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Academic year: 2021

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a

prova scritta di Meccanica Razionale - 12.07.2005

Cognome e Nome . . . . N. matricola . . . .

C.d.L.: AMBQ CIVQ EDIQQ MATQ MECQ Anno di Corso: 2 3 altro

Esercizio. In un piano verticale Oxy, si consideri un sistema materiale pesante costituito da un’asta omogenea AB, di massa m e lunghezza 4R, incernierata in O in modo che si abbia OA = R e OB = 3R, e da un disco omogeneo D, di centro D massa m e raggio R, avente un punto del suo bordo incernierato nell’estremo B dell’asta AB. Si introducano i due parametri lagrangiani θ = y

+

OB ˆ e ϕ = y

′+

BD, dove y ˆ

′

`e la retta orientata passante per B e parallela all’asse y. Oltre alle forze peso, sul sistema agisce una molla ideale, di costante elastica h = mg

R , che collega il punto E del disco diametralmente opposto a B all’origine del sistema di riferimento.

Inoltre, sul disco D agisce la coppia di momento ~ M

D

= −mgR sin ϕ ~k, mentre sull’asta AB agisce la coppia di momento ~ M

AB

= −λ mgR ~k, λ ∈ R. Supposti i vincoli lisci, si chiede:

1. scrivere l’espressione della funzione potenziale delle due coppie (punti 2);

2. scrivere l’espressione della funzione potenziale della forza elastica (punti 1);

3. scrivere l’espressione della funzione potenziale di tutte le forze attive agenti sul sistema (asta + disco) (punti 2);

4. determinare le configurazioni di equilibrio del sistema (asta + disco) in funzione del para- metro λ (punti 2);

5. studiare la stabilit` a delle configurazioni di equilibrio del sistema (asta + disco) in funzione del parametro λ (punti 3);

6. calcolare le reazioni vincolari esterne ed interne all’equilibrio (punti 4);

7. scrivere l’espressione dell’energia cinetica del sistema (asta + disco) (punti 3);

8. scrivere la funzione di Lagrange e determinare le equazioni differenziali del moto del sistema (asta + disco) (punti 3);

9. posto, λ = 2 √

3, calcolare le pulsazioni fondamentali delle piccole oscillazioni attorno alla configurazione di equilibrio stabile (punti 1);

10. determinare gli eventuali integrali primi di moto (punti 1).

O A

B

D E ϕ

θ

x

y y

′

Avvertenza: Durata della prova = 2 ore 15 minuti.

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