Calcolaregliautovaloriegliautovettoridi A .1 − 1 − 12 A = . − 1 01 − 110   Siconsiderilamatrice 1Matrici,AutovalorieAutovettori COGNOME(instampatello):NOME(instampatello):MATRICOLA(numero):NOTA:Ciascunasoluzionedeveessereriportataecontenutanellospazio

PROVA D’ESAME DI MATEMATICA Corso di Laurea Triennale in Scienze Biologiche

11 Giugno 2019

COGNOME (in stampatello):

NOME (in stampatello):

MATRICOLA (numero):

NOTA: Ciascuna soluzione deve essere riportata e contenuta nello spazio sot- tostante il testo d’esame. Tutte le soluzioni devono essere adeguatamente motivate dai necessari passaggi ai fini della valutazione.

1 Matrici, Autovalori e Autovettori

Si consideri la matrice

A =





0 1 −1

1 0 −1

−1 −1 2



 . Calcolare gli autovalori e gli autovettori di A.

1

2 Funzioni di piu’ Variabili

Si consideri la funzione di due variabili

f (x, y) = 5y ln  2x

3y



(a) Calcolare il gradiente G(x, y) = ~ ∇f (x, y); (b) calcolare la derivata parziale f

; (c) calcolare la derivata parziale f

e dimostrare che f

= f

.

2

3 Integrali

Calcolare i seguenti integrali:

(a) Z

0

x cos 2x dx ; (b) Z

0

x

4 + 5x

dx .

3

4 Equazioni differenziali ordinarie

(a) Determinare la soluzione generale y = y(x) dell’equazione differenziale ordi- naria

dy

dx = x + y

x ;

(b) determinare la soluzione particolare per la condizione iniziale x = 0, y(0) = 1.

4