Compito di Meccanica Razionale, 29/1/2007
Prof. F. Bagarello
Risolvere i seguenti quesiti:
(1) Nel piano verticale (O; x, y) si considerino due sfere uniformi uguali, di peso ~P , raggio r, appoggiate nei punti H e K di un piano orizzontale privo di attrito. Queste sfere sono poi unite da un’asta CD, saldata ad entrambe, di lunghezza 2l e priva di peso. Sulle due sfere poggia poi, in equilibrio, una terza sfera di raggio R e peso ~Q. Assumendo che anche le superfici delle sfere siano liscie ottenere le reazioni vincolari in H, K, C, D, M ed N . Esprimere i risultati in termini di l, r, R, ~Q, ~P .
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x y
O
C D
H K
M N
(2) Considerare un punto materiale P di massa m vincolato a muoversi sul piano (O; x, y) orizzontale privo di attrito. Detta r la distanza di P da O, ottenere le equazioni di Eulero- Lagrange supponendo che P sia soggetto ad una forza generata dal un’energia potenziale π(r) =
e−r
r . Determinare almeno due costanti del moto per tale sistema.
(3) Ottenere, nell’approssimazione delle piccole oscillazioni, il periodo del moto del sistema descritto dalla lagrangiana L = 3(1 + cos2(x)) ˙x2− (x + sin(x))2 in corrispondenza di almeno una posizione di equilibrio stabile.
Il compito `e da ritenersi superato solo quando siano stati risolti correttamente e completamente almeno due esercizi.
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