RISOLUZIONE 1. A `e falsa. Per esempio la funzione f (x) = 1px

RISOLUZIONE 1. A `e falsa. Per esempio la funzione f (x) = p ¹

x `e continua in (0, 1] e lim

x !0

⁺

f (x) = + 1 ma R ₁

0 p 1

x dx `e convergente.

B `e vera. Infatti, siccome lim

x!0

⁺

f (x) = + 1 esiste 2 (0, 1) tale che f(x) 1 per ogni x 2 (0, ] e dunque ^{f (x)} _x ¹ _x per ogni x 2 (0, ]. Dal criterio del confronto segue allora che R

0 f (x)

x dx `e divergente e dunque sar` a tale anche R ₁

0 f (x)

x dx.

C `e falsa, per esempio la funzione f (x) = p ¹

x `e continua in (0, 1] e lim

x !0

⁺

f (x) = + 1 ma R ₁

0 f (x)

p x dx = R ₁

0 1

x dx `e divergente.

2. A `e vera. Infatti poich´e f (x) risulta positiva e continua in [a, + 1) dal Teorema fondamentale del calcolo integrale abbiamo che, posto F (b) = R b

a f (x) dx, risulta F ⁰ (b) = f (b) 0 per ogni b > a. Dal criterio di monotonia abbiamo dunque che F (b) risulta monotona crescente in [a, + 1) e dunque, dal Teorema sul limite delle funzioni monotone, ne segue che esiste (finito o infinito) il limite

b !+1 lim F (b) = lim

b !+1

Z b a

f (x) dx = Z + 1

a

f (x) dx.

B `e vera. Infatti, essendo f (x) positiva in [a, + 1) e infinitesima per x ! +1 abbiamo che esiste b > a tale che 0  f(x)  1 per ogni x b. Ne segue che per ogni x b risulta 0  f ² (x)  f(x) e poich´e R + 1

a f (x) dx converge, dal criterio del confronto otteniamo che anche R + 1

a f ² (x) dx converge.

C `e falsa. Per esempio la funzione f (x) = <sub>x</sub> <sup>1</sup> `e continua e positiva in [1, + 1) con lim _x

!+1 f (x) = 0 e R + 1

1 f (x) dx = R + 1

1 1

x dx divergente, mentre R + 1

1 f ² (x) dx = R + 1

1 1

x

²

dx risulta convergente.

3. A `e vera. Infatti, essendo p

xf (x) ! +1 per x ! 0 ⁺ otteniamo che esiste 2 (0, 1) tale che f (x) > 0 per x 2 (0, ). Dal Teorema fondamentale del calcolo abbiamo inoltre che F (x) = R 1

x f (t) dt risulta derivabile in (0, 1) con F ⁰ (x) = f (x) per ogni x 2 (0, 1). Dunque F ⁰ (x) < 0 per x 2 (0, ) e F (x) risulta decrescente in (0, ). Dal Teorema sul limite di funzioni monotone ne deduciamo che esiste

x!0 lim

⁺

F (x) = sup

x2(0, )

F (x).

B e C sono false. Scelta f (x) = _x ¹

p

abbiamo che

x!0 lim

⁺

p xf (x) = lim

x!0

⁺

p x

x ^p = + 1 per ogni p > ¹ ₂ . Osserviamo per` o che

x lim !0

⁺

F (x) = Z ₁

0

f (x) dx = Z ₁

0

1 x ^p dx

converge se ¹ ₂ < p < 1 (quindi C `e falsa) mentre diverge se p 1 > <sup>1</sup> <sub>2</sub> (dunque B `e falsa).

4. Per calcolare Z ₁

0

e ^x

e ^2x 1 dx, osserviamo che Z e ^x

e ^2x 1 dx =

Z e ^x

(e ^x 1)(e ^x + 1) dx = ¹ ₂

Z 1

e ^x 1 + 1 e ^x + 1 dx

= ¹ ₂ (log |e ^x 1 | + log |e ^x + 1 |) + c = ¹ ₂ log |e ^2x 1 | + c e dunque

Z ₁

0

e ^x

e ^2x 1 dx = lim

" !0

⁺

Z ₁

"

e ^x

e ^2x 1 dx = lim

" !0

⁺

⇥ ₁

2 log |e ^2x 1 | ⇤ 1

"

= lim

" !0

⁺

1

2 (log(e ² 1) log |e ^2" 1 |) = +1

5. Calcoliamo Z 1

0

x 3

x ² 2x dx utilizzando la definizione Z 1

0

x 3

x ² 2x dx = lim

a!0

⁺

Z 1 a

x 3

x ² 2x dx = lim

a!0

⁺

1 2

Z 1 a

3 x

1 x 2 dx

= lim

a!0

⁺

1

2 [3 log |x| log |x 2 |] ¹ _a = lim

a!0

⁺

1

2 (log |a 2 | log |a|)

= lim

a!0

⁺

1

2 (log ^{2 a} _a ) = + 1

6. Per calcolare Z ₂

0

| log x|

x dx osserviamo che Z ₂

0

| log x|

x dx = Z ₁

0

log x x dx +

Z ₂

1

log x x dx

Abbiamo che Z

log x

x = ¹ ₂ log ² x + c quindi

Z ₂

0

| log x|

x dx = Z ₁

0

log x x dx +

Z ₂

1

log x x dx

= lim

a !0

⁺

Z ₁

a

log x x dx +

Z ₂

1

log x x dx

= lim

a !0

⁺

⇥ ₁

2 log ² x ⇤ 1 a + ⇥ ₁

2 log ² x ⇤ 2 1

= lim

a !0

⁺

1

2 log ² a + ¹ ₂ log ² 2 = + 1 7. Dalla definizione di integrale improprio abbiamo

Z + 1 1

log(1 + x)

x ² dx = lim

b !+1

Z b 1

log(1 + x)

x ² dx

Per calcolare R _b

1

log(1+x)

x

²

dx osserviamo che integrando per parti otteniamo Z b

1

log(1 + x) x ² dx =

 1

x log(1 + x)

b

1

+ Z b

1

1 x(1 + x) dx

= ¹ _b log(1 + b) + log 2 + Z _b

1

1 x

1 1 + x dx

= ¹ _b log(1 + b) + log 2 + [log x log(1 + x)] ^b ₁

= ¹ _b log(1 + b) + log 2 + log b log(1 + b) + log 2

= 2 log 2 ¹ _b log(1 + b) + log _1+b ^b e quindi Z ₊₁

1

log(1 + x)

x ² dx = lim

b !+1 2 log 2 ¹ _b log(1 + b) + log _1+b ^b = 2 log 2 8. Per calcolare

Z ₊₁

1

2x + 1

x ³ + x dx, dalla definizione abbiamo Z ₊₁

1

2x + 1

x ³ + x dx = lim

b !+1

Z _b

1

2x + 1

x ³ + x dx = lim

b !+1

Z _b

1

1 x

x 2

x ² + 1 dx

= lim

b !+1

⇥ log x ¹ ₂ log(x ² + 1) + 2 arctan x ⇤ b 1

= lim

b!+1 log p ^b

b

²

+1 + 2 arctan b + ¹ ₂ log 2 2 arctan 1

= ¹ ₂ log 2 + ^⇡ ₂ 9. Calcoliamo

Z ₊₁

2 1

x

²

arctan ^{x 2} _x+2 dx determinando innanzitutto Z

1

x

²

arctan ^{x 2} _x+2 dx. Integrando per parti otteniamo

Z

1

x

²

arctan ^{x 2} _x+2 dx = ¹ _x arctan ^{x 2} _x+2 + Z

1 x 2

x

²

+4 dx

= ¹ _x arctan ^{x 2} _x+2 + ¹ ₂ Z

1

x x

x

²

+4 dx

= ¹ _x arctan ^{x 2} _x+2 + ¹ ₂ log |x| ¹ ₄ log(x ² + 4) + c da cui

Z + 1 2

1

x

²

arctan ^{x 2} _x+2 dx = lim

b !+1

Z b 2

1

x

²

arctan ^{x 2} _x+2 dx

= lim

b !+1

h 1

x arctan ^{x 2} _x+2 + ¹ ₂ log |x| ¹ ₄ log(x ² + 4) i b 2

= lim

b!+1 1

b arctan ^{b 2} _b+2 + ¹ ₂ log |b| ¹ ₄ log(b ² + 4) ¹ ₂ log 2 + ¹ ₄ log 8

= ¹ ₄ log 2

10. L’integrale improprio Z 1

0

e ^{p x} p 1 + x

sinh x log(1 + x ² ) dx converge. Per stabilirlo osserviamo che l’integranda f (x) = ^e

px

p 1+x

sinh x log(1+x

²

) `e funzione continua in (0, 1], studiamone il comportamento per x ! 0 ⁺ .

Per x ! 0 ⁺ abbiamo che e ^{p x} p

1 + x = p

x + o( p

x) ¹ ₂ x + o(x) = p

x + o( p

x) mentre sinh x log(1 + x ² ) = x + o(x) x ² + o(x ² ) = x + o(x) e dunque

f (x) =

p x + o( p x) x + o(x) ⇠ 1

p x Essendo R ₁

0 p 1

x dx convergente (poich´e ¹ ₂ < 1), dal criterio del confronto asintotico deduciamo che anche l’integrale dato `e convergente.

11. L’integrale Z ₁

0

sin x e

^x2

cosh p

x dx converge. Infatti, ricordando che per x ! 0, sin x ⇠ x, mentre e ^x = 1 + ^x ₂ + ^x ₈

²

+ o(x ² ) e cosh p

x = 1 + ^x ₂ + ^x ₂₄

²

+ o(x ² ), da cui e ^x cosh x ⇠ ^x ₁₂

²

, otteniamo sin x

e

^x2

cosh p x ⇠ x

x

²

12

= ¹² _x

Poich´e l’integrale R ₁

0 1

x dx diverge, dal criterio del confronto asintotico l’integrale dato risulta anch’esso divergente.

12. L’integrale Z 1

0

4

q _x

log(1+x) 1 1 cos p

x dx converge. Infatti, per x ! 0 ⁺ , dato che risulta _log(1+x) ^x ! 1

4

q x

log(1+x) 1 = r⇣

⁴

x

log(1+x) 1 ⌘

+ 1 1 ⇠ ¹ ₄ ( _log(1+x) ^x 1) = ¹ ₄ ^{x log(1+x)} _log(1+x) ⇠ ¹ ₄

^x2

_x

²

= ^x ₈ essendo log(1 + x) = x ^x ₂

²

+ o(x ² ). Dato che per x ! 0 ⁺ si ha 1 cos p

x ⇠ ^x ₂ e dunque

4

q x

log(1+x) 1 1 cos p

x ! ¹ ₄

ne segue che l’integrale dato converge (per la condizione sufficiente alla convergenza).

13.

Z + 1 1

log(1 + x ² )

x ³ log x dx converge. Infatti, per x ! +1 abbiamo log(1 + x ² )

x ³ log x ⇠ log(x ² )

x ³ log x = 2 log x x ³ log x = 2

x ² e quindi, dal criterio del confronto asintotico, l’integrale dato converge.

14. Per stabilire il comportamento di Z ₊₁

2

⇡ 2 arctan x

p x(e ^x 1) dx osserviamo che essendo per x ! +1

⇡

2 arctan x = arctan ¹ _x ⇠ _x ¹ e e ^x 1 ⇠ e ^x , si ha

⇡ 2 arctan x p x(e ^x 1) ⇠ 2

x

³²

e ^x L’integrale R ₊₁

1 1

x

³²

e

^x

dx risulta convergente e dunque, dal criterio del confronto asintotico, de-

duciamo che anche l’integrale dato risulta convergente.

Per provare che R + 1

1 1

x

³²

e

^x

dx converge possiamo utilizzare il criterio del confronto asintotico osservato che

x!+1 lim

1 x

³²

e

^x

1 x

³²

= 1 e ^x = 0 e che R + 1

1 1

x

³²

dx risulta convergente ^(m) . 15. L’integrale

Z + 1 0

p x ³ + x ²

sinh x log(1 + x) dx converge. Notiamo infatti che la funzione integranda risulta continua su (0, + 1) e dunque l’integrale risulter`a convergente se e solo se risultano tali gli integrali

Z 1 0

p x ³ + x ²

sinh x log(1 + x) dx e

Z + 1 1

p x ³ + x ²

sinh x log(1 + x) dx Per x ! 0 ⁺ risulta sinh x = x + o(x ² ) e log(1 + x) = x ^x ₂

²

+ o(x ² ) quindi

sinh x log(1 + x) 1 = ^x ₂

²

+ o(x ² ) ⇠ ^x ₂

²

Dato che per x ! 0 ⁺ si ha p

x ³ + x ² = p

x ³ segue che p x ³ + x ²

sinh x log(1 + x) ⇠ p x ³

x

²

2

= p ² x

Dal criterio del confronto asintotico segue allora che l’integrale R ₁

0

p x

³

+x

²

sinh x log(1+x) dx converge dato che R 1

0 p 1

x dx converge. Per x ! +1, risulta

sinh x = ^e

^x

₂ ^e

^x

= ^e

^2x

_2e

x

¹ = ⇠ _2e ^e

^2xx

= ^e ₂

^x

mentre p

x ³ + x ² ⇠ x ² otteniamo che

p x ³ + x ²

sinh x log(1 + x) ⇠ ^x

ex² 2

= ^2x _e

x²

Poich´e R ₊₁

1 2x

²

e

^x

dx converge (vedi nota), dal criterio del confronto asintotico concludiamo che anche l’integrale R + 1

1

p x

³

+x

²

sinh x log(1+x) dx converge.

Quanto sopra mostra che l’integrale proposto `e convergente.

16. L’integrale Z ₁

0

1 cos x

x ^↵ sin ² x dx converge se e solo se ↵ < 1. Infatti, ricordando che per x ! 0 risulta 1 cos x ⇠ ^x ₂

²

e sin x ⇠ x si ottiene

f _↵ (x) = 1 cos x

x ^↵ sin ² x ⇠ x ²

2x ^↵ x ² = 1 2x ^↵ e quindi, dal criterio del confronto asintotico, R 1

0 f _↵ (x)dx converge se e solo se ↵ < 1.

(m)

In generale, sempre usando il criterio del confronto asintotico, si pu` o provare che l’integrale R

₊₁

1 1

x^↵e^x

dx converge per ogni ↵ 2 R, essendo

x!+1

lim

1 x^↵e^x

1 x^p

= x

^{p ↵}

e

^x

= 0 per ogni ↵, p 2 R e R

₊₁

1 1

x^p

dx convergente per p > 1.

17. Studiamo il comportamento dell’integrale Z ₁

0

sin x p

3

1 + ↵x cos p

x dx. Osserviamo che per x ! 0 ⁺ risulta p

³

1 + ↵x = 1 + ^↵ ₃ x ^↵

²

₉ ^x

²

+ o(x ² ) mentre cos p

x = 1 ^x ₂ + ^x ₂₄

²

+ o(x ² ). Quindi

p

3

1 + ↵x cos p

x = ( ^↵ ₃ + ¹ ₂ )x + ⇣

↵

²

9 + ₂₄ ¹ ⌘

x ² + o(x ² ) ⇠

( ( ^↵ ₃ + ¹ ₂ )x se ↵ 6= ³ ₂

7

24 x ² se ↵ = ³ ₂ Ne segue che per x ! 0 ⁺ si ha

sin x p

3

1 + ↵x cos p x ⇠

8 <

:

x

(

^↵₃

+

¹₂

)x =

_↵

¹

3

+

¹₂

se ↵ 6= ³ ₂

x

7

24

x

²

= _7x ²⁴ se ↵ = ³ ₂ Pertanto, se ↵ 6= ³ ₂ l’integrale R 1

0 sin x p

3

1+↵x cos p

x dx converge per la condizione sufficiente alla convergenza mentre dal criterio del confronto asintotico se ↵ = ³ ₂ l’integrale diverge essendo tale R 1

0 1 x dx.

18. L’integrale Z + 1

1

arctan x ^↵ p

3

x ⁴ + x p

³

x ⁴ 1 dx converge se e solo se ↵ < ¹ ₂ . Osserviamo innanzitutto che per x ! +1 si ha

p

3

x ⁴ + x p

³

x ⁴ 1 = p

³

x ⁴ 1

✓ q

3

x

⁴

+x x

⁴

1 1

◆

⇠ x

⁴³

✓ q

3

x

⁴

+x x

⁴

1 1

◆

⇠ x

⁴³

¹ ₃ ⇣

x

⁴

+x x

⁴

1 1 ⌘

= ^x

43

3 x+1 x

⁴

1 ⇠ ^x

43

3 1 x

³

= ¹

3x

⁵³

Mentre si ha

x!+1 lim arctan x ^↵ = 8 >

<

> :

0 se ↵ < 0

⇡

4 se ↵ = 0

⇡

2 se ↵ > 0 Ne segue che se ↵ > 0 allora per x ! +1

f _↵ (x) = p

3

^{arctan x}

^↵

x

⁴

+x p

³

x

⁴

1 ⇠ _3⇡ ² _x

5/3

¹

ed essendo R + 1 1

dx

x

^5/3

convergente, dal criterio del confronto asintotico si deduce che l’integrale dato converge. Analogamente se ↵ = 0.

Se ↵ < 0, ricordando che arctan y ⇠ y per y ! 0, si ottiene arctan x ^↵ ⇠ x ^↵ per x ! +1 e quindi

f ↵ (x) = p

3

^{arctan x}

^↵

x

⁴

+x p

³

x

⁴

1 ⇠ _3x ^x

5/3^↵

= _3x

_{5/3 ↵}

¹

Dato che ⁵ ₃ ↵ > 1 per ogni ↵ < 0, dal criterio del confronto asintotico si deduce che per ↵ < 0

l’integrale dato converge. Riunendo i risultati ottenuti possiamo concludere che l’integrale dato

converge per ogni ↵ 2 R.

19. Studiamo il comportamento dell’integrale Z + 1

1

arctan x

(log x + x ^↵ ) ² dx. Osserviamo che l’integranda f _↵ (x) = _{(log x+x} ^{arctan x}

↵

)

²

`e definita e continua in [1, + 1), studiamone quindi il comportamento per x ! +1. Per x ! +1 risulta arctan x ! ^⇡ ₂ mentre se ↵ < 0 allora x ^↵ ! 0 e (log x + x ^↵ ) ² ⇠ log ² x, se invece ↵ = 0 allora x ^↵ = 1 e (log x + x ^↵ ) ² ⇠ log ² x. Ne segue che per ↵  0

f _↵ (x) ⇠ ^⇡ _{2 log} ¹

2

x , 8↵ > 0,

e tale integrale risulta divergente dato che per la gerarchia degli infiniti

x!+1 lim

1 log

²

x

1 x

= lim

x!+1

⇣ p x log x

⌘ 2

= 0

e R + 1 1 p 1

x dx diverge. Se invece ↵ > 0 allora, sempre dalla gerarchia degli infiniti, per x ! +1 si ha (log x + x ^↵ ) ² ⇠ x ^2↵ e dunque

f _↵ (x) ⇠ ^⇡ _{2 x} ¹

2↵

, 8↵ > 0,

Dalla criterio del confronto asintotico otteniamo pertanto che l’integrale converge se e solo se 2↵ > 1. Riunendo quanto sopra si ha allora che R + 1

1 f ↵ (x) dx converge se e solo se ↵ > ¹ ₂ .

20. Per determinare il comportamento dell’integrale Z + 1

0

p 1

x + x ^↵ dx analizziamo separatamente il comportamento di f _↵ (x) = p ¹

x+x

^↵

per x ! 0 ⁺ e per x ! +1 al variare di ↵ 2 R.

Per x ! 0 ⁺ si ha

f _↵ (x) ⇠ 8 >

> <

> >

:

p 1

x se ↵ > 1

p 1

2x se ↵ = 1

p 1

x

^↵

se ↵ < 1

Dal criterio del confronto asintotico otteniamo allora che se ↵ 1, R 1

0 f _↵ (x)dx converge. Se

↵ < 1 dato che ^↵ ₂ < 1 si ha che R ₁

0 p dx

x

^↵

converge e sempre dal criterio del confronto asintotico, deduciamo che R ₁

0 f _↵ (x)dx converge. Da quanto sopra si ottiene che R ₁

0 f _↵ (x)dx converge per ogni ↵ 2 R.

Per x ! +1 si ha

f _↵ (x) ⇠ 8 >

> <

> >

:

p 1

x se ↵ < 1

p 1

2x se ↵ = 1

p 1

x

^↵

se ↵ > 1

Dal criterio del confronto asintotico otteniamo allora che se ↵  1, R + 1

1 f _↵ (x)dx diverge. Inoltre osservato che R + 1

1 p dx

x

^↵

converge se e solo se ↵ > 2, ne deduciamo che R + 1

1 f _↵ (x)dx converge se e solo se ↵ > 2.

Riunendo i risultati sopra, otteniamo che l’integrale R + 1

0 f ↵ (x)dx converge se e solo se ↵ > 2.

21. Studiamo il comportamento dell’integrale Z + 1

0

sinh x x ^↵ cosh x p

1 + x ² dx. Osserviamo che per x ! 0 ⁺ risulta cosh x p

1 + x ² = 1 + ^x ₂

²

+ o(x ³ ) (1 + ^x ₂

²

^x ₈

³

+ o(x ³ )) = ^x ₈

³

+ o(x ³ ) ⇠ ^x ₈

³

mentre

sinh x x ^↵ = x + ^x ₆

³

+ o(x ³ ) x ^↵ ⇠ 8 >

<

> :

x se ↵ > 1

x

³

6 se ↵ = 1 x ^↵ se ↵ < 1 Ne segue che per x ! 0 ⁺ si ha

sinh x x ^↵ cosh x p

1 + x ² ⇠ 8 >

<

> :

8

x

²

se ↵ > 1

4

3 se ↵ = 1

8

x

^{3 ↵}

se ↵ < 1

Pertanto, per la condizione sufficiente alla convergenza, se ↵ = 1 l’integrale R ₁

0 sinh x x

^↵

cosh x p

1+x

²

dx converge. Per il criterio del confronto asintotico se ↵ > 1 l’integrale R ₁

0 sinh x x

^↵

cosh x p

1+x

²

dx diverge mentre se ↵ < 1, essendo 3 ↵ > 1 dal criterio del confronto asintotico l’integrale converge.

Per x ! +1, osservato che sinh x = ^e

^x

₂ ^e

^x

= ^e

^2x

_2e

x

¹ ⇠ ^e ₂

^x

e cosh x = ^e

^x

^+e ₂

^x

= ^e

^2x

_2e ⁺¹

x

⇠ ^e ₂

^x

, dalla gerarchia degli infiniti per ogni ↵ 2 R abbiamo

sinh x x ^↵ ⇠ ^e ₂

^x

e cosh x p

1 + x ² ⇠ e ^x 2 da cui

sinh x x ^↵ cosh x p

1 + x ² ! 1 per x ! +1 Dalla condizione necessaria alla convergenza ne deduciamo che R + 1

1 sinh x x

^↵

cosh x p

1+x

²

dx non converge e pertanto nemmeno R ₊₁

0 sinh x x

^↵

cosh x p

1+x

²

dx.