> che >21 è invertibile

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Avvertenza: Le domande e a volte le risposte, sono tratte dal corpo del messaggio delle mails in cui non si ha a dispo- sizione un editor matematico e quindi presentano una simbologia non corretta, ma comprensibile per questo scopo.

Stabilire se 21 è invertibile in Z

e trovare l'inverso

> […] la prima parte ho calcolato il MCD(100,21) e mi risulta uguale a 1 e ho dedotto così

> che >21 è invertibile

>> OK !

>volevo gentilmente chiederle come posso fare per calcolare l'inverso di 21

Come l’esercizio 4 della mia esercitazione n.8 ☺

L’inverso moltiplicativo di 21 è l’unico x ∈Z

tale che 21 ⋅ x = 1 ( eq.

lineare in Z

).

x

21 ⋅ = 1 in Z

⇔21x = 1

⇔ 21x ≡ 1 (due classi di eq.

coincidono ⇔ i loro rappresentanti so- no equivalenti, che in questo caso vuol dire congruenti ) ⇔ 21x -1 è multiplo di 100 in Z ( def. di congruenza)

⇔ ∃ y∈ Z t.c. 21x -1 = 100y

Dunque il problema si è ridotto alla risoluzione dell'equazione lineare 21x – 100y=1 in Z, più precisamente dobbiamo trovare una sua soluzione (x,y)∈ ZxZ (in pratica poi utilizze- remo solo la "x" trovata).

Sappiamo già che questa equazione ha soluzioni in Z perché M.C.D.(21,100)=1.

Troviamo una soluzione intera,usando l’algoritmo euclideo:

100= 21⋅4+16 16= 100 - 21⋅4 21= 16⋅1+5 5= 21- 16⋅1

16= 5⋅3+1 1= 16 -5⋅3

5=1⋅5

Quindi 1=16- 5⋅3

= 16- (21- 16⋅1)3 = 16⋅ 4- 21⋅3

= (100 - 21⋅4 )⋅4- 21⋅3 = 100⋅4 -21⋅ 19

L’

6

) D

’

2-12-09

S

2 Da 1= 21(-19) – 100(-4) passando alle classi modulo 100, ricaviamo

1 = 21 ⋅ ( − 19 ) − 100 ⋅ 4 in Z

^{= 21 ( − 19 ) ( 100 = in Z 0}

^{) ⇒ x = - 19 = 81} è l’inverso di 21 .

>… il mio problema è negli esercizi di equazioni polinomiali in C o R; ho trovato esempi

>solo sulle Sue dispense […]

>> L’esercizio 2 della mia esercitazione n.10

www.dima.unige.it/~baratter/eml09/2009.12.10.pdf

è sufficiente per esemplificare l’argomento per come è stato trattato nel corso, ma a scopo di maggiore approfondimento le allego qualche esercizio del mio collega Odetti.

La richiesta ha carattere di urgenza , non faccio in tempo a mettere esercizi miei, e questi che le allego sono belli !

Nella pagina seguente testi e risoluzione.

R

E

E

P

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