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(1)

SECONDA PROVA PARZIALE DI MATEMATICA Corso di Laurea Triennale in Scienze Biologiche

29 Gennaio, 2019

COGNOME (in stampatello):

NOME (in stampatello):

MATRICOLA (numero):

NOTA: Ciascuna soluzione deve essere riportata e contenuta nello spazio sot- tostante il testo d’esame. Tutte le soluzioni devono essere adeguatamente motivate dai necessari passaggi ai fini della valutazione.

1 Massimi e Minimi di Funzione

Si consideri la funzione

f (x) = x

2

+ 2 x − 2 .

(a) Calcolare la derivata prima e la derivata seconda della funzione data. (b) Stabilire l’esistenza di eventuali punti di massimo e minimo e determinarne le coordinate.

1

(2)

2 Funzioni di piu’ Variabili

Si consideri la funzione di due variabili

f (x, y) = 5x ln  2y

2

3x



(a) Calcolare il gradiente G(x, y) = ~ ∇f (x, y); (b) calcolare la derivata parziale f

xx

; (c) calcolare la derivata parziale f

xy

e dimostrare che f

xy

= f

yx

.

2

(3)

3 Integrali

Calcolare i seguenti integrali:

(a) Z

π

0

x cos 2x dx ; (b) Z

1

0

x

4 + 5x

2

dx .

3

(4)

4 Equazioni differenziali ordinarie

(a) Determinare la soluzione generale y = y(x) dell’equazione differenziale ordi- naria

dy

dx = x + y

2

x ;

(b) determinare la soluzione particolare per la condizione iniziale x = 0, y(0) = 1.

4

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