RISOLUZIONE 1. A `e falsa. Per esempio, scelta la successione an

RISOLUZIONE

1. A `e falsa. Per esempio, scelta la successione a _n = _{log n} ¹ abbiamo che a _n ! 0 per n ! +1 ma la serie

+ 1

X

n=1

1

n log n diverge (per provarlo si pu` o utilizzare il criterio del confronto asintotico o integrale).

B `e invece vera. Infatti per ipotesi risulta

n !+1 lim

a

n

n

²

1 n

²

= lim

n !+1 a _n = 0

ed essendo la serie

+ 1

X

n=1

1

n ² convergente, dal criterio del confronto asintotico possiamo dedurre che anche la serie

+ 1

X

n=1

a n

n ² converge.

C `e falsa, scelta a _n = p

4

¹

n abbiamo che la successione `e infinitesima ma la serie

+1 X

n=1

(a n ) ² =

+1 X

n=1

p 1 n

`e divergente.

2. A `e falsa. Ad esempio, considerata la successione a n = ^{p 1} _n , la serie

+ 1

X

n=1

a n =

+ 1

X

n=1

p 1 n risulta

divergente ma anche la serie

+ 1

X

n=1

a n

p n =

+ 1

X

n=1

1

n diverge.

B `e vera. Osserviamo innanzitutto che se lim

n !

+

1 a _n non esiste oppure esiste ma non `e nullo allora anche lim

n!

+

1

p a n non esiste oppure esiste ma non `e nullo. Dalla condizione necessaria

alla convergenza di una serie otteniamo quindi che la serie

+1 X

n=1

p a n non converge, e dunque che diverge (essendo infatti i termini della serie positivi, la serie risulter` a convergente o divergente).

Se invece lim

n !

+

1 a _n = 0, poich`e a _n > 0 per ogni n 2 N, avremo che

n !+1 lim p a _n

a _n = lim

n !+1

p 1 a _n = + 1

e poich`e la serie

+ 1

X

n=1

a n per ipotesi diverge, dal criterio del confronto asintotico anche la serie

+1 X

n=1

p a n risulter` a divergente.

C `e falsa. Ad esempio, considerata la successione a n = ¹ _n , la serie

+ 1

X

n=1

a n =

+ 1

X

n=1

1

n risulta divergente mentre la serie

+ 1

X

n=1

( 1) ⁿ a n =

+ 1

X

n=1

( 1) ⁿ

n converge (per il criterio di Leibniz).

3. A `e vera. Infatti dalla condizione necessaria alla convergenza di una serie abbiamo che se

+ 1

X

n=1

a n

converge allora a _n ! 0 per n ! +1 e dunque (a n ) _{n 2N} `e successione convergente.

B `e falsa. La serie

+ 1

X

n=1

1

n ² converge ma q

ⁿ

1 n

²

=

n

p ¹

n

²

! 1. Osserviamo che se

+ 1

X

n=1

a n converge ed esiste lim

n!+1

p

n

a _n = ` allora `  1 poich´e altrimenti, dal criterio della radice, la serie divergerebbe.

C `e vera. Per quanto ricordato in A , essendo

+1 X

n=1

a n convergente, risulta a _n ! 0 per n ! +1.

Ne segue che

n!+1 lim (a _n ) ²

a n

= lim

n!+1 a _n = 0 e poich´e

+ 1

X

n=1

a n converge, dal criterio del confronto asintotico anche la serie

+ 1

X

n=1

(a n ) ² converge.

4. La serie

+ 1

X

n=0

e ^{sin n}

n ³ + 2 converge. Infatti per ogni n 2 N risulta 0  e ^{sin n}  e e n ³ + 2 n ³ da cui 0  e ^{sin n}

n ³ + 2  e

n ³ , 8n 2 N.

Essendo

+ 1

X

n=1

1

n ³ convergente dal criterio del confronto la serie data converge.

5. Per determinare il comportamento della serie

+ 1

X

n=0

log ⇣

n+3 n+1

⌘

osserviamo che per n ! +1 si ha

log

✓ n + 3 n + 1

◆

= log

✓

1 + 2 n + 1

◆

⇠ 2

n + 1 ⇠ 2 n Poich´e la serie

X +1 n=1 1

n diverge, dal criterio del confronto asintotico possiamo concludere che la serie data diverge.

6. La serie

+ 1

X

n=0

⇣p n ² + 1 n ⌘ 3

converge, infatti per n ! +1 risulta p n ² + 1 n = n

r 1 + 1

n ² 1

!

⇠ n · 1 2n ² = 1

2n e dunque

⇣p n ² + 1 n ⌘ 3

⇠ 1 8n ³ Dato che

+ 1

X

n=1 1

n

³

converge, dal criterio del confronto asintotico possiamo concludere che anche la

serie data converge.

7. La serie

+ 1

X

n=1

sin( ₂ ¹

n

) log(1 + ₂ ¹

n

)

arctan( ₃ ¹

n

) converge. Abbiamo infatti che per x ! 0 risulta sin x log(1+

x) = ^x ₂

²

+ o(x ² ) ⇠ ^x ₂

²

. Posto x = ₂ ¹

n

, per n ! +1 si ha sin( 1

2 ⁿ ) log(1 + 1

2 ⁿ ) ⇠ 1

2 · (2 ⁿ ) ² = 1 2 · 4 ⁿ Essendo inoltre arctan( ₃ ¹

n

) ⇠ ₃ ¹

ⁿ

, otteniamo

sin( ₂ ¹

n

) log(1 + ₂ ¹

n

)

arctan( ₃ ¹

n

) ⇠ 3 ⁿ 2 · 4 ⁿ = 1

2

✓ 3 4

◆ n

e dato che la serie geometrica

+ 1

X

n=0 3 4

n converge, ne concludiamo che anche la serie data converge.

8. Per studiamo il comportamento della serie

+ 1

X

n=1

2 ³ⁿ

(3n)! applichiamo il criterio del rapporto. Posto a _n = 2 ³ⁿ

(3n)! abbiamo a _n+1

a n

= 2 ³ⁿ⁺³ (3n + 3)!

(3n)!

2 ³ⁿ = 2 ³

(3n + 3)(3n + 2)(2n + 1) ! 0 per n ! +1. Poich´e ` = 0 < 1, possiamo concludere che la serie data converge.

9. Applichiamo nuovamente il criterio del rapporto per studiare la serie

+1 X

n=0

n ⁿ

3 ^n! . Posto a _n = ₃ ⁿ

_n!ⁿ

per n ! +1 si ha

a n+1

a _n = (n + 1) ⁿ⁺¹ 3 ^(n+1)!

3 ^n!

n ⁿ =

✓ 1 + 1

n

◆ n

n + 1 3 ^n!n ! 0

dato che 1 + _n ^{1 n} ! e e che ⁿ⁺¹ ₃

n!n

! 0 ^(k) . Essendo ^a

ⁿ⁺¹

_a

_n

! 0 < 1, dal criterio del rapporto, possiamo concludere che la serie data converge.

10. Per stabilire il comportamento della serie

+ 1

X

n=0

n ³

2 ⁿ

²

possiamo applicare il criterio della radice.

Posto a _n = ⁿ

³

2

ⁿ²

, abbiamo che p

n

a _n =

ⁿ

r n ³

2 ⁿ

²

= p

n

n ³

2 ⁿ ! 0, per n ! +1

e dunque, dal criterio della radice possiamo concludere che la serie converge.

(k)

per provarlo possiamo applicare il criterio del rapporto:

₃ⁿ⁺¹n!n

⇠

₃nⁿ·n!

= b

n

e b

n+1

b

n

= n + 1 n

1

3

⁽ⁿ⁺¹⁾·(n+1)! n·n!

= n + 1 n

1

3

^(n2+n+1)·n!

! 0

dato che (n

²

+ n + 1) · n! ! +1 e

ⁿ⁺¹n

! 1.

11. La serie

+ 1

X

n=0

n ² 2 ⁿ

n ⁿ converge. Infatti

n

r n ² 2 ⁿ n ⁿ = 2 p

ⁿ

n ²

n ! 0

e dal criterio del rapporto possiamo concludere che la serie converge.

12. Per studiare il comportamento della serie X +1 n=1

e

ⁿ¹

cos( ₃ ¹

n

)

n tan ² _n!

ⁿ

osserviamo che per n ! +1 si ha e

ⁿ¹

cos( ₃ ¹

n

) = 1 + _n ¹ + o( _n ¹ ) (1 _{2 ·3} ¹

n

+ o( ₃ ¹

n

)) = _n ¹ + o( ¹ _n ) ⇠ _n ¹

dato che ₃ ¹

n

= o( ¹ _n ). Poich´e ² _n!

ⁿ

! 0 abbiamo inoltre tan ² _n!

ⁿ

⇠ ² _n!

ⁿ

e dunque e

ⁿ¹

cos( ₃ ¹

n

)

n tan ² _n!

ⁿ

⇠

1 n n2

ⁿ

n!

= n!

2 ⁿ n ²

Dal criterio del confronto asintotico abbiamo quindi che il comportamento della serie data `e il medesimo della serie

+1 X

n=1

n!

2 ⁿ n ² . Per stabilire il comportamento di quest’ultima serie possiamo applicare il criterio del rapporto. Abbiamo che

(n + 1)!

2 ⁿ⁺¹ (n + 1) ² 2 ⁿ n ²

n! = n ²

2(n + 1) ! +1

da cui possiamo concludere che la serie

+ 1

X

n=1

n!

2 ⁿ n ² diverge, dunque anche la serie data diverge.

13. La serie

+ 1

X

n=1

( 1) ⁿ 2n 1

n ² `e una serie a termini di segno alterno. Osservato che tale serie non converge assolutamente, essendo ^{2n 1} _n

₂

⇠ _n ² e

+ 1

X

n=1 1

n divergente), applichiamo il crierio di Leibniz.

Abbiamo che la successione a _n = ^{2n 1} _n

2

`e successione infinitesima per n ! +1 e decrescente dato che

a _n+1  a n , 2n + 1

(n + 1) ²  2n 1

n ² , (2n + 1)n ²  (2n 1)(n ² + 2n + 1) , 2n ³ + n ²  2n ³ + 4n ² + 2n n ² 2n 1 , 2n ² 1 0

risulta verificata da ogni n 2 N ^(l) . Dal criterio di Lebniz possiamo allora concludere che la serie data converge.

(l)

in alternativa, per provare che la successione `e decrescente potevamo osservare che la funzione f (x) =

^{2x 1}_x2

risulta

decrescente in [1, + 1) dato che f

⁰

(x)  0 in tale intervallo

14. La serie

+ 1

X

n=1

sin ¹ _n log(1 + ¹ _n )

n ^↵ converge se e solo se ↵ > 1. Infatti, dagli sviluppi notevoli log(1 + x) = x ^x ₂

²

+ o(x ² ) e sin x = x + o(x ² ) per x ! 0, per n ! +1 risulta

sin _n ¹ log(1 + _n ¹ ) = _2n ¹

2

+ o( _n ¹

2

) e dunque che

sin _n ¹ log(1 + _n ¹ )

n ^↵ ⇠ _2n

↵+2

¹ . Poich´e la serie

+ 1

X

n=1

1

n ^↵+2 converge se e solo se ↵ + 2 > 1, ovvero ↵ > 1, dal criterio del confronto asintotico risulta che la serie data converge se e solo se ↵ > 1.

15. La serie

+ 1

X

n=2

n ^↵ ⇣

e

²ⁿ¹

cos ^{p 1} _n ⌘

converge se e solo se ↵ < 1. Infatti, dagli sviluppi notevoli, per n ! +1, abbiamo

e

²ⁿ¹

cos p ¹

n = 1 _2n ¹ + ¹ _{2 4n} ¹

2

+ o( _n ¹

2

) (1 _2n ¹ + _4! ¹ _n ¹

2

+ o( _n ¹

2

))

= ( ¹ _{8 24} ¹ ) _n ¹

2

+ o( _n ¹

2

) ⇠ ₁₂ ¹ _n ¹

2

e dunque che

n ^↵ ⇣

e

²ⁿ¹

cos p ¹ n

⌘ ⇠ ₁₂ ¹ _n

2 ↵

¹

Dato che la serie

+ 1

X

n=2 1 12 1

n

^{2 ↵}

converge se e solo se 2 ↵ > 1, ovvero ↵ < 1, dal criterio del confronto asintotico possiamo concludere che la serie data converge se e solo se ↵ < 1.

16. Per studiare il comportamento della serie

+ 1

X

n=1

p n

1 + n ^↵ + n ² osserviamo che per n ! +1 risulta

p 1 + n ^↵ + n ² ⇠ 8 >

<

> :

p n ^↵ = n ^↵/2 se ↵ > 4

2n ² se ↵ = 4

n ² se ↵ < 4 da cui

p n

1 + n ^↵ + n ² ⇠ 8 >

<

> :

p n ^↵ = ¹

n

^{↵/2 1}

se ↵ > 4

2

n se ↵ = 4

1

n se ↵ < 4

Dal criterio del confronto asintotico possiamo allora concludere che se ↵  4 la serie diverge (essendo la serie

+ 1

X

n=1

1

n divergente) mentre se ↵ > 4 la serie converge dato che risulta ^↵ ₂ 1 > 1 e la serie

+ 1

X

n=1

1

n ^p converge per ogni p > 1.

17. Studiamo il comportamento della serie

+ 1

X

n=1

log(e ^↵n + 1)

n ² al variare di ↵ 2 R. Osserviamo che la serie `e a termini non negativi e che per ↵ < 0 risulta ^log(e _n

^↵n2

⁺¹⁾ ! +1 per n ! +1, quindi dalla condizione necessaria alla convergenza possiamo concludere che la serie diverge. Se invece

↵ = 0 abbiamo ^log(e _n

^↵n2

⁺¹⁾ = ^{log 2} _n

2

e la serie converge. Se infine ↵ > 0 risulta log(e ^↵n +1) ⇠ e ^↵n e quindi

log(e ^↵n + 1)

n ² ⇠ 1

e ^↵n n ² e la serie converge per il criterio del confronto asintotico dato che

n !+1 lim

1 e

^↵n

n

²

1 n

²

= lim

n !+1

1 e ^↵n = 0 e che

+ 1

X

n=1 1

n

²

converge.

18. Per la serie

+1 X

n=0

(2n + 1)!

(n!) ^↵ osserviamo che, posto a _n = ^(2n+1)! _(n!)

↵

per n ! +1 risulta a _n+1

a _n = (2(n + 1) + 1)!

((n + 1)!) ^↵

(n!) ^↵

((2n + 1)!) ^↵ = (2n + 3)!

(n + 1) ^↵ (n!) ^↵

(n!) ^↵ ((2n + 1)!) ^↵

= (2n + 3)(2n + 2) (n + 1) ^↵ ⇠ 4n ²

n ^↵ ! 8 >

<

> :

+ 1 se ↵ < 2 4 se ↵ = 2 0 se ↵ > 2

e dal criterio del rapporto possiamo concludere che la serie converge se ↵ > 2 mentre diverge se

↵  2.

19. La serie

+1 X

n=1

n ⁿ

n! ↵ ⁿ converge per ↵ > e e diverge per 0 < ↵ < e Infatti, applicando il criterio del rapporto risulta

(n + 1) ⁿ⁺¹ (n + 1)! ↵ ⁿ⁺¹

n! ↵ ⁿ

n ⁿ = (1 + _n ¹ ) ⁿ

↵ ! e

↵ , n ! +1, e dunque la serie converge se ↵ > e e diverge se ↵ < e.

Nota: Il criterio non ci permette di concludere se ↵ = e. Anche se non richiesto, osserviamo che la serie

+ 1

X

n=1

n ⁿ

n!e ⁿ diverge. Infatti, dalla Formula di Stirling n! ⇠ n ⁿ

e ⁿ

p 2⇡n per n ! +1

otteniamo che _n!e ⁿ

ⁿn

⇠ ^p _2⇡n ¹ . Dal criterio del confronto asintotico segue allora che la serie

+ 1

X

n=1

n ⁿ n!e ⁿ diverge essendo tale la serie

+ 1

X

n=1 p 1

n .

20. La serie

+ 1

X

n=1

sin _(n+1)! ⁿ

^↵

log(1 + ² _n!

ⁿ

) converge per ogni ↵ 2 R. Infatti, dalla gerachia degli infiniti, essendo

2

ⁿ

n! ! 0 e _(n+1)! ⁿ

^↵

! 0 per ogni ↵ 2 R, e usando i limiti notevoli log(1 + x n ) ⇠ x n e sin x n ⇠ x n

per ogni successione x _n ! 0, per n ! +1 risulta sin _(n+1)! ⁿ

^↵

log(1 + ² _n!

ⁿ

) ⇠

n

^↵

(n+1)!

2

ⁿ

n!

= n ^↵

(n + 1)2 ⁿ ⇠ n ^{↵ 1} 2 ⁿ

La serie

+ 1

X

n=1

n ^{↵ 1}

2 ⁿ per il criterio del rapporto risulta convergente per ogni ↵ 2 R, in quanto, posto a _n = ⁿ

^{↵ 1}

₂

n

, risulta

a _n+1 a n

= (n + 1) ^{↵ 1} 2 ⁿ⁺¹

2 ⁿ

n ^{↵ 1} = (1 + 1 n ) ^{↵ 1} 1

2 ! 1

2 < 1, 8↵ 2 R.

Dal Criterio del confronto asintotico segue allora che anche la serie data converge per ogni ↵ 2 R.

21. Per studiare il comportamento della serie

+1 X

n=2

2 ^↵n

n ² log n applichiamo il criterio del rapporto. Posto a _n = _n

2

² log n

^↵n

, risulta

n !+1 lim a _n+1

a _n = lim

n !+1

2 ^↵(n+1) (n + 1) ² log(n + 1)

n ² log n

2 ^↵n = 2 ^↵ lim

n !+1

log n log(n + 1)

n ²

(n + 1) ² = 2 ^↵ e dunque, dal criterio del rapporto otteniamo che la serie converge se 2 ^↵ < 1, ovvero se ↵ < 0 e diverge se 2 ^↵ > 1, ovvero se ↵ > 0. Se ↵ = 0 abbiamo la serie

X +1 n=2

1

n

²

log n che converge. Infatti risulta

n !+1 lim

1 n

²

log n

1 n

²

= lim

n !+1

1 log n = 0 ed essendo

+ 1

X

n=1 1

n

²

convergente, dal criterio del confronto asintotico si ha che anche

+ 1

X

n=2 1 n

²

log n

converge.