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(a)Calcolareladerivataprimaeladerivatasecondadellafunzionedata.(b)Stabilirel’esistenzadieventualipuntidimassimoeminimoedeterminarnelecoordinate.1 f ( x )= x ln x. Siconsiderilafunzione 1MassimieMinimidiFunzione COGNOME(instampatello):NOME(instampatello):M

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(1)

SECONDA PROVA PARZIALE DI MATEMATICA Corso di Laurea Triennale in Scienze Biologiche

17 Gennaio, 2018

COGNOME (in stampatello):

NOME (in stampatello):

MATRICOLA (numero):

NOTA: Ciascuna soluzione deve essere riportata e contenuta nello spazio sot- tostante il testo d’esame. Tutte le soluzioni devono essere adeguatamente motivate dai necessari passaggi ai fini della valutazione.

1 Massimi e Minimi di Funzione

Si consideri la funzione

f (x) = x ln

2

x .

(a) Calcolare la derivata prima e la derivata seconda della funzione data. (b) Stabilire l’esistenza di eventuali punti di massimo e minimo e determinarne le coordinate.

1

(2)

2 Serie di Potenze

Dato l’integrale

Z

1 0

√ x e

√x

dx ;

(a) rappresentare la funzione integranda in termini di serie di Taylor; (b) integrare la serie e calcolare l’integrale dato.

2

(3)

3 Gradiente e Integrali

(a) Calcolare il gradiente ∇f (x, y) della funzione f (x, y) = e

−y

(x + ln x cos y) ; (b) determinare il valore degli integrali

I

1

= Z

3 sin

2

x dx , I

2

= Z

2

0

x(x

2

+ 1)

1/3

dx .

3

(4)

4 Equazioni differenziali ordinarie

(a) Determinare la soluzione generale y = y(x) dell’equazione differenziale ordi- naria

dy

dx = x + y

2

x ;

(b) determinare la soluzione particolare per la condizione iniziale x = 0, y(0) = 1.

4

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