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Esercizio 1
Dato lo schema di figura 1 determinare per quali valori del rapporto r/R esso è in grado di convertire dati digitali in ingresso espressi in codice binario naturale e BCD.
Figura 1 Convertitore digitale analogico a resistori pesati.
Svolgimento
Lo schema rappresenta un convertitore digitale-analogico a resistori pesati. Il numero digitale da convertire è di 8 bit. Per evitare l’uso di resistenze troppo elevate gli 8 resistori sono stati divisi in due gruppi di 4 separati dalla resistenza r che, essendo percorsa dalla corrente Ir, varia il “peso”
delle resistenze alla sua sinistra (si crea, infatti, una caduta di tensione). Per risolvere l’esercizio possiamo considerare solo i 4 bit più significativi. Con 4 bit si rappresentano 16 numeri in binario e 10 numeri in BCD (ricordiamo che con il codice BCD ciascuna cifra decimale è rappresentata da un numero binario e che sono necessari 4 bit per rappresentare le cifre da 0 a 9).
Supponiamo ora di trovarci nella situazione rappresentata in figura 1 dove tutte le resistenze sono collegate a massa eccetto R collegata a Vref. In questo caso R è l’unica resistenza percorsa da corrente che vale:
𝐼7 = 𝑉𝑟𝑒𝑓 𝑅 Quando si converte un numero binario deve essere:
𝐼𝑟 = 𝐼7 16= 1
16 𝑉𝑟𝑒𝑓
𝑅 Quando, invece, si converte un numero BCD si deve avere:
𝐼𝑟 = 𝐼7 10= 1
10 𝑉𝑟𝑒𝑓
𝑅
Dato che dobbiamo trovare il rapporto r/R è sufficiente calcolare la corrente Ir (vedi figura 1).
Conviene utilizzare il teorema di Norton1 ed effettuare il “taglio” a destra della resistenza r.
Disegniamo il circuito da considerare.
1 Vedi http://cmathilde.altervista.org/Elettrotecnica/Norton.pdf
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Figura 2 Il circuito in esame.
Troviamo la resistenza equivalente togliendo il “carico” (nel nostro caso la resistenza r) e sostituendo un cortocircuito al generatore di tensione.
Figura 3 Lo schema per determinare la resistenza equivalente.
Dallo schema di figura 3 si vede che la resistenza equivalente è data dal parallelo dei quattro resistori.
𝑅1 = 8𝑅||4𝑅 = 8𝑅 ∙ 4𝑅 8𝑅 + 4𝑅= 32
12𝑅 =8 3𝑅
𝑅2 = 𝑅1||2𝑅 =
8 3𝑅 ∙ 2𝑅
8
3𝑅 + 2𝑅 =
16 3 𝑅
14 3
=16 14𝑅 =8
7𝑅
𝑅𝑒𝑞= 𝑅2||𝑅 =
8 7𝑅 ∙ 𝑅
8
7𝑅 + 𝑅 =
8 7𝑅
15 7
= 8 15𝑅
Adesso dobbiamo trovare la corrente di cortocircuito IN. Usiamo lo schema di figura 4.
Figura 4 Circuito per determinare la corrente di cortocircuito.
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Abbiamo già calcolato il parallelo delle tre resistenze più a sinistra. Ridisegniamo il circuito.
Figura 5 Determinazione della corrente di cortocircuito.
La resistenza più a sinistra è cortocircuitata quindi la corrente cervata vale:
𝐼𝑁= 𝑉𝑟𝑒𝑓 𝑅
Possiamo trovare la corrente Ir. Consideriamo il circuito di figura 6.
Figura 6 Schema per determinare Ir.
Applicando la formula del partitore di corrente si ricava:
𝐼𝑟 =
8 15𝑅
8
15𝑅 + 𝑟𝐼𝑁 Sostituiamo a IN il valore determinato precedentemente:
𝐼𝑟=
8 15𝑅
8 15𝑅 + 𝑟
𝑉𝑟𝑒𝑓 𝑅
Consideriamo il caso della conversione di un numero binario. Deve essere:
8 15𝑅
8 15𝑅 + 𝑟
𝑉𝑟𝑒𝑓
𝑅 = 1
16 𝑉𝑟𝑒𝑓
𝑅
8 15𝑅
8𝑅+15𝑟 15
= 1
16 → 8𝑅
8𝑅 + 15𝑟= 1
16 → 128𝑅 = 8𝑅 + 15𝑟 → 120𝑅 = 15𝑟 𝑟 = 8𝑅
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Procedendo analogamente per la conversione di un numero BCD si trova:
8 15𝑅
8 15𝑅 + 𝑟
𝑉𝑟𝑒𝑓
𝑅 = 1
10 𝑉𝑟𝑒𝑓
𝑅
8 15𝑅
8𝑅+15𝑟 15
= 1
10 → 8𝑅
8𝑅 + 15𝑟 = 1
10 → 80𝑅 = 8𝑅 + 15𝑟 → 72𝑅 = 15𝑟 𝑟 = 4.8𝑅
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Matilde Consales
