Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale

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Esame di profitto di Calcolo 2 - A. A. 2004-05 Modulo di Algebra Lineare

9 giugno 2005

1. Dire quali tra i seguenti insiemi costituiscono un sottospazio vettoriale di M

(IR):

S

= A ∈ M

(IR) : A

= 0 ; S

= A ∈ M

(IR) : A

= I ;

S

= a b c 0



: a, b, c ∈ IR, a − b + c = 0



; S

= {A ∈ M

(IR) : 2A = 0} ;

S

= 0 b c 0



: b, c ∈ IR, b + c = 1



; S

= 0 b

c 0



: b, c ∈ I Q



;

S

=



A ∈ M

(IR) : A 0 1 1 0



= 0 1 1 0

 A



; S

= 0 b c 0



: b, c ∈ Z



;

S

= a b c 0



: a, b, c ∈ IR, abc = 0



; S

= 0 b

c 0



: b, c ∈ IR

 .

2. Determinare la dimensione ed una base di ciascuno degli spazi vettoriali dell’esercizio precedente.

3. Siano IK un campo e V uno spazio vettoriale su IK di dimensione finita n > 0.

Dati due endomorfismi f e g di V , dire quale tra le seguenti affermazioni ` e non corretta (motivare la risposta):

(a) dim Im (g ◦ f ) ≤ min (dim Im (f ), dim Im (g));

(b) dim Ker (g ◦ f ) ≥ max (dim Ker (f ), dim Ker (g));

(c) g ◦ f ` e invertibile ⇐⇒ dim Ker (f ) = dim Ker (g) = 0;

(d) una delle precedenti affermazioni ` e non corretta.

4. Siano r ed s due rette delle spazio affine reale 3-dimensionale tali che r contiene i punti P

(1, 1, −1), P

(0, 1, 1) ed s contiene il punto P

(1, 0, 1). Dire quale tra le seguenti affermazioni ` e corretta (motivare la risposta):

(a) Se s non contiene n´ e P

n´ e P

=⇒ r ∩ s = ∅;

(b) se esistono due piani paralleli π

, π

tali che r ⊂ π

e s ⊂ π

=⇒ r ed s sono rette parellele;

(c) se la giacitura di s ` e generata dal vettore − → v = ( √

2/2, 0, − √

2) =⇒ r ed s sono rette sghembe;

(d) le precedenti affermazioni sono tutte non corrette.

5. Tra le seguenti matrici ve ne sono tre che rappresentano uno stesso endo- morfismo f di IR

rispetto a basi diverse, ed una no. Indicare quest’ultima (motivare la risposta):

A

=





1 0 −1

0 1 0

1 0 1



 ; A

=





1 0 −1

1 1 1

−2 0 2



 ;

A

=





3 0 0

0 1 1

−1 0 0



 ; A

=





2 0 2

−

1

1 0 1



 .

6. Determinare la distanza tra le rette r :

 x + 2y − z = 1 x + y = 2 ed s :

 x + y + z = 2

x − y − 2z = 2 .