RISOLUZIONE 1. A `e falsa. Per esempio la funzione f (x) = p 1
x `e continua in (0, 1] e lim
x !0
+f (x) = + 1 ma R 1
0 p 1
x dx `e convergente.
B `e vera. Infatti, siccome lim
x!0
+f (x) = + 1 esiste 2 (0, 1) tale che f(x) 1 per ogni x 2 (0, ] e dunque f (x) x 1 x per ogni x 2 (0, ]. Dal criterio del confronto segue allora che R
0 f (x)
x dx `e divergente e dunque sar` a tale anche R 1
0 f (x)
x dx.
C `e falsa, per esempio la funzione f (x) = p 1
x `e continua in (0, 1] e lim
x !0
+f (x) = + 1 ma R 1
0 f (x)
p x dx = R 1
0 1
x dx `e divergente.
2. A `e vera. Infatti poich´e f (x) risulta positiva e continua in [a, + 1) dal Teorema fondamentale del calcolo integrale abbiamo che, posto F (b) = R b
a f (x) dx, risulta F 0 (b) = f (b) 0 per ogni b > a. Dal criterio di monotonia abbiamo dunque che F (b) risulta monotona crescente in [a, + 1) e dunque, dal Teorema sul limite delle funzioni monotone, ne segue che esiste (finito o infinito) il limite
b!+1 lim F (b) = lim
b!+1
Z b a
f (x) dx = Z + 1
a
f (x) dx.
B `e vera. Infatti, essendo f (x) positiva in [a, + 1) e infinitesima per x ! +1 abbiamo che esiste b > a tale che 0 f(x) 1 per ogni x b. Ne segue che per ogni x b risulta 0 f 2 (x) f(x) e poich´e R + 1
a f (x) dx converge, dal criterio del confronto otteniamo che anche R + 1
a f 2 (x) dx converge.
C `e falsa. Per esempio la funzione f (x) = 1 x `e continua e positiva in [1, + 1) con lim x
!+1 f (x) = 0 e R +1
1 f (x) dx = R +1
1 1
x dx divergente, mentre R +1
1 f 2 (x) dx = R +1
1 1
x
2dx risulta convergente.
3. A `e vera. Infatti, essendo p
xf (x) ! +1 per x ! 0 + otteniamo che esiste 2 (0, 1) tale che f (x) > 0 per x 2 (0, ). Dal Teorema fondamentale del calcolo abbiamo inoltre che F (x) = R 1
x f (t) dt risulta derivabile in (0, 1) con F 0 (x) = f (x) per ogni x 2 (0, 1). Dunque F 0 (x) < 0 per x 2 (0, ) e F (x) risulta decrescente in (0, ). Dal Teorema sul limite di funzioni monotone ne deduciamo che esiste
x!0 lim+F (x) = sup
x2(0, )
F (x).
B e C sono false. Scelta f (x) = x 1p abbiamo che
x!0 lim+
p xf (x) = lim
x!0
+p x
x p = + 1 per ogni p > 1 2 . Osserviamo per` o che
x lim !0
+F (x) = Z 1
0
f (x) dx = Z 1
0
1 x p dx
converge se 1 2 < p < 1 (quindi C `e falsa) mentre diverge se p 1 > 1 2 (dunque B `e falsa).
4. Per calcolare Z 1
0
e x
e 2x 1 dx, osserviamo che Z e x
e 2x 1 dx =
Z e x
(e x 1)(e x + 1) dx = 1 2
Z 1
e x 1 + 1 e x + 1 dx
= 1 2 (log |e x 1 | + log |e x + 1 |) + c = 1 2 log |e 2x 1 | + c e dunque
Z 1
0
e x
e 2x 1 dx = lim
" !0
+Z 1
"
e x
e 2x 1 dx = lim
" !0
+⇥ 1
2 log |e 2x 1 | ⇤ 1
"
= lim
" !0
+1
2 (log(e 2 1) log |e 2" 1 |) = +1
5. Calcoliamo Z 1
0
x 3
x 2 2x dx utilizzando la definizione Z 1
0
x 3
x 2 2x dx = lim
a!0
+Z 1 a
x 3
x 2 2x dx = lim
a!0
+1 2
Z 1 a
3 x
1 x 2 dx
= lim
a!0
+1
2 [3 log |x| log |x 2 |] 1 a = lim
a!0
+1
2 (log |a 2 | log |a|)
= lim
a !0
+1
2 (log 2 a a ) = + 1
6. Per calcolare Z 2
0
| log x|
x dx osserviamo che Z 2
0
| log x|
x dx = Z 1
0
log x x dx +
Z 2 1
log x x dx
Abbiamo che Z
log x
x = 1 2 log 2 x + c quindi
Z 2
0
| log x|
x dx = Z 1
0
log x x dx +
Z 2
1
log x x dx
= lim
a !0
+Z 1
a
log x x dx +
Z 2
1
log x x dx
= lim
a !0
+⇥ 1
2 log 2 x ⇤ 1 a + ⇥ 1
2 log 2 x ⇤ 2 1
= lim
a !0
+1
2 log 2 a + 1 2 log 2 2 = + 1 7. Dalla definizione di integrale improprio abbiamo
Z + 1 1
log(1 + x)
x 2 dx = lim
b !+1
Z b 1
log(1 + x)
x 2 dx
Per calcolare R b
1
log(1+x)
x
2dx osserviamo che integrando per parti otteniamo Z b
1
log(1 + x) x 2 dx =
1
x log(1 + x)
b
1
+ Z b
1
1 x(1 + x) dx
= 1 b log(1 + b) + log 2 + Z b
1
1 x
1 1 + x dx
= 1 b log(1 + b) + log 2 + [log x log(1 + x)] b 1
= 1 b log(1 + b) + log 2 + log b log(1 + b) + log 2
= 2 log 2 1 b log(1 + b) + log 1+b b e quindi Z +1
1
log(1 + x)
x 2 dx = lim
b !+1 2 log 2 1 b log(1 + b) + log 1+b b = 2 log 2 8. Per calcolare
Z + 1 1
2x + 1
x 3 + x dx, dalla definizione abbiamo Z +1
1
2x + 1
x 3 + x dx = lim
b !+1
Z b
1
2x + 1
x 3 + x dx = lim
b !+1
Z b
1
1 x
x 2
x 2 + 1 dx
= lim
b !+1
⇥ log x 1 2 log(x 2 + 1) + 2 arctan x ⇤ b 1
= lim
b!+1 log p b
b
2+1 + 2 arctan b + 1 2 log 2 2 arctan 1
= 1 2 log 2 + ⇡ 2 9. Calcoliamo
Z + 1 2
1
x
2arctan x 2 x+2 dx determinando innanzitutto Z
1
x
2arctan x 2 x+2 dx. Integrando per parti otteniamo
Z
1
x
2arctan x 2 x+2 dx = x 1 arctan x 2 x+2 + Z
1 x 2
x
2+4 dx
= x 1 arctan x 2 x+2 + 1 2 Z
1
x x
x
2+4 dx
= x 1 arctan x 2 x+2 + 1 2 log |x| 1 4 log(x 2 + 4) + c da cui
Z + 1 2
1
x
2arctan x 2 x+2 dx = lim
b !+1
Z b 2
1
x
2arctan x 2 x+2 dx
= lim
b !+1
h 1
x arctan x 2 x+2 + 1 2 log |x| 1 4 log(x 2 + 4) i b 2
= lim
b!+1 1
b arctan b 2 b+2 + 1 2 log |b| 1 4 log(b 2 + 4) 1 2 log 2 + 1 4 log 8
= 1 4 log 2
10. L’integrale improprio Z 1
0
e p x p 1 + x
sinh x log(1 + x 2 ) dx converge. Per stabilirlo osserviamo che l’integranda f (x) = e
px
p 1+x
sinh x log(1+x
2) `e funzione continua in (0, 1], studiamone il comportamento per x ! 0 + .
Per x ! 0 + abbiamo che e p x p
1 + x = p
x + o( p
x) 1 2 x + o(x) = p
x + o( p
x) mentre sinh x log(1 + x 2 ) = x + o(x) x 2 + o(x 2 ) = x + o(x) e dunque
f (x) =
p x + o( p x) x + o(x) ⇠ 1
p x Essendo R 1
0 p 1
x dx convergente (poich´e 1 2 < 1), dal criterio del confronto asintotico deduciamo che anche l’integrale dato `e convergente.
11. L’integrale Z 1
0
sin x e
x2cosh p
x dx converge. Infatti, ricordando che per x ! 0, sin x ⇠ x, mentre e x = 1 + x 2 + x 82 + o(x 2 ) e cosh p
x = 1 + x 2 + x 242 + o(x 2 ), da cui e x cosh x ⇠ x 122, otteniamo sin x
, otteniamo sin x
e
x2cosh p x ⇠ x
x
212
= 12 x
Poich´e l’integrale R 1
0 1
x dx diverge, dal criterio del confronto asintotico l’integrale dato risulta anch’esso divergente.
12. L’integrale Z 1
0
4
q x
log(1+x) 1 1 cos p
x dx converge. Infatti, per x ! 0 + , dato che risulta log(1+x) x ! 1
4
q x
log(1+x) 1 = r⇣4
x
log(1+x) 1 ⌘
+ 1 1 ⇠ 1 4 ( log(1+x) x 1) = 1 4 x log(1+x) log(1+x) ⇠ 1 4x2x
2 = x 8 essendo log(1 + x) = x x 22 + o(x 2 ). Dato che per x ! 0 + si ha 1 cos p
+ o(x 2 ). Dato che per x ! 0 + si ha 1 cos p
x ⇠ x 2 e dunque
4
q x
log(1+x) 1 1 cos p
x ! 1 4
ne segue che l’integrale dato converge (per la condizione sufficiente alla convergenza).
13.
Z + 1 1
log(1 + x 2 )
x 3 log x dx converge. Infatti, per x ! +1 abbiamo log(1 + x 2 )
x 3 log x ⇠ log(x 2 )
x 3 log x = 2 log x x 3 log x = 2
x 2 e quindi, dal criterio del confronto asintotico, l’integrale dato converge.
14. Per stabilire il comportamento di Z +1
2
⇡ 2 arctan x
p x(e x 1) dx osserviamo che essendo per x ! +1
⇡
2 arctan x = arctan 1 x ⇠ 1 x e e x 1 ⇠ e x , si ha
⇡ 2 arctan x p x(e x 1) ⇠ 2
x
32e x L’integrale R + 1
1 1
x
32e
xdx risulta convergente e dunque, dal criterio del confronto asintotico, de-
duciamo che anche l’integrale dato risulta convergente.
Per provare che R + 1
1 1
x
32e
xdx converge possiamo utilizzare il criterio del confronto asintotico osservato che
x!+1 lim
1 x
32e
x1 x
32= 1 e x = 0 e che R + 1
1 1
x
32dx risulta convergente (l) . 15. L’integrale
Z + 1 0
p x 3 + x 2
sinh x log(1 + x) dx converge. Notiamo infatti che la funzione integranda risulta continua su (0, + 1) e dunque l’integrale risulter`a convergente se e solo se risultano tali gli integrali
Z 1 0
p x 3 + x 2
sinh x log(1 + x) dx e
Z + 1 1
p x 3 + x 2
sinh x log(1 + x) dx Per x ! 0 + risulta sinh x = x + o(x 2 ) e log(1 + x) = x x 22 + o(x 2 ) quindi
sinh x log(1 + x) 1 = x 22 + o(x 2 ) ⇠ x 22
Dato che per x ! 0 + si ha p
Dato che per x ! 0 + si ha p
x 3 + x 2 = p
x 3 segue che p x 3 + x 2
sinh x log(1 + x) ⇠ p x 3
x
22
= p 2 x
Dal criterio del confronto asintotico segue allora che l’integrale R 1
0
p x
3+x
2sinh x log(1+x) dx converge dato che R 1
0 p 1
x dx converge. Per x ! +1, risulta
sinh x = ex 2 e
x = e2x2e
x1 = ⇠ 2e e
2xx = e 2x
mentre p
2e
x1 = ⇠ 2e e
2xx= e 2x
mentre p
x 3 + x 2 ⇠ x 2 otteniamo che
p x 3 + x 2
sinh x log(1 + x) ⇠ xex2 2
= 2x ex2
Poich´e R +1
1 2x
2e
xdx converge (vedi nota), dal criterio del confronto asintotico concludiamo che anche l’integrale R + 1
1
p x
3+x
2sinh x log(1+x) dx converge.
Quanto sopra mostra che l’integrale proposto `e convergente.
16. L’integrale Z 1
0
1 cos x
x ↵ sin 2 x dx converge se e solo se ↵ < 1. Infatti, ricordando che per x ! 0 risulta 1 cos x ⇠ x 22 e sin x ⇠ x si ottiene
f ↵ (x) = 1 cos x
x ↵ sin 2 x ⇠ x 2
2x ↵ x 2 = 1 2x ↵ e quindi, dal criterio del confronto asintotico, R 1
0 f ↵ (x)dx converge se e solo se ↵ < 1.
(l)
In generale, sempre usando il criterio del confronto asintotico, si pu` o provare che l’integrale R
+1 11
x↵ex
dx converge per ogni ↵ 2 R, essendo
x!+1
lim
1 x↵ex
1 xp
= x
p ↵e
x= 0 per ogni ↵, p 2 R e R
+11 1
xp
dx convergente per p > 1.
17. Studiamo il comportamento dell’integrale Z 1
0
sin x p
31 + ↵x cos p
x dx. Osserviamo che per x ! 0 + risulta p
31 + ↵x = 1 + ↵ 3 x ↵29 x
2 + o(x 2 ) mentre cos p
x = 1 x 2 + x 242 + o(x 2 ). Quindi
p
31 + ↵x cos p
x = ( ↵ 3 + 1 2 )x + ⇣
↵
29 + 24 1 ⌘
x 2 + o(x 2 ) ⇠
( ( ↵ 3 + 1 2 )x se ↵ 6= 3 2
7
24 x 2 se ↵ = 3 2 Ne segue che per x ! 0 + si ha
sin x p
31 + ↵x cos p x ⇠
8 <
:
x
(
↵3+
12)x = ↵1
3
+
12se ↵ 6= 3 2
x
7
24
x
2= 24 7x se ↵ = 3 2 Pertanto, se ↵ 6= 3 2 l’integrale R 1
0 sin x p
31+↵x cos p
x dx converge per la condizione sufficiente alla convergenza mentre dal criterio del confronto asintotico se ↵ = 3 2 l’integrale diverge essendo tale R 1
0 1 x dx.
18. L’integrale Z + 1
1
arctan x ↵ p
3x 4 + x p
3x 4 1 dx converge se e solo se ↵ < 1 2 . Osserviamo innanzitutto che per x ! +1 si ha
p
3x 4 + x p
3x 4 1 = p
3x 4 1
✓ q
3x
4+x x
41 1
◆
⇠ x
43✓ q
3x
4+x x
41 1
◆
⇠ x
431 3 ⇣
x
4+x x
41 1 ⌘
= x
43
3 x+1 x
41 ⇠ x
43
3 1 x
3= 1
3x
53Mentre si ha
x !+1 lim arctan x ↵ = 8 >
<
> :
0 se ↵ < 0
⇡
4 se ↵ = 0
⇡
2 se ↵ > 0 Ne segue che se ↵ > 0 allora per x ! +1
f ↵ (x) = p3 arctan x
↵
x
4+x p
3x
41 ⇠ 3⇡ 2 x
5/31
ed essendo R + 1 1
dx
x
5/3convergente, dal criterio del confronto asintotico si deduce che l’integrale dato converge. Analogamente se ↵ = 0.
Se ↵ < 0, ricordando che arctan y ⇠ y per y ! 0, si ottiene arctan x ↵ ⇠ x ↵ per x ! +1 e quindi
f ↵ (x) = p3 arctan x
↵
x
4+x p
3
x
41 ⇠ 3x x
5/3↵= 1
3x
5/3 ↵Dato che 5 3 ↵ > 1 per ogni ↵ < 0, dal criterio del confronto asintotico si deduce che per ↵ < 0
l’integrale dato converge. Riunendo i risultati ottenuti possiamo concludere che l’integrale dato
converge per ogni ↵ 2 R.
19. Studiamo il comportamento dell’integrale Z + 1
1
arctan x
(log x + x ↵ ) 2 dx. Osserviamo che l’integranda f ↵ (x) = (log x+x arctan x↵)
2 `e definita e continua in [1, + 1), studiamone quindi il comportamento per x ! +1. Per x ! +1 risulta arctan x ! ⇡ 2 mentre se ↵ < 0 allora x ↵ ! 0 e (log x + x ↵ ) 2 ⇠ log 2 x, se invece ↵ = 0 allora x ↵ = 1 e (log x + x ↵ ) 2 ⇠ log 2 x. Ne segue che per ↵ 0
f ↵ (x) ⇠ ⇡ 2 log 12x , 8↵ > 0,
e tale integrale risulta divergente dato che per la gerarchia degli infiniti
x!+1 lim
1 log
2x
1 x
= lim
x!+1
⇣ p x log x
⌘ 2
= 0
e R + 1 1 p 1
x dx diverge. Se invece ↵ > 0 allora, sempre dalla gerarchia degli infiniti, per x ! +1 si ha (log x + x ↵ ) 2 ⇠ x 2↵ e dunque
f ↵ (x) ⇠ ⇡ 2 x 12↵, 8↵ > 0,
Dalla criterio del confronto asintotico otteniamo pertanto che l’integrale converge se e solo se 2↵ > 1. Riunendo quanto sopra si ha allora che R + 1
1 f ↵ (x) dx converge se e solo se ↵ > 1 2 .
20. Per determinare il comportamento dell’integrale Z + 1
0
p 1
x + x ↵ dx analizziamo separatamente il comportamento di f ↵ (x) = p 1
x+x
↵per x ! 0 + e per x ! +1 al variare di ↵ 2 R.
Per x ! 0 + si ha
f ↵ (x) ⇠ 8 >
> <
> >
:
p 1
x se ↵ > 1
p 1
2x se ↵ = 1
p 1
x
↵se ↵ < 1
Dal criterio del confronto asintotico otteniamo allora che se ↵ 1, R 1
0 f ↵ (x)dx converge. Se
↵ < 1 dato che ↵ 2 < 1 si ha che R 1
0 p dx
x
↵converge e sempre dal criterio del confronto asintotico, deduciamo che R 1
0 f ↵ (x)dx converge. Da quanto sopra si ottiene che R 1
0 f ↵ (x)dx converge per ogni ↵ 2 R.
Per x ! +1 si ha
f ↵ (x) ⇠ 8 >
> <
> >
:
p 1
x se ↵ < 1
p 1
2x se ↵ = 1
p 1
x
↵se ↵ > 1
Dal criterio del confronto asintotico otteniamo allora che se ↵ 1, R + 1
1 f ↵ (x)dx diverge. Inoltre osservato che R + 1
1 p dx
x
↵converge se e solo se ↵ > 2, ne deduciamo che R + 1
1 f ↵ (x)dx converge se e solo se ↵ > 2.
Riunendo i risultati sopra, otteniamo che l’integrale R + 1
0 f ↵ (x)dx converge se e solo se ↵ > 2.
21. Studiamo il comportamento dell’integrale Z + 1
0
sinh x x ↵ cosh x p
1 + x 2 dx. Osserviamo che per x ! 0 + risulta
cosh x p
1 + x 2 = 1 + x 22 + x 4!4 + o(x 4 ) (1 + x 22 x 8
4 + o(x 4 )) = x 64 + o(x 4 ) ⇠ x 64
mentre
+ o(x 4 ) (1 + x 22 x 8
4 + o(x 4 )) = x 64 + o(x 4 ) ⇠ x 64
mentre
+ o(x 4 ) ⇠ x 64
mentre
sinh x x ↵ = x + x 63 + o(x 3 ) x ↵ ⇠ 8 >
<
> :
x se ↵ > 1
x
36 se ↵ = 1 x ↵ se ↵ < 1 Ne segue che per x ! 0 + si ha
sinh x x ↵ cosh x p
1 + x 2 ⇠ 8 >
<
> :
6
x
3se ↵ > 1
1
x se ↵ = 1
6
x
4 ↵se ↵ < 1 Pertanto, per il criterio del confronto asintotico se ↵ 1 l’integrale R 1
0 sinh x x
↵cosh x p
1+x
2dx diverge mentre se ↵ < 1, essendo 4 ↵ > 1 dal criterio del confronto asintotico l’integrale diverge.
Possiamo quindi concludere che l’integrale dato non converge qualunque sia ↵.
Per completezza, studiamo anche il comportamento dell’integrale R +1
1 sinh x x
↵cosh x p
1+x
2dx. Per x ! +1, osservato che sinh x = ex 2 e
x = e2x2e
x1 ⇠ e 2
x e cosh x = ex+e 2
x = e2x2e +1
x ⇠ e 2x, dalla gerarchia degli infiniti per ogni ↵ 2 R abbiamo
2e
x1 ⇠ e 2
xe cosh x = ex+e 2
x = e2x2e +1
x ⇠ e 2x, dalla gerarchia degli infiniti per ogni ↵ 2 R abbiamo
2e +1
x⇠ e 2x, dalla gerarchia degli infiniti per ogni ↵ 2 R abbiamo
sinh x x ↵ ⇠ e 2x e cosh x p
1 + x 2 ⇠ e x 2 da cui
sinh x x ↵ cosh x p
1 + x 2 ! 1 per x ! +1 Dalla condizione necessaria alla convergenza ne deduciamo che R + 1
1 sinh x x
↵cosh x p
1+x
2dx non converge e pertanto nemmeno R +1
0 sinh x x
↵cosh x p
1+x
2dx.
22. Studiamo la funzione F (x) = Z x
1
e 1 t p
3t 1 dt. Osserviamo innanzitutto che la funzione inte- granda f (x) = e 1 x p
3x 1 non ha una primitiva esplicita e quindi non `e possibile determinare per F (x) un’espressione elementare.
Abbiamo che f (x) `e definita e continua in R e quindi F (x) `e definita e continua in R. Poich´e f (x) > 0 se e solo se x > 1, si ha che F (x) 0 per ogni x 2 R. Infatti, se x > 1 allora F (x) = R x
1 f (t) dt > 0 dato che f (t) > 0 per ogni t 2 [1, x], se x = 1 allora F (2) = R 1
1 f (t) dt = 0, mentre se x < 1 allora F (x) = R 1
x f (t) dt > 0 essendo f (t) < 0 per ogni t 2 [x, 1].
Abbiamo che f (x) risulta integrabile in senso improprio in [1, + 1), dato che f(x) ⇠ p3e
xx per x ! +1 e che R + 1
1 p
3x
e
xdx risulta convergente (provarlo). Quindi
x!+1 lim F (x) = Z + 1
1
f (x) dx = ` 2 R
e la funzione ammette come asintoto orizzontale per x ! +1 la retta y = `. Dato che
x! 1 lim f (x) = 1 avremo invece che
x! 1 lim F (x) = Z 1
1
f (x) dx = + 1
Controlliamo se la funzione ammette un asintoto obliquo per x ! 1. Dai Teoremi di de l’Hˆ opital e fondamantale del calcolo integrale risulta
x ! 1 lim F (x)
x = lim
x ! 1 f (x) = lim
x ! 1 e 1 x p3
x 1 = 1
e quindi non esistono asintoti obliqui.
Studiamo ora la monotonia della funzione. Dal Teorema fondamentale del calcolo integrale, F (x)
`e derivabile in R con F 0 (x) = f (x) = e 1 x p
3x 1 e pertanto F 0 (x) > 0 se e solo se x > 1. Ne segue che F (x) `e strettamente crescente in [1, + 1), strettamente decrescente in ( 1, 1] e x = 1 risulta punto di minimo assoluto con F (1) = 0.
Riguardo alla convessit` a, osserviamo che la funzione risulta derivabile due volte in R con F 00 (x) = e 1 x 4 3x
3 p
3(x 1) 2
e pertanto F 00 (x) 0 se e solo se x 5 3 . La funzione `e quindi convessa in ( 1, 4 3 ) e concava in ( 4 3 , + 1), x = 4 3 risulta punto flesso.
23. La funzione F (x) = Z x
2
1
(1 + t 2 ) log(1 + t 2 ) dt `e definita in (0, + 1) dato che la funzione inte- granda f (x) = (x2+1) log(1+x 1
2) risulta continua in tale intervallo (m) . Abbiamo che F (x) > 0 per ogni x > 2, F (x) < 0 per ogni 0 < x < 2, mentre F (2) = 0, infatti risulta f (x) > 0 per ogni x 2 R. Abbiamo poi che
x!0 lim+F (x) = Z 2
0
1
(1 + t 2 ) log(1 + t 2 ) dt = 1 e
x !+1 lim F (x) = Z +1
2
1
(1 + t 2 ) log(1 + t 2 ) dt = ` > 0 in quanto per t ! 0 + si ha che (1+t2) log(1+t 1
2) ⇠ t 1
2 e R + 1
2 1
t
2diverge, mentre per t ! +1 risulta
1
(1+t
2) log(1+t
2) ⇠ 2t
21 log t e l’integrale R + 1
2 1
t
2log t dt risulta convergente.
Riguardo alla monotonia, osserviamo che dal Teorema fondamentale del calcolo integrale la funzione `e derivabile in (0, + 1) con F 0 (x) = f (x) = (x2+1) log(1+x 1
2) . Abbiamo quindi che F 0 (x) > 0 per ogni x 2 (0, +1) e dunque che la funzione risulta strettamente crescente in (0, + 1).
(m)