Compito di Meccanica Razionale, 15/1/2007
Prof. F. Bagarello
Risolvere almeno due dei seguenti quesiti.
1. Scrivere la lagrangiana di due punti materiali di massa m, vincolati a muoversi su una guida orizzontale priva di attrito, e connessi da una molla di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla. Ottenere e risolvere le equazioni differenziali e ricavare eventuali costanti del moto.
2. Sia data una particella di massa m sottoposta ad una forza ~F = (γ cos(ωt2), 0, 0), γ, ω > 0.
Dedurre in che condizione su ω e γ la funzione I(t) := m ˙x t − m x − γ sin(ω t2) `e una costante del moto. Esistono altre costanti del moto? Se si, quali?
3. Scrivere e risolvere, nell’approssimazione di piccole oscillazioni, l’equazione del moto per un sistema con un grado di libert`a descritto da una energia cinetica T (x, ˙x) = m(1 + ex) ˙x2 ed un’energia potenziale π(x) = sin2(x) −x2.
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