20 ESERCIZIO: Determinare una soluzioney(x) dell'equazione dierenziale y (4)+y000;y00;y= ex tale che y(0

FACOLTA' DI INGEGNERIA

PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA II { A.A. 1997/1998

CORSI DI LAUREA IN

INGEGNERIA PER L'AMBIENTE ED IL TERRITORIO

INGEGNERIA CIVILE

INGEGNERIA GESTIONALE

29 gennaio 1998 (1/4)

1^{0 ESERCIZIO}: Tra tutti i rettangoli con i lati paralleli agli assi coordinati aventiun vertice nel punto (1 0) ed il vertice opposto sulla semicirconferenza (^x;1)²+^y2 = 1,

y0, individuare quelli aventi area massima.

2^{0 ESERCIZIO}: Determinare una soluzione^y(^x) dell'equazione dierenziale

y

(4)+^y000;y00;y= e^x tale che ^y(0) = 1.

3^{0 ESERCIZIO}: Determinare l'insieme di tutti i ^{z 2}IC per i quali la serie

1

X

n=1

1

n

nlog^1 + 1

n!





p2^z;p3^2n

e convergente.

4^{0 ESERCIZIO}: Studiare se la forma dierenziale lineare

xsin^px2+^y2+^px2 +^y2

p

x

2+^{y2 dx}+ ^ysin^px2 +^y2

p

x

2+^{y2 dy}

e esatta ed eventualmente integrarla.

5^{0 ESERCIZIO}: Come e stato studiato durante il corso, il Teorema di Lagrange per i campi vettoriali e, in generale, falso. Lo studente dimostri la seguente proposizione, detta "Forma debole del Teorema di Lagrange":

Data una funzione vettoriale ^f~: ^{a b}]^!IR^p continua in ^{a b}]e derivabile in ]^{a b}, allora esiste un punto ^2]^{a b} tale che (^kk denota la norma euclidea in IR^p)

k

~

f(^b)^;f~(^a)^kkf~0(^)^k(^b;a)^:

(Sugg.: Se^f~(^a)⁶=^f~(^b), si consideri la funzione reale^x7!<f~(^x) ^f~(^b)^;f~(^a)

k

~

f(^b)^;f~(^a)^{k >},

x2^{a b}], ove ^{< >} denota il prodotto interno in IR^p).