Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale

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Prova in itinere di Calcolo 2 - A. A. 2005-06 20 aprile 2006

1. Stabilire se il seguente sistema lineare ` e compatibile ed in caso affermativo determinarne le soluzioni







x + y + z + t = 1 3x − 2y + z − 2t = 0 2x + y − 2z + 3t = −1

2. Determinare le radici quinte del numero complesso z = (−

√3

64

−

i)

.

3. Determinare la distanza tra la retta s di equazioni

 x + y + z = 1

x + y − z = 2 e la retta r passante per il punto P ≡ (3, 0, 0) ed avente come giacitura lo spazio generato dal vettore ¯ v = (1, 0, 2) ∧ (1, 2, 0).

4. Stabilire quali tra le seguenti matrici ad elementi complessi sono invertibili e di ciascuna di esse determinarne l’inversa

A

=





1 i −1

1 + i 1 i 1 − i i −1



 , A

=





0 1 1

1 i 0

i −1 0



 ,

A

=





1 0 1

−2 − 2i 1 + i 1

−1 1 1 − i



 , A

=





1 1 + i 1 − i i −1 + i 1 + i

2 i −i



 .

5. Siano {¯ e

, ¯ e

, ¯ e

} una base di R

ed f : R

→ R

un’applicazione lineare tale che f (x¯ e

+ y¯ e

+ z¯ e

) = (x + 2z)¯ e

+ (y + z)¯ e

+ (x + z)¯ e

per ogni x, y, z ∈ R.

Determinare la matrice di f nella base {¯ e

, ¯ e

+ ¯ e

, ¯ e

+ ¯ e

+ ¯ e

}.

6. Nello spazio vettoriale M

(R) si considerino i sottospazi

U =

 a b c d



: a + b + c = 0, a + d = 0

 , W =

 λ 0

−λ µ



: λ, µ ∈ R

 .

Determinare la dimensione ed una base dello spazio U + W .