Corsi di Laurea Specialisticain Ingegneria dell'Automazione
Anno Accademico 2005/2006
Meccanica Razionale
Nome:.................................
N. matr.:................................. Ancona,23 marzo2006
1. Derivare leequazioni diLagrange p erun sistemaolonomo.
2. Un'asta AB di massa m e lunghezza l e vincolata aruotare inun piano
verticale attorno all'estremo A, che e sso. Sia O (x;y) un sistema di
riferimento ortogonale sso nel piano verticale, con O A. Due molle
di ugual costante elasticak >0 collegano l'estremo B con il punto sso
M(0; l ) e con il punto N, proiezione di B sull'asse x (vedi gura).
Determinare l'energia cinetica e l'energia p otenziale dell'asta; scrivere
le equazioni di Lagrange; determinare le con gurazioni di equilibrio e
studiarne la stabilita.
k > 0
k > 0
x y
A O =
M B
N
l, m
due cerchirisp ettivamentedicentro O ,raggio R emassa M e centro C,
raggio r e massa m. I centri dei due cerchiappartengono alla retta che
contiene l'asta AB, con O A =R eCB =r . Sia O (x;y;z) un sistema di
riferimentosolidale,cartesiano ortogonale,con l'assez p erp endicolare al
piano della gura e tale chel'asta AB sitrovi nelIV quadrante, con un
angolo di=4risp ettoagli assi(vedi gura). Calcolarelamatriced'iner-
A
B C
O x
y
M
m
m l
zia del sistema nella terna O (x;y;z); e una terna principale d'inerzia?
Qual'e la terna principale d'inerzia O (x 0
;y 0
;z 0
) che si determina sulla
base delle simmetriemateriali del sistema? Calcolare gli elementidella
matriced'inerzianellaternaO (x 0
;y 0
;z 0
)e,sfruttandoilTeoremadiHuy-
gens, gli elementidella matrice d'inerzianella terna C(x 00
;y 00
;z 00
) avente
l'origine nel punto C e gli assi paralleli a quelli della terna O (x 0
;y 0
;z 0
).
In ne, determinare la p osizione del centro di massa P
0
del sistema e,
sempre sulla base delle simmetrie materialidel sistema, determinare la
terna principaled'inerziacon origine inP .
