e

ak > 0 definitivamente.

I Se esiste r ∈ [0, 1) tale che lim k ak+1 ak = r allora la serieP+∞ k=0ak converge. I Se lim k ak+1 ak > 1 allora la serieP+∞ k=0ak diverge.

Nota.

Si osservi che il fatto che se limkak+1_a

k =1allora il criterio del rapportonon stabilisce la convergenza o la divergenza. Inoltre converge se limk

ak+1

(34)

Serie numeriche a termini positivi: criterio del rapporto,

esempio 1.

Esempio

La serie

+∞

X

k=0

1 k!

converge.

Esempio

La successione {a

k

}

k∈N

con a

k

=

_k!1

verifica le ipotesi del teorema

(35)

Serie numeriche a termini positivi: criterio del rapporto,

esempio 1.

N : 2 SOMMA : 1 . 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 N : 4 SOMMA : 1 . 7 0 8 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 8 1 3 6 3 0 6 9 9 5 0 0 2 1 N : 6 SOMMA : 1 . 7 1 8 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 9 0 4 5 0 2 0 2 9 5 0 1 6 N : 8 SOMMA : 1 . 7 1 8 2 7 8 7 6 9 8 4 1 2 7 0 0 3 7 2 3 3 0 1 6 4 1 0 0 2 8 N : 10 SOMMA : 1 . 7 1 8 2 8 1 8 0 1 1 4 6 3 8 4 7 3 5 1 9 0 5 0 8 7 6 3 4 8 0 N : 12 SOMMA : 1 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 2 8 6 1 6 8 7 1 0 9 1 7 5 3 6 3 7 3 0 1 7 N : 14 SOMMA : 1 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 8 2 2 9 9 6 5 0 5 0 9 1 8 5 0 8 4 9 6 N : 16 SOMMA : 1 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 2 4 2 6 2 6 0 3 3 9 1 9 8 0 5 2 N : 18 SOMMA : 1 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5 5 3 4 8 8 4 8 0 8 1 4 8 4 9 0 N : 20 SOMMA : 1 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5 5 3 4 8 8 4 8 0 8 1 4 8 4 9 0 N : 22 SOMMA : 1 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5 5 3 4 8 8 4 8 0 8 1 4 8 4 9 0 N : 24 SOMMA : 1 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5 5 3 4 8 8 4 8 0 8 1 4 8 4 9 0 N : 26 SOMMA : 1 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5 5 3 4 8 8 4 8 0 8 1 4 8 4 9 0 N : 28 SOMMA : 1 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5 5 3 4 8 8 4 8 0 8 1 4 8 4 9 0 N : 30 SOMMA : 1 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5 5 3 4 8 8 4 8 0 8 1 4 8 4 9 0

Nella tabella valutiamo la somma

P

+∞

(36)

Serie numeriche a termini positivi: criterio del rapporto,

esempio 2.

Esempio

La serie

+∞

X

k=0

e

k

k!

converge.

Traccia.

La successione {a

k

}

k∈N

con a

k

=

e k

k!

verifica le ipotesi del teorema

del rapporto ed `

e

a

k+1

a

k

=

e

k+1

k + 1!

· k!

e

k

=

e

k + 1

(37)

Serie numeriche a termini positivi: criterio del rapporto,

esempio 2.

N : 2 SOMMA : 6 . 4 1 2 8 0 9 8 7 7 9 2 4 3 7 0 7 3 8 3 5 5 7 1 9 3 6 7 9 7 4 N : 4 SOMMA : 1 2 . 0 3 5 3 2 2 2 8 3 1 6 9 9 9 3 0 8 5 0 3 9 0 9 5 6 0 3 8 6 1 N : 6 SOMMA : 1 3 . 8 3 2 4 1 6 3 7 7 7 6 4 7 0 8 6 7 0 3 8 3 6 9 7 6 0 8 4 8 6 N : 8 SOMMA : 1 4 . 1 2 3 9 3 4 8 1 1 6 5 5 3 1 9 1 6 5 8 7 9 5 1 8 5 5 0 3 5 5 N : 10 SOMMA : 1 4 . 1 5 2 3 3 4 6 4 2 1 9 7 2 4 9 7 9 2 1 6 1 5 2 8 6 0 3 1 7 4 N : 12 SOMMA : 1 4 . 1 5 4 1 7 4 3 9 4 9 0 7 8 9 0 6 4 3 9 3 5 3 8 8 6 5 2 6 0 8 N : 14 SOMMA : 1 4 . 1 5 4 2 5 9 2 3 7 0 3 6 2 5 1 6 6 1 8 3 4 2 8 5 1 8 7 0 6 9 N : 16 SOMMA : 1 4 . 1 5 4 2 6 2 1 6 1 6 1 6 9 9 8 1 2 8 0 1 0 8 9 1 3 7 7 9 2 6 N : 18 SOMMA : 1 4 . 1 5 4 2 6 2 2 3 9 7 8 3 1 8 2 7 6 4 0 8 5 7 2 2 7 3 7 9 4 6 N : 20 SOMMA : 1 4 . 1 5 4 2 6 2 2 4 1 4 4 9 8 4 0 6 8 6 8 6 8 8 1 0 7 3 5 1 7 7 N : 22 SOMMA : 1 4 . 1 5 4 2 6 2 2 4 1 4 7 8 8 4 1 4 8 8 6 2 8 8 5 9 2 2 4 2 6 4 N : 24 SOMMA : 1 4 . 1 5 4 2 6 2 2 4 1 4 7 9 2 6 0 7 0 8 8 4 2 9 5 7 6 8 3 3 7 3 N : 26 SOMMA : 1 4 . 1 5 4 2 6 2 2 4 1 4 7 9 2 6 6 0 3 7 9 1 3 4 7 5 8 8 4 1 2 5 N : 28 SOMMA : 1 4 . 1 5 4 2 6 2 2 4 1 4 7 9 2 6 6 0 3 7 9 1 3 4 7 5 8 8 4 1 2 5 N : 30 SOMMA : 1 4 . 1 5 4 2 6 2 2 4 1 4 7 9 2 6 6 0 3 7 9 1 3 4 7 5 8 8 4 1 2 5

Nella tabella valutiamo la somma

P

+∞

k=0 e

k

(38)

Serie numeriche a termini positivi: criterio della radice.

Teorema (Criterio della radice)

Sia {a

k

}

k∈N

una successione

definitivamente positiva

cio`

e a

k

≥ 0

definitivamente.

I

Se esiste r ∈ (0, 1) tale che

k

√

a

k

≤ r

definitivamente, allora la serie

P

+∞

k=0

a

k

converge

.

I

Se

k

√

a

k

≥ 1

definitivamente, allora la serie

P

+∞

(39)

Serie numeriche a termini positivi: criterio della radice.

Corollario (Criterio della radice)

Sia {a

k

}

k∈N

una successione

definitivamente positiva

cio`

e a

k

≥ 0

definitivamente.

I

Se esiste r ∈ [0, 1) tale che

lim

k k

√

a

k

= r

allora la serie

P

+∞ k=0

a

k

converge

.

I

Se

lim

k k

√

a

k

> 1

allora la serie

P

+∞ k=0

a

k

diverge

.

Nota.

Si osservi che il fatto che se lim

k k

√

a

k

=

1 allora il criterio del

rapporto

non

stabilisce la convergenza o la divergenza. Inoltre

converge se lim

k k

√

(40)

Serie numeriche a termini positivi: criterio della radice,

esempio 1.

Esempio

Si mostri che la serie

+∞ X k=1 3k · sin 1 4k k converge.

Traccia.

Poich`e per ogni k ≥ 1, si ha che _4k1 ≤1 4, allora 0 = sin(0) ≤ sin 1 4k ≤ sin 1 4

e quindi la serie in questione `e a termini positivi. Inoltre converge per il corollario al criterio della radice in quanto

(41)

Serie numeriche a termini positivi: criterio della radice,

esempio 1.

N : 10 SOMMA : 2 . 8 1 6 7 8 5 1 8 1 6 7 3 0 2 6 7 1 6 7 0 8 8 1 8 6 3 9 7 4 5 N : 20 SOMMA : 2 . 9 7 6 0 8 4 7 1 0 9 3 8 3 6 3 4 6 4 5 4 9 6 3 8 5 9 2 8 7 1 N : 30 SOMMA : 2 . 9 8 5 0 5 8 5 6 6 9 5 6 5 4 3 0 3 5 7 8 6 3 5 3 3 5 7 2 5 3 N : 40 SOMMA : 2 . 9 8 5 5 6 3 9 8 5 0 7 6 9 1 4 2 2 8 5 0 0 2 9 9 9 4 1 5 1 6 N : 50 SOMMA : 2 . 9 8 5 5 9 2 4 4 9 0 1 5 6 7 5 7 7 5 5 6 9 8 8 9 0 8 3 2 7 2 N : 60 SOMMA : 2 . 9 8 5 5 9 4 0 5 1 9 9 2 6 5 4 4 8 5 1 6 1 4 3 8 0 6 0 4 5 9 N : 70 SOMMA : 2 . 9 8 5 5 9 4 1 4 2 2 6 4 7 1 3 2 0 2 1 9 5 0 2 5 5 8 7 5 7 1 N : 80 SOMMA : 2 . 9 8 5 5 9 4 1 4 7 3 4 8 3 6 4 0 3 5 8 2 1 0 7 7 7 7 7 6 5 5 N : 90 SOMMA : 2 . 9 8 5 5 9 4 1 4 7 6 3 4 6 4 7 0 3 3 1 2 9 3 4 0 3 4 3 2 9 4 N : 100 SOMMA : 2 . 9 8 5 5 9 4 1 4 7 6 5 0 7 6 8 8 0 3 7 1 4 5 2 7 1 6 6 4 4 9 N : 110 SOMMA : 2 . 9 8 5 5 9 4 1 4 7 6 5 1 6 7 6 5 2 2 0 5 9 4 6 0 6 9 4 4 3 6 N : 120 SOMMA : 2 . 9 8 5 5 9 4 1 4 7 6 5 1 7 2 7 1 4 8 2 2 9 3 8 3 6 0 1 5 7 4 N : 130 SOMMA : 2 . 9 8 5 5 9 4 1 4 7 6 5 1 7 2 9 8 1 2 7 6 4 6 4 2 7 0 1 9 5 0 N : 140 SOMMA : 2 . 9 8 5 5 9 4 1 4 7 6 5 1 7 2 9 8 1 2 7 6 4 6 4 2 7 0 1 9 5 0 N : 150 SOMMA : 2 . 9 8 5 5 9 4 1 4 7 6 5 1 7 2 9 8 1 2 7 6 4 6 4 2 7 0 1 9 5 0

Nella tabella valutiamo la somma

P

+∞

k=1

3k · sin

4k1

(42)

Serie numeriche a termini positivi: criterio della radice,

esempio 2.

Esempio

Si mostri la convergenza della serie

+∞

X

k=1

k

2

4

k

2

k

_{+ 5}

k

Traccia.

Osserviamo che raccogliendo 5k al denominatore k2₄k 2k_{+ 5}k = k2₄k 5k_((2/5)k_{+ 1)} = k2 (5/4)k_((2/5)k_{+ 1)}

e quindi da√kk2_{→ 1,} _p(5/4)k k_{→ 5/4,}_p(2/5)k k_{+ 1 → 1 (perch`}_e?)

k r k2₄k 2k_{+ 5}k = k s k2 (5/4)k_((2/5)k_{+ 1)} = k √ k2 k p(5/4)k_((2/5)k_{+ 1)} → 4 5 implicando per definizione di limite che, per r ∈ (4/5, 1), definitivamente

k q

k24k

(43)

Serie numeriche a termini positivi: criterio della radice,

esempio 2.

N : 10 SOMMA : 7 3 . 6 0 1 5 2 0 2 5 6 8 8 1 4 4 3 0 6 0 5 9 2 5 7 3 6 0 1 7 5 3 N : 30 SOMMA : 1 7 2 . 6 6 2 5 7 6 8 4 0 5 9 9 5 9 8 4 2 6 7 0 6 5 0 6 8 7 0 6 8 7 N : 50 SOMMA : 1 7 8 . 6 5 3 6 7 9 4 6 7 2 6 8 5 1 7 5 5 5 5 6 7 0 8 6 6 7 4 2 7 3 N : 70 SOMMA : 1 7 8 . 8 2 3 8 0 2 6 8 6 9 4 9 6 7 6 3 9 9 3 0 8 3 7 3 2 2 0 2 6 5 N : 90 SOMMA : 1 7 8 . 8 2 7 4 4 9 5 9 7 8 0 2 0 5 8 1 7 8 7 8 5 9 5 5 5 3 3 3 8 5 N : 110 SOMMA : 1 7 8 . 8 2 7 5 1 7 0 7 7 4 3 4 6 3 4 9 8 4 4 5 6 3 5 1 9 5 8 2 1 5 N : 130 SOMMA : 1 7 8 . 8 2 7 5 1 8 2 1 7 8 3 6 5 1 2 8 0 3 8 4 2 1 9 7 1 7 2 3 4 4 N : 150 SOMMA : 1 7 8 . 8 2 7 5 1 8 2 3 5 9 6 0 4 6 8 4 7 3 4 2 2 2 2 4 6 3 3 3 9 6 N : 170 SOMMA : 1 7 8 . 8 2 7 5 1 8 2 3 6 2 3 5 9 6 0 1 0 2 9 3 1 1 3 0 6 7 7 4 6 2 N : 190 SOMMA : 1 7 8 . 8 2 7 5 1 8 2 3 6 2 4 0 0 2 4 4 0 7 3 7 9 6 7 8 4 5 0 5 2 5 N : 210 SOMMA : 1 7 8 . 8 2 7 5 1 8 2 3 6 2 4 0 0 2 4 4 0 7 3 7 9 6 7 8 4 5 0 5 2 5 N : 230 SOMMA : 1 7 8 . 8 2 7 5 1 8 2 3 6 2 4 0 0 2 4 4 0 7 3 7 9 6 7 8 4 5 0 5 2 5 N : 250 SOMMA : 1 7 8 . 8 2 7 5 1 8 2 3 6 2 4 0 0 2 4 4 0 7 3 7 9 6 7 8 4 5 0 5 2 5 N : 270 SOMMA : 1 7 8 . 8 2 7 5 1 8 2 3 6 2 4 0 0 2 4 4 0 7 3 7 9 6 7 8 4 5 0 5 2 5 N : 290 SOMMA : 1 7 8 . 8 2 7 5 1 8 2 3 6 2 4 0 0 2 4 4 0 7 3 7 9 6 7 8 4 5 0 5 2 5

Nella tabella valutiamo la somma

P

+∞

k=1 k

2₄k

(44)

Serie a termini di segno variabile.

Definizione

La serie

P

n

k=0

a

k

, di segno arbitrario, si dice

assolutamente

convergente

se

P

n

k=0

|a

k

| `e (semplicemente) convergente.

Teorema

Se la serie

P

n

k=0

a

k

`

e

assolutamente convergente

, allora `

e pure

(45)

Serie a termini di segno variabile.

Nota.

Esistono serie che sono semplicemente convergenti che non sono

assolutamente convergenti

.

Un esempio `

e

+∞

X

k=1

(−1)

k+1

1 k

α

che risulta convergente per ogni α. Osserviamo che per α = 1, non

`

e per`

o assolutamente convergente in quanto

+∞

X

k=1

(−1)

k+1

1 k

=

+∞

X

k=1

1 k

(46)

Serie a termini di segno variabile.

N : 1 e+02 SOMMA : 0 . 6 8 8 1 7 2 1 7 9 3 1 0 1 9 5 0 3 1 2 9 8 7 4 6 9 2 6 0 4 1 N : 1 e+03 SOMMA : 0 . 6 9 2 6 4 7 4 3 0 5 5 9 8 2 2 2 5 2 5 0 4 8 8 6 8 1 9 2 2 4 N : 1 e+04 SOMMA : 0 . 6 9 3 0 9 7 1 8 3 0 5 9 9 5 8 2 6 6 1 4 9 1 8 0 8 7 2 1 6 2 N : 1 e+05 SOMMA : 0 . 6 9 3 1 4 2 1 8 0 5 8 4 9 6 7 2 3 7 9 5 5 1 4 0 7 1 7 5 3 1 N : 1 e+06 SOMMA : 0 . 6 9 3 1 4 6 6 8 0 5 6 0 2 5 4 6 3 5 4 9 4 7 4 3 5 2 4 7 6 0 N : 1 e+07 SOMMA : 0 . 6 9 3 1 4 7 1 3 0 5 6 0 0 6 0 0 5 4 0 9 4 1 5 1 3 8 2 7 4 2 N : 1 e+08 SOMMA : 0 . 6 9 3 1 4 7 1 7 5 5 6 0 3 9 5 5 1 2 0 5 0 6 0 4 3 3 8 5 8 3

Nella tabella valutiamo la somma

(47)

Facoltativo. Serie a termini di segno variabile: criterio di

Cauchy.

Teorema (Criterio di Cauchy)

La serie

P

+∞

k=0

a

k

`

e convergente se e solo se per ogni > 0 esiste

(48)

Serie a termini di segno variabile: criterio di Leibniz.

Teorema (Criterio di Leibniz)

Sia una successione {an} tale che

I limk→+∞ak = 0;

I {ak} `edefinitivamente non negativa e decrescenteper k → +∞,

ovvero tale che 0 ≤ ak+1≤ ak, perogni k ≥ k0.

Allora la serie

+∞

X

k=0

(−1)kak = a0− a1+ a2− a3+ . . .

`esemplicemente convergentee, se 2n > k0, le somme parziali s2n

approssimano la somma S =P+∞

k=0(−1)kak per eccesso mentre le somme

parziali s2n+1 approssimano la somma S per difetto.

Inoltre l’errore che si commette approssimando S con sn`e maggiorato dal

(49)

Serie a termini di segno variabile: criterio di Leibniz.

Esempio 1.

Esempio

La serie

+∞

X

k=0

(−1)

k

k − 4

k

2

_{+ 1}

`

e convergente.

Traccia.

La successione {ak}k∈N definita da ak = k − 4 k2_{+ 1}

`e definitivamente positiva (visto che ak > 0 per k > 4) e infinitesima.

Inoltre si verifica facilmente (esercizio) che ak+1 ≤ ak per k ≥ 8. Di

(50)

Serie a termini di segno variabile: criterio di Leibniz.

Esempio 2.

Esempio

La serie +∞ X k=1 (−1)klog(1 + sin(1/k)) ` e convergente.

Traccia.

La successione {ak}k∈N definita da ak= log(1 + sin(1/k)) `

e definitivamente positiva, visto che 0 < 1/k ≤ 1 implica 0 < sin(1/k) < sin(1) e quindi 0 = log(1) < log(1 + sin(1/k)).

(51)

Facoltativo. Serie a termini di segno variabile: criterio di

Leibniz. Esempio 3.

Esempio

La serie

+∞

X

k=0

(−1)

k

log(1 + k

2

₎

k

`

e convergente.

Traccia.

La successione {a

k

}

k∈N

definita da

a

k

=

log(1 + k

2

)

k

(52)

Facoltativo. Serie a termini di segno variabile: criterio di

Leibniz. Esempio 3.

Osserviamo per 1 + x2_{> e}2_,

(1 + x2) log(1 + x2) ≥ (1 + x2) log(e2) = 2(1 + x2) e quindi−(1 + x2_{) log(1 + x}2_{) ≤ −2(1 + x}2₎_{da cui}

d dx log(1 + x2₎ x = 2x ·x 1+x2 − log(1 + x2) x2 = 2x 2_{− (1 + x}2_{) log(1 + x}2₎ x2_{(1 + x}2₎ ≤ 2x 2_{− 2(1 + x}2₎ x2_{(1 + x}2₎ = −2 x2_{(1 + x}2₎ < 0

(53)

Facoltativo. Serie a termini di segno variabile: criterio di

Leibniz. Esempio 3.

N : 1 e+02 SOMMA : −0.240948022870558165031695807556 N : 1 e+03 SOMMA : −0.279915163724586357751888954226 N : 1 e+04 SOMMA : −0.285898972640452386784204463765 N : 1 e+05 SOMMA : −0.286704836897440196175068649609 N : 1 e+06 SOMMA : −0.286806150122304093219582910024 N : 1 e+07 SOMMA : −0.286818353816961912894356601100 N : 1 e+08 SOMMA : −0.286819781419631769647793362310

Nella tabella valutiamo la somma

P

+∞

k=0

(−1)

k log(1+k

2₎

k

per

(54)

Facoltativo. Riordinamenti.

Definizione

Una funzione j : X → Y si dice

biiettiva

(o invertibile) se suriettiva

e iniettiva.

Definizione

La serie

P

+∞ k=0

b

k

si dice un

riordinamento

di

P

+∞ k=0

a

k

se esiste

una funzione biiettiva j : N → N tale che b

k

= a

j (k)

.

Nota.

Si osservi che

I

poich`

e `

e biiettiva, `

e suriettiva, e quindi il riordinamento

P

+∞

k=0

b

k

contiene tutti i termini di

P

+∞

k=0

a

k

;

I

poich`

e `

e biiettiva, `

e iniettiva, e quindi il riordinamento

P

+∞

(55)

Facoltativo. Riordinamenti. Esempio

Esempio

Si vede subito dal criterio di Leibniz che la serie

s =

+∞

X

k=1

(−1)

k−1

k

= 1 −

1

2 +

1

3 |

{z

}

5/6

−

1

4 +

1

5 |

{z

}

<0

−

1

6 +

1

7 |

{z

}

<0

. . . <

5

6

(56)

Facoltativo. Riordinamenti. Esempio

Esempio

Abbiamo quindi considerato il riordinamento della serie a gruppetti

di tre termini, la cui somma n-sima `

e

t

n

=

n

X

k=1

+

1 4k − 3

+

1 4k − 1

−

1 2k

=

1 +

1

3 −

1

2 |

{z

}

5/6

+

n

X

k=2

1 4k − 3

+

1 4k − 1

−

1 2k

|

{z

}

>0

>

5

6 e quindi

non converge

alla somma s =

P

+∞

k=1 (−1)k−1

(57)

Facoltativo. Riordinamenti.

La patologia precedente `

e propria, per un teorema di Riemann,

delle serie convergenti ma non assolutamente convergenti.

Tuttavia vale il seguente teorema.

Teorema

Sia

P

+∞

k=0

a

k

assolutamente convergente e

P

+∞k=0

b

k

un suo

(58)

Facoltativo. Prodotto di Cauchy di due serie.

Si verifica facilmente che dati due polinomi di grado n

p(x ) =

n

X

k=0

a

n

x

n

,

q(x ) =

n

X

k=0

b

n

x

n

il loro polinomio prodotto `

e

(59)

Facoltativo. Prodotto di Cauchy di due serie.

Definizione

Si dice

prodotto di Cauchy

di due serie

P

+∞

k=0

a

k

,

P

+∞k=0

b

k

la serie

P

+∞ k=0

c

k

dove

c

k

=

k

X

j =0

a

j

b

k−j

per ogni k ∈ N.

Teorema

Siano

P

+∞

k=0

a

k

,

P

+∞k=0

b

k

due serie

convergenti, una delle quali

(60)

Esercizi

(61)

Esercizi

Stabilire il carattere delle seguenti serie

(62)

Esercizi

Stabilire il carattere delle seguenti serie

(63)

Esercizi

Stabilire il carattere delle seguenti serie (convergenti, eventualmente assolutamente convergenti) I P+∞ k=1 1 k1/k; I P+∞ k=1 (k·7k 5k+7k; I P+∞ k=1(−1) k_√1 k+2; I P+∞ k=1(−1) k_sin(1/k); I P+∞ k=1(−1) k (√k 3 − 1); I P+∞ k=1(−1) k

(1 − cos(1/k)) (`e assolutamente convergente);

(64)

Esercizi

I _{Dire per quali α ∈ R converge la serie} +∞ X n=1 √ 1 + α |1 − α| n . Suggerimento: criterio radici e studio disequazione.

I Si studi la convergenza della serie

+∞ X n=1 √ n2_{+ 1 − n} √ n

Suggerimento: razionalizzazione, usare un confronto asintotico e confronto serie geometrica.

I Si studi il carattere della serie

+∞ X n=1 3n 1 − 1 n3/2 n(5/2) .

I Dire per quali α ∈ R+_{converge la serie} +∞

X

n=1

n · 2n_{+ 5}n

αn_{+ 3}n .

(65)

Esercizi

I Determinare il carattere della seguente serie

+∞

X

n=1

(cosh(1/n3_{)) − 1}

(sin(1/n4/3_{)) − 1/n}4/3.

Suggerimento: confronto asintotico e serie armonica generalizzata.

I Si studi la convergenza delle serie

+∞ X n=1 1 − 1 2n 5n , +∞ X n=1 1 − 1 2n 5n2 , +∞ X n=1 1 − 1 2n 5n3 , Suggerimento: serie infinitesima, criterio della radice.

I Determinare il carattere della serie

+∞ X n=1 9n3 1 n− sin 1 n n , I Data la serie +∞ X n=1 (−1)n 1 nαarctan 3 √ n

(66)

Esercizi

I Si consideri la successione

an=

n! + 5 · 3n

n + nn

I Calcolare il limite limnan;

I Studiare la convergenza delle serieP+∞

n=1an.