Fondamenti di Analisi Matematica 2, Esercizi su limiti, continuit`a e derivabilit`a (giustificare le risposte)
Vicenza, ottobre 2009.
I. Discutere continuit`a, derivabilit`a e differenziabilit`a.
1. f (x, y) = ( √3
x4y5
x2+y2 (x, y) 6= (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0) 2. f (x, y) =
y sin x
x2+y2 (x, y) 6= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0)
3. f (x, y) = (
xy sin
1 xy
xy 6= 0
0 xy = 0 4. f (x, y) =
x2
y [1 − cos(x2+ y2)] y 6= 0
0 y = 0
5. f (x, y) = |x − y|αsin y + ex per α > 0 6. f (x, y) = (y − x2)|x − y + 1| + x
7. f (x, y) = |x|αlog(x2+ y2) (x, y) 6= (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0) per α > 0
II. Determinare il dominio e prolungare per continuit`a, ove possibile.
1. f (x, y) = |x|αcos(y) log(x2) per α > 0 2. f (x, y) = 1 − cos(xy) x2+ y2 3. f (x, y) = |y|αsinh(x3(x − 1))
(x − 1)2+ y2 per α > 0 4. f (x, y) = 1 + y + x2 y
y
5. f (x, y) = cos x − cos y
x − y (sugg.: usare Prostaferesi) III. Piano tangente e differenzialbilit`a.
1. Determinare il piano tangente e il versore normale per (x0, y0) = (0, 0) negli es. di Parte I, ove possibile.
2. Calcolare, se possibile, Duf (0, 1) e Duf (0, 2) con u = (1/2,√
3/2) nell’Es. 7 di Parte I nel caso α = 1.
3. Determinare, se possibile, la direzione di massima crescita delle funzioni di es. 5 e 6 di Parte I in (0, 1).