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Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale

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Academic year: 2021

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Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale

Esame di profitto di Calcolo 2 - A. A. 2004-05 14 luglio 2005

1. Dimostrare che gli insiemi

- U = a b c d



: a, b, c, d ∈ R, a + b = 0



- W = a b c d



: a, b, c, d ∈ R, c + d = 0



sono sottospazi vettoriali di M

2

(R). Determinare, inoltre, la dimensione ed una base dello spazio U ∩ W .

2. Determinare le radici quinte del numero complesso z = 1 − i.

3. Stabilire il carattere della serie

X

n=0

cos (πn)

√ n + 1 + ln(n + 2) .

4. Trovare l’insieme dei punti in cui la funzione f : R

2

→ R , (x, y) 7→ ln(1 + p

x

2

+ y

2

),

`

e differenziabile. Determinare, inoltre, l’equazione del piano tangente alla su- perficie z = f (x, y) nel punto di coordinate (1, 1, ln(1 + √

2)).

5. Calcolare il volume del solido S ottenuto facendo ruotare l’insieme E = {(y, z) : y ∈ [0, π/2], 0 ≤ z ≤ sen y}

attorno all’asse y.

6. Risolvere il seguente problema di Cauchy

y

0

+ e

y

x

3

= 0

y(0) = 0.

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