(a)Determinaredominioeasintotiorizzontalieverticali.(b)Stabilirel’esistenzadieventualipuntidimassimoeminimoedeterminarnelecoordinate.(c)Disegnareilgraficodellafunzione.1 f ( x )=( x − 2)ln( x − 2) . Siconsiderilafunzione 1MassimieMinimidiFunzione COGNOME(i

PROVA D’ESAME DI MATEMATICA Corso di Laurea Triennale in Scienze Biologiche

21 Febbraio, 2017

COGNOME (in stampatello):

NOME (in stampatello):

MATRICOLA (numero):

NOTA: Ciascuna soluzione deve essere riportata e contenuta nello spazio sot- tostante il testo d’esame. Tutte le soluzioni devono essere adeguatamente motivate dai necessari passaggi ai fini della valutazione.

1 Massimi e Minimi di Funzione

Si consideri la funzione

f (x) = (x − 2) ln(x − 2) .

(a) Determinare dominio e asintoti orizzontali e verticali. (b) Stabilire l’esistenza di eventuali punti di massimo e minimo e determinarne le coordinate. (c) Disegnare il grafico della funzione.

1

2 Serie di Potenze

Dato l’integrale

Z

x

sin √ x dx ,

(a) riscrivere la funzione integranda rappresentando la funzione trigonometrica mediante serie di Taylor centrata nell’origine; (b) calcolare l’integrale definito uti- lizzando l’espressione ottenuta al punto (a).

2

3 Integrali

Calcolare i seguenti integrali:

(a) I

= Z

0

ln x √

x dx ; (b) I

=

Z 2

2 + x

dx .

3

4 Equazioni differenziali ordinarie

Determinare la soluzione generale y = y(x) dell’equazione differenziale ordinaria dy

dx = 2y cos x 2 ,

e determinare la soluzione particolare per la condizione iniziale x = 0, y(0) = 3.

4