STUDIODIFUNZIONI Universit`adegliStudidiAnconaCorsodiLaureainSS.FF.NN.CorsodiMATEMATICA(A.A.2002/2003)Docente:Prof.PieroMONTECCHIARI

Universit` a degli Studi di Ancona Corso di Laurea in SS.FF.NN.

Corso di MATEMATICA (A.A. 2002/2003)

Docente: Prof. Piero MONTECCHIARI

STUDIO

DI FUNZIONI

Scritti dal tutore Dario GENOVESE

Dominio

La prima cosa da fare per studiare una funzione y = f (x) `e determinare il suo dominio D qualora questo non fosse esplicitamente specificato nel testo. A tale proposito bisogna individuare tutte le operazioni ‘pericolose’, ovvero quelle operazioni il cui argomento non pu`o essere arbitrariamente scelto in tutto R.

Si riportano alcuni esempi di queste operazioni, con a fianco la condizione che deve soddisfare il relativo argomento.

Operazione Simbolo Condizione

Logaritmo log ? ? > 0

Rapporto ^α _? ? 6= 0

Radice pari

√

? (n ∈ N) ? ≥ 0

Tangente tan ? ? 6= kπ + ^π ₂ (k ∈ Z)

Arcoseno arcsin ? −1 ≤ ? ≤ 1

Si deve quindi fare un elenco di tutti i punti di frontiera di D, per poi studiarli.

Continuit` a

Il passo successivo `e studiare la continuit`a della funzione. Occorre determinare tutti i punti di discontinuit`a, determinarne il tipo e aggiungerli all’elenco di cui sopra. Spesso le discontinuit`a si hanno quando la funzione `e definita con pi`u leggi. Nei punti di ‘con- tatto’ tra una legge e l’altra c’`e un probabile punto di discontinuit`a ed occorre sempre controllarne l’effettiva presenza.

Dominio della derivata

A questo punto si deve calcore la derivata prima della funzione e con lo stesso procedi- mento di prima si deve determinare il dominio D ⁰ della derivata. Tale dominio D ⁰ deve essere incluso nel dominio D precedentemente ottenuto (o al pi`u coincidente con D), nel senso che non ci devono essere punti appartenenti a D <sup>0</sup> ma non appartenenti a D. Se ad esempio considero y = ln x ottengo y <sup>0</sup> = <sup>1</sup> <sub>x</sub> , da cui D = (0, +∞), mentre D <sup>0</sup> = R − {0}, il che `e errato. In realt`a sarebbe pi`u corretto scrivere y ⁰ = ¹ _x (x > 0) .

Una volta calcolato D ⁰ si determinano tutti i suoi punti di frontiera e si aggiungono all’elenco.

Studio dei punti notevoli

Ora si deve studiare quello che accade nei punti dell’elenco cos`ı ottenuto. Per ogni

punto c si deve calcolare (se esiste) il limite destro e sinistro di f (x) e di f ⁰ (x) per

x tendente a c, nonch`e il valore di f (c) qualora c appartenga a D. Si devono inoltre

calcolare lim x→∞ f (x) e lim x→∞ f ⁰ (x), ovvero bisogna considerare come punti notevoli anche ±∞. Nei paragrafi successivi verr`a data la classifficazione di questi punti notevoli.

Intersezioni con gli assi

E’ opportuno calcolare, se 0 ∈ D, f (0) per ottenere cos`ı l’intersezione con l’asse y. Ri- solvendo inoltre l’equazione f (x) = 0 si possono calcolare le eventuali intersezioni con l’asse x.

Asintoti orizzontali

Si dice che f (x) ha un asintoto orizzontale a +∞ se esiste finito lim x→+∞ f (x). La definizione `e analoga per −∞. La retta di equazione y = ` = lim _x→∞ f (x) dicesi asin- toto della funzione. Si possono distinguere tre sottocasi di asintoto orizzontale:

1)La funzione `e sempre maggiore di ` in un intorno di ∞.

2)La funzione `e sempre minore di ` in un intorno di ∞.

3)In ogni intorno di ∞ la funzione interseca l’asintoto.

Esempi:

1) La funzione

y = 1 + 1 x

ha la retta y = 1 sia come asintoto destro che come asintoto sinistro. Quello sinistro (a

−∞) `e di tipo 2, in quanto per ogni x < 0 si ha <sup>1</sup> <sub>x</sub> < 0 e quindi 1 + <sup>1</sup> <sub>x</sub> < 1, mentre per x > 0 si ha 1 + <sub>x</sub> <sup>1</sup> > 1 e quindi l’asintoto destro `e di tipo 1

Il grafico della funzione `e il seguente:

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-10 -5 0 5 10

asintoto y=1 asintoto y=1 asintoto y=1

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-10 -5 0 5 10

asintoto y=1 asintoto y=1 asintoto y=1

y = 1 + ¹ _x

2)La funzione

y = 2 + sin 9x x ² + 1

ha la retta y = 2 come asintoto destro e sinistro. L’asintoto `e del tipo descritto nel punto 3, in quanto ponendo y = 2 si ottiene x = <sup>kπ</sup> <sub>9</sub> , con k ∈ N, e quindi esistono valori positivi e negativi arbitrariamente grandi in valore assoluto in cui la y interseca l’asintoto. Il grafico della funzione `e il seguente:

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-2 0 2 4 6 8 10

asintoto y=2

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-2 0 2 4 6 8 10

asintoto y=2

y = 2 + ^{sin 9x} _x

+1

Asintoti obliqui

Si dice che la funzione y = f (x) ha la retta y = mx + q come asintoto obliquo (destro o sinistro a seconda dei casi) se lim _x→∞ f (x) − mx − q = 0. Valgono le stesse consid- erazioni e classificazioni fatte per gli asintoti orizzontali (in effetti l’asintoto orizzontale

`e un caso particolare di asintoto obliquo, in cui m = 0). Per determinare un asintoto obliquo bisogna calcolarsi i valori di m e q. Si determina prima la m con una delle seguenti formule:

m = lim

x→∞

f (x) x m = lim

x→∞ f ⁰ (x) Alcune considerazioni sull’uso di queste formule:

1)Se il limite nella prima non esiste allora siamo sicuri che non esiste asintoto obliquo.

2) La seconda formula si ottiene dalla prima tramite l’uso del teorema di De L’Hopi-

tal, e affinch`e essa sia valida deve esistere lim _x→∞ f ⁰ (x); nel caso il limite nella seconda

formula non esista non possiamo dire che non ci siano asintoti, in quanto si potrebbe riuscire a ricavare m dalla prima.

3)Si pu`o dimostrare che se riusciamo a calcolare m dalla seconda formula, si pu`o ot- tenere la stessa m dalla prima.

4)Se mediante l’applicazione di una delle due formule otteniamo un limite infinito, l’as- intoto non esiste.

Conviene quindi usare la seconda formula se `e facile calcolare la derivata di f ed esiste lim _x→∞ f ⁰ (x); bisogna usare la prima negli altri casi.

Una volta trovata m si deve calcolare q = lim _x→∞ f (x) − mx. Se tale limite esiste l’as- intoto esiste, altrimenti non si hanno asintoti obliqui.

Esempi:

1)Determinare se la funzione

y = x +

√ x ² − 9 x presenta asintoti obliqui e calcolarli.

Si ha

x→∞ lim f (x)

x = lim

x→∞

µ 1 +

√ x ² − 9 x ²

¶

= 1

Si ha quindi m = 1, sia a +∞ che a −∞. Inoltre

x→−∞ lim x +

√ x ² − 9

x − 1 · x = −1 mentre

x→+∞ lim x +

√ x ² − 9

x − 1 · x = 1

Quindi abbiamo come asintoto sinistro la retta y = x − 1 e come asintoto destro la retta y = x + 1. Inoltre, poiche per x > 3 si ha 0 < √

x ² − 9 < x, si ha anche ^{√ x} _x

⁻⁹ < 1, quindi l’asintoto destro `e di tipo 2. Analogamente si verifica che l’asintoto sinistro `e del tipo 1.

Il grafico della funzione `e il seguente:

-5 0 5 10

-10 -5 0 5 10

y=x+1

y=x-1 -5

0 5 10

-10 -5 0 5 10

y=x+1

y=x-1 -5

0 5 10

-10 -5 0 5 10

y=x+1

y=x-1

y = x + ^{√ x} _x

⁻⁹ 2)Determinare se la funzione

y = 2x + sin(x ² ) x presenta un asintoto destro.

Si ricava facilmente m = lim _x→+∞ ^{f (x)} _x = 2 + 0 = 2, mentre q = lim _x→+∞ ^sin(x _x

⁾ , da cui si ottiene l’asintoto y = 2x. Si osservi che se avessimo tentato di usare la seconda formula per calcolare la m avremmo ottenuto y ⁰ = 2 + 2 cos x − ^sin(x _x

⁾ , che per x tendente a +∞

risulta indeterminata (non c’`e limite).

Si pu`o dimostrare che l’asintoto `e del tipo 3, in quanto sin x ² all’aumentare di x passa ripetutamente da valori positivi a valori negativi, anche se in modo non periodico. Il grafico della funzione `e il seguente:

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

-2 0 2 4 6 8 10

asintoto y=2x

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

-2 0 2 4 6 8 10

asintoto y=2x

y = 2x + ^sin(x _x

⁾

Asintoti verticali

La funzione y = f (x) ha un asintoto verticale nel punto x = c se almeno uno dei due limiti

x→c lim

f (x)

risulta infinito. Ovviamente c deve assumere un valore finito. Spesso i punti di fron- tiera del dominio di f sono punti in cui `e presente un asintoto verticale, soprattutto se si ottengono in corrispondenza dell’annullarsi di un denominatore in una frazione.

Ad esempio la funzione y = e

presenta un asintoto verticale in x = 0. Infatti lim _x→0

e

= e ^+∞ = +∞, e anche se lim _x→0

e

= e ^−∞ = 0 si ha comunque un asintoto in quanto ne basta uno per soddisfare la definizione. Il grafico della funzione `e il seguente:

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-10 -5 0 5 10

y = e

Punti angolosi

La funzione y = f (x) presenta un punto angoloso nel punto x = c (x 6= ∞) se sono soddisfatte entrambe le seguenti ipotesi:

1)La funzione `e continua in c

2)Esistono i limiti destro e sinistro per x che tende a c di f ⁰ (x) e questi due limiti sono distinti.

Il grafico qualitativo di una funzione che rispetta la seconda ipotesi ma non la prima (e

che quindi non ha un punto angoloso) `e il seguente:

In presenza di un punto angoloso `e’ preferibile calcolare le due tangenti alla curva nel punto c. La funzione

y = |x ² − 4|

presenta due punti angolosi, uno in x = −2 e uno in x = 2. Consideriamo infatti il punto x = 2. Si ha che la funzione `e continua in quanto composizione di funzioni continue.

Inoltre lim _x→2

f ⁰ (x) = lim _x→2

−2x = −4, mentre lim _x→2

f ⁰ (x) = lim _x→2

2x = 4.

Poich`e f (2) = 0, le due rette tangenti (sinistra e destra) nel punto x = 2 sono y =

−4x + 8 e y = 4x − 8. Nel punto angoloso x = −2 si ottengono per simmetria le due rette y = −4x − 8 e y = 4x + 8. Il grafico della funzione `e il seguente:

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

-10 -5 0 5 10

y= 4x + 8

y= 4x - 8

y= - 4x + 8 y= - 4x - 8

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

-10 -5 0 5 10

y= 4x + 8

y= 4x - 8

y= - 4x + 8 y= - 4x - 8

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

-10 -5 0 5 10

y= 4x + 8

y= 4x - 8

y= - 4x + 8 y= - 4x - 8

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

-10 -5 0 5 10

y= 4x + 8

y= 4x - 8

y= - 4x + 8 y= - 4x - 8

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

-10 -5 0 5 10

y= 4x + 8

y= 4x - 8

y= - 4x + 8 y= - 4x - 8

y = |x ² − 4|

Punti cuspidali

La funzione y = f (x) presenta una cuspide nel punto x = c (x 6= ∞) se sono soddisfatte

entrambe le seguenti ipotesi:

1)La funzione `e continua in c

2)I limiti destro e sinistro per x che tende a c di f ⁰ (x) sono infiniti e di segno discorde. In teoria si potrebbe considerare la cuspide come un particolare punto angoloso. Valgono quindi le stesse osservazioni.

La funzione y = p

|x| presenta un punto cuspidale in x = 0. Infatti lim _x→0

f ⁰ (x) = lim _x→0

− ₂ ^{√ 1} _x = −∞ e lim _x→0

f ⁰ (x) = lim _x→0

₂ ^{√ 1} _x = +∞. La tangente limite ai due rami di curva `e la retta x = 0. Il grafico della funzione `e il seguente:

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-10 -5 0 5 10

y = p

|x|

Crescenza e decrescenza, massimi e minimi

La funzione y = f (x) `e crescente nel punto x = c se esistono un intorno sinistro I <sup>−</sup> e un intorno destro I <sup>+</sup> di c tali che f (x) ≤ f (c) se x ∈ I <sup>−</sup> e f (x) ≥ f (c) se x ∈ I <sup>+</sup> . La funzione si dice crescente in un intervallo se `e crescente in ogni punto di tale intervallo. La definizione di funzione strettamente crescente si ottiene dalle precedente eliminando i segni di uguaglianza, come anche la definizione di funzione decrescente si ottiene cambiando i segni delle disuguaglianze.

Si dice inoltre che la funzione presenta un massimo relativo in x = c se esiste un intorno completo di c tale che f (c) ≥ f (x) per ogni x in tale intorno. Se tale definizione vale per ogni x nel dominio D della funzione, il massimo si dice anche assoluto. La definizione di minimo `e equivalente.

Si pu`o dimostrare che se una funzione `e derivabile in (a, b) e presenta un punto di massimo c in tale intervallo, allora f ⁰ (c) = 0. Non `e vero il contrario, ad esempio la funzione y = x ³ ha come derivata y ⁰ = 3x ² , che si annulla in x = 0. Tuttavia y non presenta un massimo o un minimo in x = 0, anzi in questo punto risulta crescente.

Si pu`o dimostrare che se la derivata di una funzione `e positiva in un intervallo la funzione

`e crescente, quindi se la derivata di una funzione `e positiva in un intorno sinistro e

negativa in un intorno destro di c si ha un massimo, anche se non esiste f ⁰ (c). Tuttavia tale condizione non `e necessaria. Si consideri ad esempio la funzione

y = f (x) =

 



−x ² µ

1 + 1 2 sin 1

x ²

¶

se x 6= 0 0 se x = 0

Si vuole stabilire se presenta un massimo relativo in x = 0. La sua derivata `e, per x 6= 0, y ⁰ = −2x

µ 1 + 1

2 sin 1 x ²

¶ + 1

x cos 1 x ²

Tale funzione oscilla ripetutamente tra valori positivi e negativi vicino x = 0, in quanto il termine ¹ _x cos _x ¹

`e indeterminato (anzi l’ampiezza dell’oscillazione cresce indefinitiva- mente fino a diventare arbitrariamente grande!). Non esiste quindi nessun intorno di 0 (destro o sinistro) in cui la funzione `e monotona. Per x = 0 si ha tuttavia

y ⁰ (0) = lim

h→0

h ² (1 + ¹ ₂ sin ¹ _h )

h = 0

Questo calcolo di per s`e non ci dice niente. Se avessimo ottenuto un valore diverso da 0 saremmo stati sicuri che non c’era un massimo in 0, ma poich`e la condizione `e neces- saria ma non sufficiente dobbiamo inventarci qualcos’altro, perch`e ci potrebbe essere un minimo, un flesso, o niente di particolare. Il trucco sta nell’osservare che la funzione `e sempre negativa per x 6= 0, quindi x = 0 `e effettivamente un massimo assoluto e quindi anche relativo. Il grafico della funzione `e il seguente:

-0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

Il grafico (in scala opportuna) della funzione derivata `e invece:

-15 -10 -5 0 5 10 15

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

Concavit` a e flessi

Una funzione rivolge la concavit`a verso il basso (ovvero `e concava) nell’intervallo (a, b), se per ogni coppia di numeri λ e µ tale che 0 ≤ λ ≤ 1 , 0 ≤ µ ≤ 1 e λ + µ = 1, si abbia

f (λa + µb) ≥ λf (a) + µf (b)

Per una funzione convessa (che volge la concavit`a verso l’alto) si ha invece f (λa + µb) ≤ λf (a) + µf (b)

L’interpretazione di quest’ultima diseguaglianza `e che per ogni intervallo (α; β) ⊂ (a, b) si ha che la funzione in tale intervallo sta al di sotto della retta passante per (α; f (α)) e (β; f (β)).

Si pu`o dimostrare che se f <sup>00</sup> (x) ≥ 0 in (a, b) la funzione `e convessa. Se f ⁰⁰ (x) ≤ 0 in

(a, b) la funzione `e concava.

Se la funzione f (x) `e derivabile in c ed esiste un intorno sinistro di c in cui la funzione

`e concava e un intorno destro in cui `e convessa si ha un flesso discendente. Se `e vero il contrario si ha un flesso ascendente. La definizione si estende anche anche nel caso in cui i limite destro e sinistro in c di tale derivata siano infiniti (purch`e di segno discorde e purche la funzione sia comunque continua); nel caso il limite sinistro di f ⁰ sia −∞

e il limite destro +∞ si ha un flesso verticale discendente, in caso contrario un flesso verticale discendente.

Si pu`o dimostrare che se una funzione `e derivabile due volte in un punto di flesso allora il valore della derivata seconda in tale punto `e 0. Non `e vero il contrario, come si pu`o facilmente riconoscere studiando y = x ⁴ in x = 0.

L’uso della condizione f ⁰⁰ = 0 per la ricerca di flessi `e analoga all’uso di f ⁰ = 0 per la ricerca di massimi e minimi, e vanno quindi usate le stesse cautele.

Teoremi utili

1)Teorema di Weierstrass

Una funzione continua in un compatto assume almeno un massimo ed un minimo asso- luti.

2)Teorema dei valori intermedi

Se f (x) `e continua in [a, b] e f (a) ≤ z ≤ f (b), allora esiste almeno un x ∈ [a, b] tale che f (x) = z. Caso particolare di questo teorema `e il teorema di esistenza degli zeri: se f (a) ed f (b) sono discordi allora esiste un x tale che f (x) = 0.

3)In una funzione di classe C ¹ in un dominio connesso tra un massimo ed un mini- mo c’`e sempre un flesso (conseguenza del teorema 1).

4)Teorema delle derivate successive per massimi, minimi e flessi

Sia f (x) una funzione derivabile quante volte occorre in (a, b) e sia c un punto in tale intervallo. Sia inoltre f ^(k) (c) = 0 per ogni 2 ≤ k < n e sia f ⁽ⁿ⁾ (c) 6= 0.

Si distinguono i seguenti casi:

(f ⁰ (c) = 0, n pari , f ⁽ⁿ⁾ (c) < 0) → c `e un [punto di] massimo (f <sup>0</sup> (c) = 0, n pari , f <sup>(n)</sup> (c) > 0) → c `e un minimo

(f ⁰ (c) = 0, n dispari , f ⁽ⁿ⁾ (c) < 0) → c `e un flesso orizzontale discendente (f <sup>0</sup> (c) = 0, n dispari , f <sup>(n)</sup> (c) > 0) → c `e un flesso orizzontale ascendente (f ⁰ (c) 6= 0, n dispari ) → c `e un flesso a tangente obliqua

Si osservi che tale condizioni sono sufficenti ma non necessarie. Esistono funzioni in cui

tale teorema risulta inutile. Si consideri ad esmpio la funzione

y = f (x) =

 



e ^{− x 1}

se x 6= 0 0 se x = 0

In x = 0 si ha un punto di minimo in quanto altrove la funzione `e sempre positiva.

Tuttavia se si calcolano (usando direttamente la definizione) le derivate di qualsivoglia ordine in x = 0, queste sono tutte nulle.

Il grafico della funzione `e il seguente:

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-3 -2 -1 0 1 2 3

Esempi di studi di funzioni 1) Si studi la funzione

y = arcsin(e ^−|x| )

Il dominio `e tutto R, e la funzione `e inoltre continua in quanto composizione di funzioni continue.. Tale funzione `e pari, basta quindi studiarla per x ≥ 0, trascurando cos`ı il modulo. Per x = 0 si ha y = ^π ₂ ≈ 1.6. Se si pone y = 0 si ottiene e ^−x = 0, il che `e impossibile. Non ci sono quindi intersezioni con l’asse x.

Si ha, per x > 0,

y ⁰ = − e ^−x

√ 1 − e ^−2x

Inoltre lim _x→0

y ⁰ = −∞ e, per simmetria, lim _x→0

y ⁰ = +∞. La funzione non `e quindi

derivabile in x = 0 dove presenta invece una cuspide. La derivata `e sempre negativa per x > 0 ed `e quindi decrescente. Per simmetria la funzione `e crescente per x < 0. Infine si ha lim <sub>x→±∞</sub> y = 0 e la funzione presenta quindi l’asintoto orizzontale y = 0 sia a destra che a sinistra. Il grafico della funzione `e il seguente:

-1 0 1 2 3 4 5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y = arcsin e ^−|x|

2)Si studi la funzione

y = p

x(x ² − 1) ²

Non ci sono limitazioni al dominio. Inoltre la funzione presenta una simmetria dispari e si pu`o quindi studiare in x ≥ 0. Per x = 0 si ha y = 0, mentre se si pone y = 0 si ottiene, oltre ovviamente a x = 0, anche x = ±1. La derivata, dopo aver svolto i calcoli, assume la forma

y ⁰ = x ² − ¹ ₅ p

x ⁴ (x ² − 1) ³ da cui y ⁰ > 0 per 0 < x < √

5 e per x > 1; y ⁰ = 0 per x = √

5; lim _x→0

y ⁰ = +∞;

lim _x→1

y ⁰ = −∞; lim _x→1

y ⁰ = +∞. Lo studio della derivata per x < 0 presenta le stesse caratteristiche in quanto la derivata di una funzione dispari `e una funzione pari.

Quindi la funzione presenta un flesso verticale ascendente in x = 0, due cuspidi in x = ±1 un massimo in √

5 e un minimo in − √

5. Si ha inoltre

x→+∞ lim p

x(x ² − 1) ²

x = 1

x→+∞ lim p

x(x ² − 1) ² − x = lim

x→+∞

³

5

q

1 − _x ²

+ _x ¹

− 1

´

1 x

Tale limite si presenta sotto la forma ⁰ ₀ e si pu`o calcolare tramite la regola di De l’Hopital.

Eseguendo i calcoli si ottiene il valore 0. La funzione presenta quindi la retta y = x come asintoto destro e sinistro. Il grafico della funzione `e il seguente:

-3 -2 -1 0 1 2 3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

asintoto y=x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

asintoto y=x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

asintoto y=x

y = p

x(x ² − 1) ² 3)Si studi la funzione

y = sin(2πe ^−x

)

La funzione `e pari e non presenta limitazioni al dominio, ed `e anche continua. Studiando preliminarmente l’argomento del seno, si evince che 2πe ^−x

, funzione simmetrica, assume tutti i valori dell’intervallo (0, 1] ed `e monotona in ciascuno dei 2 intervalli x > 0 e x < 0.

Ritornando ora allo studio della funzione originale, per x = 0 si ha y = 0, mentre ponendo y = 0 si ottengono anche le due soluzioni simmetriche x = ± √

ln 2 ≈ ±0.83.

lim _x→∞ y = 0, la funzione presenta quindi l’asintoto y = 0 sia a destra che a sinistra.

Si ha

y ⁰ = −4xπ cos(2πe ^−x

) · e ^−x

Per la determinazione degli intervalli di crescenza e decrescenza si pu`o supporre x ≥ 0 e

sfruttare la simmetria dispari della derivata. Si ha che la funzione `e decrescente (y ⁰ > 0)

per 0 < e ^−x

< ¹ ₄ , crescente per ¹ ₄ < e ^−x

< ³ ₄ e nuovamente decrescente per ³ ₄ < e ^−x

<

1. Queste tre condizioni corrispondono rispettivamente a decrescenza per x > √ ln 4, crescenza per

q

ln ⁴ ₃ < x < √

ln 4 e decrescenza per 0 < x <

q

ln ⁴ ₃ . Di conseguenza si hanno massimi in x = 0 e x = ± √

ln 4 ≈ ±1.18 e minimi in x = ± q

ln ⁴ ₃ ≈ ±0.54.

La localizzazione esatta dei flessi presenta notevoli onerosit`a di calcolo, comunque c’`e un flesso in ciascuno dei 6 intervalli in cui `e diviso l’insieme R dai 5 punti di massimo e minimo appena trovati. Il grafico della funzione `e il seguente:

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-3 -2 -1 0 1 2 3

y = sin(2πe ^−x

)

4)Si studi la funzione

y = x − 4 arctan |x − 3|

La funzione `e continua in tutto R. E’ inoltre derivabile ad eccezione eventualmente del punto x = 3 in cui si annulla l’argomento del modulo.

Per x = 0 si ottiene y = −4 arctan 3 ≈ 5, mentre la ricerca di intersezioni con l’asse x non `e effettuabile con metodi elementari. Poich`e lim _x→+∞ arctan x = ^π ₂ , la funzione ha l’asintoto y = x − 2π sia come asintoto destro che sinistro. Nel punto notevole x = 3 si ha y = 3. Calcoliamo la derivata:

y ⁰ =

 

 

 



1 − 4

1 + (x − 3) ² se x > 3

1 + 4

1 + (x − 3) ² se x < 3

Calcolando lim _x→3

y ⁰ = −3 e lim _x→3

y ⁰ = 5 si ha che, dato che i limiti destro e sinistro esistono ma sono distinti, la funzione non `e derivabile in x = 3. La funzione ha in x = 3 un punto angoloso e le due tangenti limite sono y = 5x − 12 e y = −3x + 12.

Studiando il segno della derivata si dimostra che la funzione `e crescente per x < 3, decrescente per 3 < x < 3 + √

3 e crescente per x > 3 + √

3. in x = 3 + √

3 ≈ 4.73 si ha un minimo relativo.

Poich`e y(0) < 0 e y(3) = 3 > 0 e in (0, 3) la funzione `e crescente, in tale intervallo la funzione `e monotona esiste una ed una sola intersezione con l’asse x in (0, 3). Inoltre calcolando il valore della funzione nel punto di minimo relativo x = 3 + √

3, si ottiene y ≈ 0.54 > 0 e quindi non esistono altre intersezioni. Il grafico della funzione `e il seguente:

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6

-5 0 5 10

y=-3x+12 y=5x-12

y=x-2pi

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6

-5 0 5 10

y=-3x+12 y=5x-12

y=x-2pi

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6

-5 0 5 10

y=-3x+12 y=5x-12

y=x-2pi

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6

-5 0 5 10

y=-3x+12 y=5x-12

y=x-2pi

y = sin(2πe ^−x

)

5)Studiare la funzione

y = x + sin x

La funzione `e continua e derivabile in tutto R. y <sup>0</sup> = 1 + cos x ≥ 0. La funzione `e quindi monotona ed esiste una sola intersezione con l’asse x, che si ha in corrispondenza di x = 0. La funzione non presenta asintoti: lim _x→∞ ^y _x = 1, ma non esiste lim _x→∞ x + sin x − x = lim _x→∞ sin x.

La derivata prima `e periodica di periodo 2π, il che significa che la funzione, pur non

essendo periodica, presenta una certa regolarit`a: si verifica facilmente che y(x + 2π) =

y(x) + 2π. Calcolando y ⁰ = 0 si ottiene y = (2k + 1)π (k ∈ Z). Ponendo y ⁰⁰ = − sin x = 0 Si ottiene x = kπ (k ∈ Z). Con y ⁰⁰⁰ = − cos x = 0 si ottiene x = kπ+ ^π ₄ . Applicando il metodo delle derivate successive si ottengono dei flessi orizzontali ascendenti in x = 2kπ, dei flessi obliqui in x = (2k + 1)π. Il grafico `e il seguente:

-10 -5 0 5 10

-15 -10 -5 0 5 10 15

y = x + sin x