RISOLUZIONE 1. A `e falsa. Per esempio, scelta la successione an

RISOLUZIONE

1. A `e falsa. Per esempio, scelta la successione a

=

abbiamo che a

! 0 per n ! +1 ma la serie

+1

X

n=1

1

n log n

diverge (per provarlo si pu` o utilizzare il criterio del confronto asintotico o integrale).

B `e invece vera. Infatti per ipotesi risulta

n!+1

lim

an

n² 1 n²

= lim

n!+1

a

= 0

ed essendo la serie

+1X

n=1

1

n²

convergente, dal criterio del confronto asintotico possiamo dedurre che anche la serie

+1

X

n=1

an

n²

converge.

C `e falsa, scelta a

=

n

abbiamo che la successione `e infinitesima ma la serie

+1X

n=1

(an)²=

+1X

n=1

p1n

`e divergente.

2. A `e falsa. Per esempio, considerata la successione a

=

n

, la serie

+1

X

n=1

an =

+1

X

n=1

p1n

risulta

divergente ma anche la serie

+1

X

n=1

an

pn =

+1

X

n=1

1

n

diverge.

B `e vera. Osserviamo innanzitutto che se lim

n!+1

a

non esiste oppure esiste ma non `e nullo allora anche lim

n!+1

p a

non esiste oppure esiste ma non `e nullo. Dalla condizione necessaria

alla convergenza di una serie otteniamo quindi che la serie

+1X

n=1

pan

non converge, e dunque che diverge (essendo infatti i termini della serie positivi, la serie risulter` a convergente o divergente).

Se invece lim

n!+1

a

= 0, poich`e a

> 0 per ogni n 2 N, avremo che

n!+1

lim p a

a

= lim

n!+1

p 1 a

= + 1

e poich`e la serie

+1

X

n=1

an

per ipotesi diverge, dal criterio del confronto asintotico anche la serie

+1

X

n=1

pan

risulter` a divergente.

C `e falsa. Per esempio, considerata la successione a

=

, la serie

+1

X

n=1

an =

+1

X

n=1

1

n

risulta divergente mentre la serie

+1

X

n=1

( 1)ⁿan=

+1

X

n=1

( 1)ⁿ

n

converge (per il criterio di Leibniz).

3. A `e vera. Infatti dalla condizione necessaria alla convergenza di una serie abbiamo che se

+1

X

n=1

an

converge allora a

! 0 per n ! +1 e dunque (a

)

`e successione convergente.

B `e falsa. La serie

+1X

n=1

1

n²

converge ma q

1 n²

=

n²

! 1. Osserviamo che se

+1X

n=1

an

converge ed esiste lim

n!+1

p

a

= ` allora `  1 poich´e altrimenti, dal criterio della radice, la serie divergerebbe.

C `e vera. Per quanto ricordato in A , essendo

+1

X

n=1

an

convergente, risulta a

! 0 per n ! +1.

Ne segue che

n!+1

lim (a

)

a

= lim

n!+1

a

= 0 e poich´e

X+1 n=1

an

converge, dal criterio del confronto asintotico anche la serie

+1X

n=1

(an)²

converge.

4. La serie

+1

X

n=0

p

cos n

n

+ 3n + 1 converge. Infatti per ogni n 2 N risulta | cos n|  1 e n

+ 3n + 1 n

da cui

p

cos n

n

+ 3n + 1  1

n

, 8n 2 N.

Essendo P

n²

, convergente dal criterio del confronto la serie data converge converge assolu- tamente e quindi anche semplicemente.

5. Per determinare il comportamento della serie X

log ⇣

n² 3 n²+2

⌘

osserviamo che per n ! +1 si ha

log ⇣

n² 3 n²+2

⌘

= log ⇣

1

⌘ ⇠

⇠

Poich´e la serie P

n²

converge, dal criterio del confronto asintotico possiamo concludere che la serie data converge.

6. La serie

+1

X

n=1

1 cos

p

n

+ 2n n diverge, infatti per n ! +1 risulta 1 cos

⇠

mentre

p

n

+ 2n n = n

✓

3

q

1 +

1

◆

⇠ n ·

=

e dunque

1 cos

p

n

+ 2n n ⇠

1 2n²

2 3n

=

Dato che P

n=1 1

n

diverge, dal criterio del confronto asintotico possiamo concludere che anche la

7. La serie

+1

X

n=1

e

q

1 +

sinh(

) converge. Abbiamo infatti che per x ! 0 risulta e

p

1 + 2x = x +

+ o(x

) (1 + x

+ o(x

) = x

+ o(x

) ⇠ x

. Posto x =

, per n ! +1 si ha

e

q

1 +

= e

q

1 +

⇠

=

Essendo inoltre sinh(

) ⇠

, otteniamo e

q

1 +

sinh(

) ⇠

=

e dato che la serie geometrica P

n=0 3 4

n

converge (ha ragione r =

2 ( 1, 1)), dal criterio del confronto asintotico ne concludiamo che anche la serie data converge.

8. Per studiare il comportamento della serie

+1

X

n=1

n

(3n)! applichiamo il criterio del rapporto. Posto a

=

abbiamo

a

a

= (n + 1)

(3n + 3)! · (3n)!

n

= n + 1

(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1) 1 +

! 0 per n ! +1. Poich´e ` = 0 < 1, possiamo concludere che la serie data converge.

9. Applichiamo nuovamente il criterio del rapporto per studiare la serie

+1

X

n=0

3

2

. Posto a

=

per n ! +1 si ha a

a

= 3

2

· 2

3

= 3

2

= 3

n

= e

! 0

dato che

! 0

e dunque n log

! 1. Essendo

! 0 < 1, dal criterio del rapporto, possiamo concludere che la serie data converge.

10. Per stabilire il comportamento della serie

+1

X

n=0

n

3

possiamo applicare il criterio della radice.

Posto a

=

3ⁿ²

, dalla gerarchia degli infiniti abbiamo che p

a

=

r n

3

= n

3

! 0, per n ! +1

e dunque, dal criterio della radice possiamo concludere che la serie converge.

11. La serie

+1

X

n=0

1

n³

converge. Infatti

q

1

n³

= 1

n²

! e

Dato che e

< 1, dal criterio della radice possiamo concludere che la serie converge.

12. Per studiare il comportamento della serie

+1

X

n=1

n sinh

sin

log(1

) osserviamo che per n ! +1 si ha

sin

log(1

) =

+ o(

) (

+ o(

) =

+ o(

)

dato che

= o(

). Poich´e

! 0 abbiamo inoltre n sinh

⇠

=

e dunque n sinh

sin

log(1

) =

3ⁿ (n 1)!

1 n

=

Dal criterio del confronto asintotico abbiamo quindi che il comportamento della serie data `e il medesimo della serie P

n=1 n3ⁿ

(n 1)!

. Per stabilire il comportamento di quest’ultima serie possiamo applicare il criterio del rapporto. Per n ! +1 abbiamo che

(n + 1)3

n! · (n 1)!

n3

= 3(n + 1) n

! 0 da cui possiamo concludere che la serie P

n=1 n3ⁿ

(n 1)!

converge, dunque anche la serie data con- verge.

13. La serie

+1

X

n=1

( 1)

2n

1

n

`e una serie a termini di segno alterno. Osservato che tale serie non converge assolutamente, essendo

⇠

e

+1

X

n=1 1

n

divergente, applichiamo il crierio di Leibniz.

Abbiamo che la successione a

=

`e successione infinitesima per n ! +1 e decrescente per n 2. Infatti la funzione f (x) =

risulta decrescente in [2, + 1) dato che

f

(x) = 4x

3x

(2x

1)

x

= 3x

2x

x

= 3 2x

x

 0

in tale intervallo. Dal criterio di Lebniz possiamo allora concludere che la serie data converge.

14. La serie X

1 n

⇣q

1

cos

⌘ converge se e solo se ↵ > 1. Infatti, dagli sviluppi notevoli p 1 x = 1 +

+ o(x) e cos x = 1

+ o(x

) per x ! 0, per n ! +1 risulta

q

1

cos

= 1

+ o(

) (1

+ o(

)) =

+ o(

) ⇠

da cui

1 (

q

1

cos

)n

⇠ 4 n

. Poich´e la serie P

n=1 1

n^{↵ 2}

converge se e solo se ↵ 2 > 1, ovvero ↵ > 1, dal criterio del confronto asintotico risulta che la serie data converge se e solo se ↵ > 1.

15. La serie

+1

X

n=1

n

n sin(

) log(1 +

) converge se e solo se ↵ < 1. Infatti, dagli sviluppi notevoli, per n ! +1, abbiamo

n sin(

) log(1 +

) = n(

+ o(

)) (

+ o(

))

=

+ o(

) ⇠

e dunque che

n

n sin(

) log(1 +

) ⇠

Dato che la serie P

n=1 1

n^{2 ↵}

converge se e solo se 2 ↵ > 1, ovvero ↵ < 1, dal criterio del confronto asintotico possiamo concludere che la serie data converge se e solo se ↵ < 1.

16. Per studiare il comportamento della serie

+1

X

n=0

p 1 + ↵

+ 3

4

con ↵ > 0 osserviamo che per n ! +1 risulta

p 1 + ↵

+ 3

⇠ 8 >

<

> :

p ↵

= ( p

↵)

se ↵ > 9 2 · 3

se ↵ = 9 3

se ↵ < 9 da cui

p 1 + ↵

+ 3

4

⇠

8 >

> <

> >

:

(p

↵)ⁿ 4ⁿ

= ⇣

↵ 4

⌘

se ↵ > 9 2 ·

= 2

se ↵ = 9

3ⁿ

4ⁿ

=

se ↵ < 9

Dal criterio del confronto asintotico possiamo allora concludere che se ↵  9 la serie converge (essendo la serie geometrica P

n=1 3 4

n

convergente) mentre, sempre dal confronto con la serie geometrica, per ↵ > 9 la serie converge se p

↵ < 4, cio`e se ↵ < 16, diverge se p

↵ 4, ovvero se

↵ 16.

Riunendo quanto ottenuto possiamo concludere che la serie data converge se e solo se ↵ < 16.

17. Studiamo il comportamento della serie

+1

X

n=1

p n

+ 1 n

e

+ n al variare di ↵ 2 R. Osserviamo che la serie `e a termini non negativi e che per ↵ < 0 risulta e

! 0 per n ! +1 e dunque

p n

+ 1 n e

+ n ⇠

p n

+ 1 n

n = n( q

1 +

1)

n =

q

1 +

1 ⇠

Dal criterio del confronto asintotico otteniamo che la serie converge. Se ↵ = 0 abbiamo e

= 1 per ogni n 2 N e in modo analogo otteniamo che la serie converge essendo

p n

+ 1 n

1 + n ⇠

p n

+ 1 n

n =

q

1 +

1 ⇠

Se infine ↵ > 0 risulta n = o(e

) e pertanto p n

+ 1 n

e

+ n ⇠

p n

+ 1 n

e

= n

e

✓q

1 +

1

◆

⇠

e la serie converge per il criterio del confronto asintotico dato che

n!+1

lim

1 ne^↵n

1 n²

= lim

n!+1

n e

= 0 e che P

n=1 1

n²

converge.

18. Per la serie

+1

X

n=0

(3n)!

((n + 1)!)

osserviamo che, posto a

=

per n ! +1 risulta

a

a

= (3n + 3)!

((n + 2)!)

((n + 1)!)

(3n)! = (3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)

(n + 2)

⇠ 27n

n

!

8 >

<

> :

+ 1 se ↵ < 3 27 se ↵ = 3 0 se ↵ > 3 e dal criterio del rapporto possiamo concludere che la serie converge se ↵ > 3 mentre diverge se

↵  3.

19. La serie

+1

X

n=1

n

n! n

diverge per ogni ↵ 2 R Infatti, per ogni ↵ 2 R si ha (n + 1)

(n + 1)! (n + 1)

n! n

n

= (1 +

)

⇣

n n+1

⌘

! e per n ! +1, e dunque dal criterio del rapporto la serie diverge per ogni ↵ 2 R.

20. La serie

+1

X

n=1

2

n

sinh n diverge per ogni ↵ 2 R. Infatti, osservato che per n ! +1, sinh n =

eⁿ e ⁿ

2

=

⇠

, otteniamo

2

n

sinh n ⇠ 2 2

n

e

La serie P

n=1 2ⁿ²

n^↵neⁿ

per il criterio della radice risulta divergente per ogni ↵ 2 R, in quanto, posto a

=

, si ha

p

a

=

s

2

n

e

= 2

n

e ! +1, 8↵ 2 R.

21. Per studiare il comportamento della serie

+1

X

n=2

arctan

sinh

osserviamo innanzitutto che per n ! +1, dalla gerarchia degli infiniti si ha

! 0 e, dal criterio del rapporto per successioni,

! 0 in quanto

(n + 1)

(2n + 2)!

(2n)!

n

= n + 1

(2n + 2)(2n + 1)

✓ n + 1 n

◆

! 0 < 1 Quindi, dai limiti notevoli risulta

arctan n

(n + 1)! sinh n

(2n)! ⇠ n

(n + 1)! · n

(2n)!

Posto a

=

·

, per n ! +1 abbiamo a

a

= (n + 1)

(n + 2)! · (n + 1)

(2n + 2)! · (n + 1)!

n

· (2n)!

n

= (n + 1)

n

✓ n + 1 n

◆

n + 1

(n + 2)(2n + 2)(2n + 1) ! 0 8↵ 2 R e dunque, dal criterio del rapporto otteniamo che la serie P

n=1 n^↵ (n+1)!

nⁿ

(2n)!

converge. Dal criterio

del confronto asintotico possiamo allora concludere che anche la serie data converge.