RISOLUZIONE 1. A `e falsa. Ad esempio la funzione f (x) = 1px

RISOLUZIONE 1. A `e falsa. Ad esempio la funzione f (x) = p ¹

x `e continua in (0, 1] e lim

x !0

f (x) = + 1 ma R ₁

0 p 1

x dx `e convergente.

B `e vera. Infatti, essendo lim

x!0

f (x) = + 1 esiste 2 (0, 1) tale che f(x) 1 per ogni x 2 (0, ] e dunque ^{f (x)} _x ¹ _x per ogni x 2 (0, ]. Dal criterio del confronto segue allora che R

0 f (x)

x dx `e divergente e dunque sar` a tale anche R ₁

0 f (x)

x dx.

C `e falsa, ad esempio la funzione f (x) = p ¹

x `e continua in (0, 1] e lim

x !0

f (x) = + 1 ma R ₁

0 f (x)

p x dx = R ₁

0 1

x dx `e divergente.

2. A `e vera. Infatti poich´e f (x) risulta positiva e continua in [a, + 1) dal Teorema fondamentale del calcolo integrale abbiamo che, posto F (b) = R b

a f (x) dx, risulta F ⁰ (b) = f (b) 0 per ogni b > a. Dal criterio di monotonia abbiamo dunque che F (b) risulta monotona crescente in [a, + 1) e dunque, dal Teorema sul limite delle funzioni monotone, ne segue che esiste (finito o infinito) il limite

b !+1 lim F (b) = lim

b !+1

Z b a

f (x) dx = Z + 1

a

f (x) dx.

B `e vera. Infatti, essendo f (x) positiva in [a, + 1) e infinitesima per x ! +1 abbiamo che esiste b > a tale che 0  f(x)  1 per ogni x b. Ne segue che per ogni x b risulta 0  f ² (x)  f(x) e poich´e R + 1

a f (x) dx converge, dal criterio del confronto otteniamo che anche R + 1

a f ² (x) dx converge.

C `e falsa. Ad esempio la funzione f (x) = <sup>1</sup> <sub>x</sub> `e continua e positiva in [1, + 1) con lim _x

!+1 f (x) = 0 e R + 1

1 f (x) dx = R + 1

1 1

x dx divergente, mentre R + 1

1 f ² (x) dx = R + 1

1 1

x

dx risulta convergente.

3. A `e vera. Infatti, essendo p

xf (x) ! +1 per x ! 0 ⁺ otteniamo che esiste 2 (0, 1) tale che f (x) > 0 per x 2 (0, ). Dal Teorema fondamentale del calcolo abbiamo inoltre che F (x) = R 1

x f (t) dt risulta derivabile in (0, 1) con F ⁰ (x) = f (x) per ogni x 2 (0, 1). Dunque F ⁰ (x) < 0 per x 2 (0, ) e F (x) risulta decrescente in (0, ). Dal Teorema sul limite di funzioni monotone ne deduciamo che esiste

x!0 lim

F (x) = sup

x2(0, )

F (x).

B e C sono false. Scelta f (x) = _x ¹

abbiamo che

x!0 lim

p xf (x) = lim

x!0

p x

x ^p = + 1 per ogni p > ¹ ₂ . Osserviamo per` o che

x lim !0

F (x) = Z ₁

0

f (x) dx = Z ₁

0

1 x ^p dx

converge se ¹ ₂ < p < 1 (quindi C `e falsa) mentre diverge se p 1 > <sup>1</sup> <sub>2</sub> (dunque B `e falsa).

4. Per calcolre Z ₁

0

x log(x ² + x) dx, integrando per parti otteniamo Z

x log(x + x ² ) dx = ¹ ₂ x ² log(x + x ² ) ¹ ₂ Z

x ² 2x + 1

x ² + x dx = ¹ ₂ x ² log(x + x ² ) ¹ ₂ Z

2x 1 + 1 x + 1 dx

= ¹ ₂ (x ² log(x + x ² ) x ² + x log |x + 1|) + c e dunque

Z 1 0

x log(x + x ² ) dx = lim

" !0

Z 1

"

x log(x + x ² ) dx = lim

" !0

⇥ ₁

2 (x ² log(x + x ² ) x ² + x log |x + 1|) ⇤ 1

"

= lim

" !0

1

2 ( e ² log(e + e ² ) + e ² e + log |e + 1|) = 0 in quanto, dal limite notevole lim

x !0

x ^↵ log x = 0 per ogni ↵ > 0, risulta lim

" !0

e ² log(e + e ² ) =

" lim !0

e ² log e + e ² log(1 + e) = 0.

5. Calcoliamo Z ₁

0

sinh x

e ^x 1 dx utilizzando la definizione Z ₁

0

sinh x

e ^x 1 dx = lim

a !0

Z ₁

a

sinh x

e ^x 1 dx = lim

a !0

⇥ ₁

2 (x e ^x ) ⇤ 1

a = lim

a !0

1

2 (1 ¹ _e a + _e ¹

) = ¹ ₂ (1 ¹ _e ) dove, per calcolare l’integrale, `e sufficiente osservare che

sinh x

e ^x 1 = e ^2x 1

2e ^x (e ^x 1) = e ^x + 1

2e ^x = ¹ ₂ (1 + e ^x )

6. Per calcolare Z 2

0

x | log x| dx osserviamo che Z 2

0

x | log x| dx = Z 1

0

x( log x) dx + Z 2

1

x log x dx Integrando per parti risulta

Z

x log x = ¹ ₂ x ² log x Z

1

2 x dx = ¹ ₂ x ² log x ¹ ₄ x ² + c quindi

Z 2 0

x | log x| dx = Z 1

0

x log x dx + Z 2

1

x log x = lim

a!0

Z 1 a

x log x dx + Z 2

1

x log x dx

= lim

a !0

⇥ ₁

2 x ² log x ¹ ₄ x ² ⇤ 1 a + ⇥ ₁

2 x ² log x ¹ ₄ x ² ⇤ 2 1

= lim

a!0

1

4 1

2 a ² log a + ¹ ₄ a ² + 2 log 2 1 + ¹ ₄ = 2 log 2 ¹ ₂

7. Dalla definizione di integrale improprio abbiamo Z + 1

1

1 x + x p

x dx = lim

b !+1

Z b 1

1 x + x p

x dx Per calcolare R b

1 1

x+x p

x dx osserviamo che operando la sostituzione t = p x si ha Z b

1

1 x + x p

x dx = Z b

1

1 x(1 + p

x) dx = Z ^p b

1

2t

t ² (1 + t) dt = 2 Z ^p b

1

1 t

1 t + 1 dt

= 2 [log t log(1 + t)]

p b 1 = 2 h

log _1+t ^t i ^p b 1 = 2 ⇣

log ^{p b}

1+ p

b log ¹ ₂ ⌘ e quindi Z ₊₁

1

1 x + x p

x dx = lim

b !+1 2 ⇣ log ^{p b}

1+ p

b log ¹ ₂ ⌘

= 2 log ¹ ₂ = 2 log 2

8. Per calcolare Z ₊₁

1

x ² e ^x dx, determiniamo innanzitutto Z

x ² e ^x dx integrando per parti. Otte- niamo

Z

x ² e ^x dx = x ² e ^x + 2 Z

xe ^x dx = x ² e ^x 2xe ^x + 2 Z

e ^x dx = e ^x (x ² + 2x + 2) + c e dunque

Z + 1 1

x ² e ^x dx = lim

b !+1

⇥ e ^x (x ² + 2x + 2) ⇤ b

1 = lim

b !+1 5

e e ^b (b ² + 2b + 2) = ⁵ _e

9. Calcoliamo Z ₊₁

0

log(x + 1)

(x + 2) ² dx determinando innanzitutto

Z log(x + 1)

(x + 2) ² dx. Integrando per parti si ha

Z log(x + 1)

(x + 2) ² dx = log(x + 1) x + 2 +

Z 1

(x + 1)(x + 2) dx

= log(x + 1) x + 2 +

Z 1

x + 1 1 x + 2 dx

= log(x + 1)

x + 2 + log(x + 1) log(x + 2) + c da cui

Z ₊₁

0

log(x + 1)

(x + 2) ² dx = lim

b !+1

Z _b

0

log(x + 1) (x + 2) ² dx

= lim

b!+1

 log(x + 1)

x + 2 + log(x + 1) log(x + 2)

b

0

= lim

b !+1

log(b + 1)

b + 2 + log b + 1

b + 2 + log 2 = log 2

10. L’integrale improprio Z ₁

0

log(1 + x) + sin p x

e ^x

cosh x dx diverge. Per stabilirlo osserviamo che l’integranda f (x) = log(1+x) sinh x

e

cosh x `e funzione continua in (0, 1], studiamone il comportamento per x ! 0 ⁺ . Per x ! 0 ⁺ abbiamo che log(1 + x) + sin p

x = x + (x) + p

x + o( p

x) = p

x + o( p

x) mentre e ^x

cosh x = 1 + x ² + o(x ² ) (1 + ^x ₂

+ o(x ² )) = ^x ₂

+ o(x ² ) e dunque

f (x) =

p x + o( p x)

x

2 + o(x ² ) ⇠ 2 p x ³

Essendo Z ₁

0

p 1

x ³ dx divergente (poich´e ³ ₂ > 1), dal criterio del confronto asintotico deduciamo che anche l’integrale dato `e divergente.

11. L’integrale Z 1

0

1 p

_x

sin x 1 dx converge. Infatti, ricordando che per x ! 0, sin x ⇠ x e sin x = x ^x ₆

+ o(x ³ ), da cui x sin x ⇠ ^x ₆

, otteniamo

x

sin x 1 = x sin x sin x ⇠

x

6

x = x ² 6 e dunque che

1 p

_x

sin x 1 dx ⇠ p

6 p

x ² Poich´e l’integrale

Z ₁

0

1 p

x ² dx converge, essendo ² ₃ < 1, dal criterio del confronto asintotico l’integrale dato risulta anch’esso convergente.

12. L’integrale Z 1

0

arcsin(1 x) ^⇡ ₂

x dx converge. Infatti, utilizzando il Teorema di de l’Hˆ opital si pu` o provare che ^⇡ ₂ arcsin(1 x) ⇠ p

2x per x ! 0 ^{+ (h)} , quindi per x ! 0 ⁺ risulta arcsin(1 x) ^⇡ ₂

x ⇠

p 2 p x

Ne segue che l’integrale dato converge essendo tale Z ₁

0

p 1 x dx.

(h)

abbiamo difatti che

lim

x!0⁺

⇡

2

arcsin(1 x) x

H

= lim

x!0⁺

p

↵x

= lim

x!0⁺

1

↵x

p

2x x

= lim

x!0⁺

1

↵x

p

2x =

lim

x!0⁺

1 x

e l’ultimo limite risulta finito e non nullo se e solo se ↵ =

. Quindi

x!0

lim

⇡

2

arcsin(1 x)

p x =

2

= p 2

da cui

arcsin(1 x) ⇠ p

2 p x per x ! 0

.

13.

Z + 1 1

log x

x ² log(1 + x ² ) dx converge. Infatti, per x ! +1 abbiamo log x

x ² log(1 + x ² ) ⇠ log x

x ² log(x ² ) = 1 2x ² e quindi, dal criterio del confronto asintotico, l’integrale dato converge.

14. Per stabilire il comportamento di Z + 1

2

⇡ 2 arctan x

x ² log x dx osserviamo che essendo ^⇡ ₂ arctan(x) = arctan _x ¹ ⇠ ¹ _x per x ! +1, si ha

⇡ 2 arctan x

x ² log x ⇠ 2 x ³ log x L’integrale

Z + 1 1

1

x ³ log x dx risulta convergente e dunque, dal criterio del confronto asintotico, deduciamo che anche l’integrale

Z + 1 1

⇡ 2 arctan x

x ² log x dx risulta convergente. Per provare che Z + 1

1

1

x ³ log x dx converge possiamo utilizzare il criterio del confronto asintotico osservato che

x !+1 lim

1 x

log x

1 x

= 1

log x = 0 e che

Z + 1 1

1

x ³ dx risulta convergente ⁽ⁱ⁾ . 15.

Z + 1 0

p x ³

e ^x log(1 + x) 1 dx converge. Notiamo infatti che la funzione integranda risulta con- tinua su (0, + 1) e dunque l’integrale risulter`a convergente se e solo se risultano tali gli integrali

Z ₁

0

p x ³

e ^x sin x 1 dx e

Z _{+ 1}

1

p x ³

e ^x log(1 + x) 1 dx Per x ! 0 risulta e ^x = 1 + x + ^x ₂

+ o(x ² ) e log(1 + x) = x ^x ₂

+ o(x ² ) quindi

e ^x log(1 + x) 1 = x ² + o(x ² ) ⇠ x ²

Ne segue che p

x ³

e ^x log(1 + x) 1 ⇠ 1 p x

(i)

In generale, sempre usando il criterio del confronto asintotico, si pu` o provare che l’integrale Z

1

1

x

log x dx converge se e solo se ↵ > 1, essendo

x!+1

lim

1 x^↵log x

1 x^p

=

( 0 se p  ↵

+ 1 se p > ↵ e

Z

1

1

x

dx convergente se e solo se p > 1.

Dal criterio del confronto asintotico segue allora che l’integrale Z 1

0

p x ³

e ^x log(1 + x) 1 dx con- verge dato che

Z 1 0

p 1

x dx converge.

Per x ! +1, risulta

x !+1 lim

p x

e

log(1+x) 1

1 x

= lim

x !+1

x

^+p e ^x = 0 per ogni p > 1, essendo lim

x !+1

x

e ^x = 0 per ogni 2 R e lim _x

!+1

log(1 + x) + 1

e ^x = 0. Dal criterio del confronto asintotico concludiamo che l’integrale

Z + 1 1

p x ³

e ^x log(1 + x) 1 dx converge per ogni ↵ 2 R.

Quanto sopra mostra che l’integrale proposto `e convergente.

16. L’integrale Z 1

0

1 cos x

x ^↵ log(1 + x) dx converge se e solo se ↵ < 2. Infatti, ricordando che per x ! 0 risulta 1 cos x ⇠ ^x ₂

e log(1 + x) ⇠ x si ottiene

f _↵ (x) = 1 cos x

x ^↵ log(1 + x) ⇠ x ²

2x ^↵ x = 1 2x ^{↵ 1} e quindi, dal criterio del confronto asintotico,

Z 1 0

f _↵ (x)dx converge se e solo se ↵ 1 < 1 ovvero se e solo se ↵ < 2.

17. Studiamo il comportamento dell’integrale Z ₁

0

p x e ^↵x p

1 + 2x dx. Osserviamo che per x ! 0 risulta e ^↵x = 1 + ↵x + ^↵

₂ ^x

+ o(x ² ) mentre p

1 + 2x = 1 + x ¹ ₂ x ² + o(x ² ). Quindi

e ^↵x p

1 + 2x = (↵ 1)x + ⇣

↵

2 + ¹ ₂ ⌘

x ² + o(x ² ) ⇠

( (↵ 1)x se ↵ 6= 1 x ² se ↵ = 1 Ne segue che per x ! 0 ⁺ si ha

p x e ^↵x p

1 + 2x ⇠ ( ^p _x

(↵ 1)x = _{(↵ 1)} ¹ p

x se ↵ 6= 1

p x

x

= _x

¹ se ↵ = 1 Dal criterio del confronto asintotico segue allora che l’integrale

Z ₁

0

p x e ^↵x p

2x + 1 dx converge per ogni ↵ 6= 1 e diverge per ↵ = 1.

18. Lintegrale Z _{+ 1}

1

p x ³ + 1 p x ³ arctan _x ¹

dx converge se e solo se ↵ < ¹ ₂ . Osserviamo innanzitutto che per x ! +1 si ha

p x ³ + 1 p

x ³ = 1

p x ³ + 1 + p

x ³ = 1 p x ³

q 1

1 + _x ¹

+ 1 ⇠ 1 2 p

x ³

Mentre si ha

x!+1 lim arctan 1 x ^↵ =

8 >

<

> :

0 se ↵ > 0

⇡

4 se ↵ = 0

⇡

2 se ↵ < 0 Ne segue che se ↵ < 0 allora per x ! +1

f (x) =

p x ³ + 1 p x ³ arctan _x ¹

⇠ 1

2 p x ³

2

⇡ = 1

⇡ p 1

x ³ ed essendo R + 1

1 p dx

x

convergente, dal criterio del confronto asintotico si deduce che l’integrale dato converge. Analogamente se ↵ = 0.

Se ↵ > 0, ricordando che arctan y ⇠ y per y ! 0, si ottiene arctan _x ¹

⇠ _x ¹

per x ! +1 e quindi

f (x) =

p x ³ + 1 p x ³ arctan _x ¹

⇠ 1

2 p

x ³ x ^↵ = 1 x

^↵ Essendo R + 1

1 dx

x

convergente se e solo se ³ ₂ ↵ > 1, dal criterio del confronto asintotico si deduce che per ↵ > 0 l’integrale dato converge se e solo se ↵ < ¹ ₂ . Riunendo i risultati ottenuti si deduce che l’integrale converge se e solo se ↵ < ¹ ₂ .

19. Studiamo il comportamento dell’integrale Z + 1

0

arctan p x

sin x x ^↵ dx. Osserviamo che l’integranda f _↵ (x) = ^arctan _{sin x x} ^p

^x `e definita e continua in (0, + 1), studiamo quindi separamente il compor- tamento per x ! 0 ⁺ e per x ! +1. Per x ! 0 ⁺ , essendo arctan p

x ⇠ p

x mentre

sin x x ^↵ = x x ³

6 + o(x ³ ) x ^↵ ⇠ 8 >

<

> :

x se ↵ > 1

x

6 se ↵ = 1 x ^↵ se ↵ < 1 risulta

f ↵ (x) ⇠ 8 >

> <

> >

:

p 1

x se ↵ > 1

6

x

se ↵ = 1

1

x

se ↵ < 1 Dal criterio del confronto asintotico, essendo R 1

0 1

x

dx convergente se e solo se p < 1, ne deduci- amo che R 1

0 f _↵ (x) dx converge per ogni ↵ 6= 1.

Per x ! +1 risulta invece arctan p

x ! ^⇡ ₂ mentre, essendo ↵ > 0, si ha sin x x ^↵ = x ^↵ ( ^{sin x} _x

1) ⇠ x ^↵ . Ne segue che

f _↵ (x) ⇠ ⇡ 2

1

x ^↵ , 8↵ > 0, e dal criterio del confronto asintotico, essendo R + 1

1 1

x

dx convergente se e solo se p > 1, otteni- amo che R + 1

1 f _↵ (x) dx converge se e solo se ↵ > 1.

Riunendo quanto sopra si ha allora che R + 1

0 f ↵ (x) dx = R 1

0 f ↵ (x) dx + R + 1

1 f ↵ (x) dx converge se

e solo se ↵ > 1.

20. Per determinare il comportamento di Z + 1

1

sin x

(e ^↵x + x) ² dx, osserviamo innanzitutto che l’integranda f _↵ (x) = sin x

(e ^↵x + x) ² risulta continua in [1, + 1) ma non avendo segno costante cominciamo a stu- diare la convergenza assoluta dell’integrale. Essendo

|f ↵ (x) | = sin x

(e ^↵x + x) ²  1

(e ^↵x + x) ² 8x 1

avremo che, posto g _↵ (x) = _(e

¹ +x)

, l’integrale improprio dato risulter` a convergente se risulta tale l’integrale

Z + 1 1

g ↵ (x)dx.

Se ↵ > 0, per x ! +1 osserviamo che dalla gerarchia degli infiniti risulta x = o(e ^↵x ) per ogni 2 R e dunque

x !+1 lim g ↵ (x)

1 x

= lim

x !+1

x ^p

(e ^↵x + x) ² = lim

x !+1

x ^p

e ^2↵x (1 + _e

^x ) ² = 0 per ogni p > 1. Dal criterio del confronto asintotico ne deduciamo che

Z + 1 1

g ↵ (x)dx converge per ogni ↵ > 0.

Se ↵  0, per x ! +1, osservato che e ^↵x ! 0 se ↵ < 0 e e ^↵x = 1 se ↵ = 0, otteniamo g ↵ (x) = 1

x ² ( ^e

_x + 1) ² ⇠ 1 x ² e dal criterio del confronto asintotico ne deduciamo che

Z ₊₁

1

g _↵ (x)dx converge per ogni ↵  0.

Ne segue che per ogni ↵ 2 R l’integrale Z + 1

1

g _↵ (x)dx converge e dunque che l’integrale dato converge assolutamente e quindi anche semplicemente.

21. Per determinare il comportamento dell’integrale Z ₊₁

0

p 1

x + x ^↵ dx analizziamo separatamente il comportamento di f ↵ (x) = p ¹

x+x

per x ! 0 ⁺ e per x ! +1 al variare di ↵ 2 R.

Per x ! 0 ⁺ si ha

f ↵ (x) ⇠ 8 >

> <

> >

:

p 1

x se ↵ > 1

p 1

2x se ↵ = 1

p 1

x

se ↵ < 1

Dal criterio del confronto asintotico otteniamo allora che se ↵ 1, R ₁

0 f ↵ (x)dx converge. Se

↵ < 1, essendo R 1 0 p dx

x

convergente, sempre dal criterio del confronto asintotico, deduciamo che R 1

0 f _↵ (x)dx converge. Da quanto sopra si ottiene che R 1

0 f _↵ (x)dx converge per ogni ↵ 2 R.

Per x ! +1 si ha

f _↵ (x) ⇠ 8 >

> <

> >

:

p 1

x se ↵ < 1

p 1

2x se ↵ = 1

p 1

x

se ↵ > 1

Dal criterio del confronto asintotico otteniamo allora che se ↵  1, R + 1

1 f _↵ (x)dx diverge. Inoltre osservato che R + 1

1 p dx

x

converge se e solo se ↵ > 2, ne deduciamo che R + 1

1 f _↵ (x)dx converge se e solo se ↵ > 2.

Riunendo i risultati sopra, otteniamo che l’integrale dato converge se e solo se ↵ > 2.

22. Studiamo la funzione F (x) = Z x

1

e ^{1 t} p

t 1 dt. Osserviamo innanzitutto che la funzione inte- granda f (x) = e ^{1 x} p

x 1 non ha una primitiva esplicita e quindi non `e possibile determinare per F (x) un’espressione elementare.

Abbiamo che f (x) `e definita e continua in R e quindi F (x) `e definita e continua in R. Poich´e f (x) > 0 se e solo se x > 1, si ha che F (x) 0 per ogni x 2 R. Infatti, se x > 1 allora F (x) = R x

1 f (t) dt > 0 dato che f (t) > 0 per ogni t 2 [1, x], se x = 1 allora F (2) = R 1

1 f (t) dt = 0, mentre se x < 1 allora F (x) = R 1

x f (t) dt > 0 essendo f (t) < 0 per ogni t 2 [x, 1].

Abbiamo che f (x) risulta integrabile in senso improprio in [1, + 1), dato che f(x) ⇠ ^p

_e

^x per x ! +1 e che R + 1

1 p

x

e

dx risulta convergente (provarlo). Quindi

x !+1 lim F (x) = Z ₊₁

1

f (x) dx = ` 2 R

e la funzione ammette come asintoto orizzontale per x ! +1 la retta y = `. Dato che

x ! 1 lim f (x) = 1 avremo invece che

x ! 1 lim F (x) = Z 1

1

f (x) dx = + 1

Controlliamo se la funzione ammette un asintoto obliquo per x ! 1. Dai Teoremi di de l’Hˆ opital e fondamantale del calcolo integrale risulta

x ! 1 lim F (x)

x = lim

x ! 1 f (x) = lim

x ! 1 e ^{1 x} p

x 1 = 1

e quindi non esistono asintoti obliqui.

Studiamo ora la monotonia della funzione. Dal Teorema fondamentale del calcolo integrale, F (x)

`e derivabile in R con F ⁰ (x) = f (x) = e ^{1 x} p

x 1 e pertanto F ⁰ (x) > 0 se e solo se x > 1. Ne segue che F (x) `e strettamente crescente in [1, + 1), strettamente decrescente in ( 1, 1] e x = 1 risulta punto di minimo assoluto con F (1) = 0.

Riguardo alla convessit` a, osserviamo che la funzione risulta derivabile due volte in R con F ⁰⁰ (x) = e ^{1 x} 5 3x

3 p

(x 1) ²

e pertanto F ⁰⁰ (x) 0 se e solo se x  ⁵ ₃ . La funzione `e quindi convessa in ( 1, ⁵ ₃ ) e concava in

( ⁵ ₃ , + 1), x = ⁵ ₃ risulta punto flesso.

23. La funzione F (x) = Z x

2

1

(1 + t ² ) log(1 + t ² ) dt `e definita in (0, + 1) dato che la funzione inte- granda f (x) = _(x

+1) log(1+x ¹

) risulta continua in tale intervallo ^(j) . Abbiamo che F (x) > 0 per ogni x > 2, F (x) < 0 per ogni 0 < x < 2, mentre F (2) = 0, infatti risulta f (x) > 0 per ogni x 2 R. Abbiamo poi che

x!0 lim

F (x) = Z 2

0

1

(1 + t ² ) log(1 + t ² ) dt = 1 e

x !+1 lim F (x) = Z + 1

2

1

(1 + t ² ) log(1 + t ² ) dt = ` > 0 in quanto per t ! 0 ⁺ si ha che _(1+t

) log(1+t ¹

) ⇠ _t ¹

e R + 1

2 1

t

diverge, mentre per t ! +1 risulta

1

(1+t

) log(1+t

) ⇠ _2t

¹ log t e l’integrale R + 1 2

1

t

log t dt risulta convergente.

Riguardo alla monotonia, osserviamo che dal Teorema fondamentale del calcolo integrale la funzione `e derivabile in (0, + 1) con F ⁰ (x) = f (x) = _(x

+1) log(1+x ¹

) . Abbiamo quindi che F ⁰ (x) > 0 per ogni x 2 (0, +1) e dunque che la funzione risulta strettamente crescente in (0, + 1).

La funzione risulta inoltre derivabile due volte in (0, + 1) con F ⁰⁰ (x) = f ⁰ (x) = 2x log(1 + x ² ) + 1

(x ² + 1) ² log ⁽ 1 + x ² )

Abbiamo pertanto che F ⁰⁰ (x) < 0 per ogni x > 0 e quindi che la funzione risulta concava in (0, + 1).

24. La funzione F (x) = x 1 Z x

1

cos ¹ _t dt si pu` o riscrivere come

F (x) = Z x

1

(1 cos ¹ _t ) dt

dato che Z x

1

dt = x 1. La funzione `e quindi definita e continua in (0, + 1) dato che f(x) = 1 cos <sup>1</sup> <sub>x</sub> risulta definita in R \ {0}. Poich´e 1 cos <sup>1</sup> <sub>t</sub> 0 per ogni t 6= 0, ne segue che F (x) `e positiva in (1, + 1), negativa in (0, 1) e nulla in x = 1. Abbiamo poi che

x !+1 lim F (x) = Z ₊₁

1

(1 cos ¹ _t ) dt = ` > 0 dato che per t ! +1 risulta 1 cos ¹ _t ⇠ _2t ¹

e R + 1

1 1

t

dt converge. Per determinare il limite per x ! 0 ⁺ osserviamo che operando la sostituzione t = ¹ _y (e quindi dt = _y ¹

dy) otteniamo

x lim !0

F (x) = lim

x !0

Z x 1

(1 cos ¹ _t ) dt = lim

x !0

Z ¹

x 1

1 cos y y ² dy =

Z + 1 1

1 cos y y ² dy

(j)

osserviamo che f (x) risulta definita e continua in ogni x 6= 0, la funzione integrale risulta per`o definita solo in

intervalli del dominio di f (x) e dunque in ( 1, 0) oppure (0, +1). Nel nostro caso, essendo 2 2 (0, +1) il dominio di

F (x) sar` a (0, + 1).

e l’ultimo integrale converge essendo ^{1 cos y} _y

 _y ²

e R + 1 1

1

y

dy convergente. Abbiamo quindi che la funzione ammette un asintoto orizzontale per x ! +1.

La funzione risulta inoltre strettamente crescente dato che risulta derivabile in (0, + 1) con F ⁰ (x) = 1 cos ¹ _x 0 per ogni x 2 (0, +1), nulla in infiniti punti isolati. Risulta infine derivabile due volte con

F ⁰⁰ (x) = _x ¹

sin _x ¹

quindi la funzione cambier` a convessit` a in infiniti punti in corrispondenza degli zeri di sin ¹ _x , ovvero in ogni x = _k⇡ ¹ , k 2 N.

25. La funzione G(x) = Z ^p x

2

1

(1 + t ² ) log(1 + t ² ) dt risulta uguale alla funzione composta F ( p x) essendo F (x) =

Z _x

2

1

(1 + t ² ) log(1 + t ² ) dt la funzione studiata nell’esercizio 23. Abbiamo quindi che G(x) risulta definita in (0, + 1) e che G(x) < 0 per 0 < p

x < 2, ovvero per 0 < x < 4, G(x) > 0 per p

x > 2, ovvero per x > 4. Inoltre

x lim !0

G(x) = Z 2

0

1

(1 + t ² ) log(1 + t ² ) dt = lim

x !0

F (x) = 1 e

x !+1 lim G(x) = Z ₊₁

2

1

(1 + t ² ) log(1 + t ² ) dt = lim

x !+1 F (x) = ` > 0 La funzione risulta derivabile in (0, + 1) con

G ⁰ (x) = F ⁰ ( p x) 1

2 p

x > 0 8x 2 (0, +1)

essendo F ⁰ (x) > 0 per ogni x 2 (0, +1). Quindi G(x) `e strettamente crescente in (0, +1).

Infine la funzione risulta derivabile due volte con G ⁰⁰ (x) = F ⁰⁰ ( p

x) 1

4x F ⁰ ( p x) 1

4 p

x ³ < 0 8x 2 (0, +1),

dato che F ⁰⁰ (y) < 0 e F ⁰ (y) > 0 per ogni y > 0, dunque risulta concava in (0, + 1).