xcos kπ2x kπ2 1 0 − Z 1 0 cos kπ2x kπ2 dx

Esercitazione 3 (23 Ottobre 2017)

Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica, Elettronica ed Informatica Tutor: Caterina Fenu

1. Risolvere, ricorrendo alle serie di Fourier, la seguente equazione differenziale in [−2, 2]

y⁰⁰+ 3y⁰− 7y = f (x), f (x) =







1, −2 ≤ x < −1,

−x, −1 ≤ x < 1,

−1, 1 ≤ x < 2.

(1)

Soluzione:

La funzione f (x) `e dispari, come si evince facilmente dal grafico.

Per questo i coefficientiae₀eae_ksono nulli.

-2 -1 0 1 2

-1 0 1

Inoltre L = 2 quindi ω = _L^π = ^π₂, perci`o lo sviluppo in serie di Fourier della f (x) `e

S_f(x) =

∞

X

k=1

be_ksin kπ 2x Si ha:

be_k = 2 2

Z 2 0

f (x) sin kπ

2x dx = Z 1

0

−x · sin kπ

2x dx + Z 2

1

−1 · sin kπ

2x dx =

=

"

xcos k^π₂x k^π₂

1

0

− Z 1

0

cos k^π₂x k^π₂ dx

#

+ cos k^π₂x k^π₂

2

1

=

=

2

kπcos kπ 2 − 4

k²π² h

sin kπ 2xi1

0

+ 2 kπ



cos kπ −







cos kπ 2



=

= 2 kπ



(−1)^k− 2

kπsin kπ 2



Lo sviluppo in serie di Fourier della funzione f `e quindi:

S_f(x) =

∞

X

k=1

2 kπ



(−1)^k− 2

kπsin kπ 2

 sin kπ

2x

Lo sviluppo in serie di Fourier della funzione incognita y `e:

S_y(x) = a₀+

∞

X

k=1

a_kcos kπ

2x + b_ksin kπ

2x, (2)

con a₀, a_k e b_k da determinare imponendo l’uguaglianza y⁰⁰+ 3y⁰ − 7y = f (x).

Derivando la (2) si ha:

S_y⁰(x) =

∞

X

k=1

−a_kkπ 2

 sin kπ

2x + b_kkπ

2



cos kπ 2x dalla quale, derivando nuovamente:

S_y⁰⁰(x) =

∞

X

k=1



−a_kk²π² 4



cos kπ 2x −



b_kk²π² 4

 sin kπ

2x.

Da queste e dalla (1) si ha:

∞

X

k=1



−a_kk²π² 4



cos kπ 2x −

 b_kk²π²

4

 sin kπ

2x+

+3

∞

X

k=1

−a_kkπ 2

 sin kπ

2x + b_kkπ

2

 cos kπ

2x

! +

−7 a₀+

∞

X

k=1

a_kcos kπ

2x + b_ksin kπ 2x

!

=

−7a₀+

∞

X

k=1



−a_kk²π²

4 + 3b_kkπ 2 − 7a_k



cos kπ 2x+

+

∞

X

k=1



−bkk²π²

4 − 3akkπ 2 − 7bk

 sin kπ

2x =

∞

X

k=1

2 kπ



(−1)^k− 2

kπsin kπ 2

 sin kπ

2x

che `e verificata se

− 7a₀ =ae₀ = 0

− a_kk²π²

4 + 3b_kkπ

2 − 7a_k =ae_k= 0

− b_kk²π²

4 − 3a_kkπ

2 − 7b_k= eb_k= 2 kπ



(−1)^k− 2

kπsin kπ 2



Si ottiene subito a₀ = 0 e il sistema nelle incognite a_k e b_k:

−(k²π²

4 + 7)a_k+ (3kπ

2)b_k = 0

−(3kπ

2)ak− (k²π²

4 + 7)bk = ebk

che ammette una e una sola soluzione dato che il suo determinante (k^{2 π}₄²+7)²+(3k^π₂)²

`e diverso da zero per ogni valore di k intero.

Dalla prima equazione si ottiene:

b_k= (k^{2 π}₄² + 7)a_k 3k^π₂ che sostituito nella seconda:

−(3kπ

2)a_k− (k²π²

4 + 7)(k^{2 π}₄² + 7)a_k 3k^π₂ = −

 3kπ

2 − 1

3k^π₂(k²π² 4 + 7)²



a_k = eb_k da cui

a_k = − be_k 3k^π₂ − _3k¹π

2

(k^{2 π}₄² + 7)² = −

2

kπ (−1)^k−_kπ² sin k^π₂
3k^π₂ − _3k¹π

2

(k^{2 π}₄² + 7)² e

b_k = −(k^{2 π}₄² + 7) 3k^π₂

2

kπ (−1)^k− _kπ² sin k^π₂
3k^π₂ − _3k¹π

2

(k^{2 π}₄² + 7)²

2. Utilizzando la forma complessa della Serie di Fourier, sviluppare la funzione f (x) =

(2(x − 1), −π ≤ x < 1, 3, 1 ≤ x < π.

Inoltre, sfruttando i calcoli fatti, scrivere la serie di Fourier in forma reale.

Soluzione:

La funzione non ´e ne’ pari ne’ dispari. La sua forma complessa ´e S_f(x) =

∞

X

k=−∞

c_ke^ikωx con

c₀ = 1 2L

Z L

−L

f (x) dx e c_k= 1 2L

Z L

−L

f (x)e^−ikωxdx

Inoltre L = π quindi ω = _L^π = 1.

Si ha:

c₀ = 1 2L

Z L

−L

f (x) dx = 1 2π

Z 1

−π

2(x − 1) dx + Z π

1

3 dx



= 1 π

 x² 2 − x

1

−π

+ 3 2π[x]^π₁

= 1 π

 1² 2 − 1



− (−π)²

2 − (−π)



+ 3

2π[π − 1]

= 1 π



−1 2



− (π)² 2 + π)



+3 2 − 3

2π

= − 1 2π − π

2 − 1 + 3 2− 3

2π = −π 2 +1

2 − 2 π

c_k= 1 2L

Z L

−L

f (x)e^−ikωxdx = 1 2π

Z 1

−π

2(x − 1)e^−ikxdx + Z π

1

3e^−ikxdx



= 1 π

(

(x − 1)e^−ikx

−ik

1

−π

− Z 1

−π

e^−ikx

−ik dx )

+ 3 2π

 e^−ikx

−ik

π 1

= 1 π



0 − (−π − 1)e^ikπ

−ik



− 1 π

 e^−ikx (−ik)(−ik)

¹

−π

+ 3 2π

 e^−ikπ

−ik −e^−ik

−ik



= − 1

ikπ(π + 1)e^ikπ+ 1

k²π e^−ik− e^ikπ
− 3

2ikπ e^−ikπ − e^−ik
Dato che e^ix = cos x + i sin x, si ha:

e^ikπ = cos kπ + i sin kπ = (−1)^k e^−ikπ = cos kπ + i sin (−kπ) = (−1)^k Quindi

c_k = − 1

ikπ(π + 1)(−1)^k+ 1

k²π e^−ik− (−1)^k
− 3

2ikπ (−1)^k− e^−ik

= (−1)^k



−π + 1 ikπ − 1

k²π − 3 2ikπ



+ e^−ik

 1

k²π + 3 2ikπ.



Per risalire alla forma reale della serie sfruttiamo il fatto che a₀ = c₀

a_k = c_k+ c_−k bk = i(ck− c−k).

Quindi

a_k = c_k+ c−k = (−1)^k



−π + 1 ikπ − 1

k²π − 3 2ikπ



+ e^−ik

 1

k²π + 3 2ikπ



+ (−1)^−k



−π + 1

−ikπ − 1

k²π − 3

−2ikπ

 + e^ik

 1

k²π + 3

−2ikπ



= (−1)^k









−π + 1 ikπ − 1

k²π − 3 2ikπ

!

+ e^−ik

 1

k²π + 3 2ikπ.



+ (−1)^k π + 1 ikπ − 1

k²π + 3 2ikπ

! + e^ik

 1

k²π − 3 2ikπ



= (−1)^k



− 2 k²π

 + 1

k²π e^ik+ e^−ik
− 3

2ikπ e^ik− e^−ik

= − 2

k²π(−1)^k+ 1

k²π(2 cos k) − 3

2ikπ(2i sin k)

= − 2

k²π(−1)^k+ 2

k²πcos k − 3 kπsin k dove abbiamo sfruttato il fatto che

(−1)^−k = (−1)^k cos x = e^ix+ e^−ix

2 sin x = e^ix− e^−ix

2i . Proseguendo

b_k = i(c_k− c_−k) = i

 (−1)^k



−π + 1 ikπ − 1

k²π − 3 2ikπ



+ e^−ik

 1

k²π + 3 2ikπ



−(−1)^−k



−π + 1

−ikπ − 1

k²π − 3

−2ikπ

 + e^ik

 1

k²π + 3

−2ikπ



= i

 (−1)^k



−π + 1 ikπ −





1

k²π − 3 2ikπ



+ e^−ik

 1

k²π + 3 2ikπ



−(−1)^−k π + 1 ikπ −





1

k²π + 3 2ikπ

 + e^ik

 1

k²π − 3 2ikπ



= i

 (−1)^k



−2(π + 1) ikπ − 3

ikπ



− 1

k²π e^ik− e^−ik
+ 3

2ikπ e^ik+ e^−ik



= i

 (−1)^k



−2(π + 1) ikπ − 3

ikπ



− 1

k²π (2i sin k) + 3

2ikπ (2 cos k)



= (−1)^k



−2(π + 1) kπ − 3

kπ

 + 1

k²π(2 sin k) + 3

2kπ (2 cos k)

= −2π + 5

kπ (−1)^k+ 2

k²πsin k + 3 kπcos k

Per verificare che il risultato sia giusto calcoliamo a_k e b_k con la definizione usuale:

a_k = 1 L

Z L

−L

f (x) cos kωx dx = 1 π

Z 1

−π

2(x − 1) cos kx dx + Z π

1

3 cos kx dx



= 2 π

(

(x − 1)sin kx k

1

−π

− Z 1

−π

sin kx k dx

) + 3

π

 sin kx k

π 1

= 2 π



(0 − 0) + 1

k² [cos kx]¹_−π

 + 3

π



0 −sin k k



= 2

πk² (cos k − cos (−kπ)) − 3 kπsin k

= 2

πk² cos k − (−1)^k
− 3 kπsin k

che coincide con il valore calcolato in precedenza.

b_k= 1 L

Z L

−L

f (x) sin kωx dx = 1 π

Z 1

−π

2(x − 1) sin kx dx + Z π

1

3 sin kx dx



= 2 π

(

−



(x − 1)cos kx k

1

−π

+ Z 1

−π

cos kx k dx

) + 3

π



−cos kx k

π 1

= −2 π



0 − (−π − 1)cos (−kπ) k

 + 1

k² [sin kx]¹_−π



− 3 π

 cos kπ

k − cos k k



= −2(π + 1)

πk (−1)^k+ 1

k² (sin k − 0) − 3

kπ (−1)^k− cos k

= −2π + 5

πk (−1)^k+ 2

πk² sin k + 3 kπcos k che coincide con il valore calcolato in precedenza.

3. Risolvere, ricorrendo alle serie di Fourier, la seguente equazione differenziale in [−4, 4]

2y⁰⁰− y = f (x), f (x) =

(0, −4 ≤ x < 0, 2x, 0 ≤ x < 4.

Soluzione:

La funzione non ´e ne’ pari ne’ dispari. Si ha L = 4 e quindi ω = _L^π = ^π₄.

a₀ = 1 2L

Z L

−L

f (x) dx = 1 8

Z 4 0

2x dx = 1 4

 x² 2

4 0

= 1

4 · 8 = 2 ak = 1

L Z L

−L

f (x) cos kπ

4x dx = 1 4

Z 4 0

2x cos kπ 4x dx

= 1 2

(

xsin k^π₄x k^π₄

4 0

− Z 4

0

sin k^π₄x k^π₄ dx

)

= 1

2(0 − 0) + 1 k^π₄
2

h cos kπ

4x i4

0

= 8

k²π² (−1)^k− 1
b_k = 1

L Z L

−L

f (x) sin kπ

4x dx = 1 4

Z 4 0

2x sin kπ 4x dx

= 1 2

(

−xcos k^π₄x k^π₄

4 0

+ Z 4

0

cos k^π₄x k^π₄ dx

)

= 1 2

(

− 4

kπ(4(−1)^k− 0) + 1 k^π₄
2

h sin kπ

4xi4 0

)

=

= − 1

8kπ(−1)^k+ (0 − 0) = − 1

8kπ(−1)^k Lo sviluppo in serie di Fourier della funzione incognita y `e:

S_y(x) = ˜a₀+

∞

X

k=1

˜

a_kcos kπ

4x + ˜b_ksin kπ 4x.

Per determinare i coefficienti ˜a₀,˜a_k e ˜b_k imponiamo l’uguaglianza 2y⁰⁰− y = f (x), cio`e

2

∞

X

k=1

−˜a_kk²π²

16 cos kπ

4x − ˜b_kk²π²

16 sin kπ 4x

!

− ˜a₀+

∞

X

k=1

˜

a_kcos kπ

4x + ˜b_ksin kπ 4x

!

= −˜a₀+

∞

X

k=1



−2˜a_kk²π² 16 − ˜a_k



cos kπ 4x +



−2˜b_kk²π² 16 − ˜b_k

 sin kπ

4x

= a₀+

∞

X

k=1

a_kcos kπ

4x + b_ksin kπ 4x

che `e verificata se







−˜a₀ = a₀

−2˜a_k^k2₁₆^π2 − ˜a_k = a_k

−2˜b_k^k2₁₆^π2 − ˜b_k= b_k cio´e se











−˜a₀ = 2 → ˜a₀ = −2

−(^k2₈^π2 + 1)˜a_k = a_k → ˜a_k = −_k2π2^ak

8 +1

−(^k2₈^π2 + 1)˜b_k= b_k → ˜b_k = −_k2π2^bk

8 +1

Ricordando il valore calcolato di a_k e b_k si ha

˜ a_k= −

8

k²π² (−1)^k− 1

k²π² 8 + 1

˜b_k= −−_8kπ¹ (−1)^k

k²π²

8 + 1 =

1

8kπ(−1)^k

k²π² 8 + 1 Quindi la soluzione dell’equazione differenziale ´e

Sy(x) = −2 +

∞

X

k=1

−

8

k²π² (−1)^k− 1

k²π²

8 + 1 cos kπ 4x +

1

8kπ(−1)^k

k²π²

8 + 1 sin kπ 4x

4. Risolvere, ricorrendo alle serie di Fourier, la seguente equazione differenziale in [−π, π]

2y⁰⁰+ 3y = f (x), f (x) =











−1, −π ≤ x < −^π₂, 2x

π , −^π₂ ≤ x < ^π₂, 1, ^π₂ ≤ x < π.

La funzione f (x) `e dispari, come si evince facilmente dal grafico.

0

−1 0 1

π/2 π

−π/2

−π

Per questo i coefficienti ae₀ eae_k sono nulli.

Inoltre T = 2π quindi ω = ^2π_T = 1, perci`o lo sviluppo in serie di Fourier della f (x) `e

S_f(x) =

∞

X

k=1

be_ksin kx

Si ha:

be_k = 2 π

Z π 0

f (x) sin kx dx = 2 π

(Z ^π₂

0

2

πxsinkx dx + Z π

π 2

sin kx dx )

=

= 2 π

(2 π

"

−xcos kx k

π 2

0

+ 1 k

Z ^π₂

0

cos kx dx

#

− cos kx k

π

π 2

)

=

= 4 kπ²

"

−π

2 cos kπ

2 + sin kx k

π 2

0

#

− 2 kπ



cos kx − cos kπ 2



=

= −

2

kπcos kπ 2 + 4

k²π² sin kπ 2 − 2

kπ(−1)^k+

2

kπcos kπ 2 =

= 2 kπ

 2

kπ sin kπ

2 − (−1)^k



Lo sviluppo in serie di Fourier della funzione incognita y `e:

S_y(x) =

∞

X

k=1

b_ksin kx.

Infatti, mancando la derivata prima, anche i coefficienti a₀,a_k saranno nulli.

Per determinare i coefficienti bk imponiamo l’uguaglianza 2y⁰⁰+ 3y = f (x), cio`e Soluzione:

3

∞

X

k=1

bksin kx

! + 2

∞

X

k=1

−bkk²sin kx

!

=

∞

X

k=1

(3 − 2k²)bksin kx =

=

∞

X

k=1

2 kπ

 2

kπsin kπ

2 − (−1)^k

 sin kx

che `e verificata se

(3 − 2k²)b_k = 2 kπ

 2

kπsin kπ

2 − (−1)^k



−→ b_k = 2 kπ(3 − 2k²)

 2

kπsin kπ

2 − (−1)^k



infatti 3 − 2k² 6= 0 poich`e k pu`o assumere solo valori interi.

La funzione f (x) `e pari, come si evince facilmente dal grafico.

0 1

2

−π/2 π

−π π/2

Per questo i coefficienti eb_k sono nulli.

Inoltre T = 2π quindi ω = ^2π_T = 1, perci`o lo sviluppo in serie di Fourier della f (x) `e

S_f(x) =ae₀+

∞

X

k=1

ae_kcos kx Si ha:

ae₀ = 1 π

Z π 0

f (x) dx = 1 π

(Z ^π₂

0

1 dx + Z π

π 2

2 πx dx

)

=

= 1 π

( x|

π 2

0 + 2
π

x² 2

π

π 2

)

= 1 π

(π 2 +π
²

π − π
²

4_π )

= 1

π h5

4^πi

= 5 4

5. Risolvere, ricorrendo alle serie di Fourier, la seguente equazione differenziale in [−π, π]

3y⁰⁰+ 4y = f (x), f (x) =







−_π²x, −π ≤ x < −^π₂, 1, −^π₂ ≤ x < ^π₂,

2

πx, ^π₂ ≤ x < π.

Soluzione:

ae_k= 2 π

Z π 0

f (x) cos kx dx = 2 π

(Z ^π₂

0

cos kx dx + Z π

π 2

2

πx cos kx dx )

=

= 2 π

( sin kx k

π 2

0

+ 2 π

"

xsin kx k

π

π 2

− 1 k

Z π

π 2

sin kx dx

# )

=

= 2 kπ

( sin kπ

2 + 2 π

"

−π

2sin kπ

2 + cos kx k

π

π 2

# )

=

= 2 kπ

(







sin kπ 2 −







sin kπ 2 + 2

kπ h

cos kπ − cos kπ 2 i

)

=

= 4

k²π² h

(−1)^k− cos kπ 2 i

Lo sviluppo in serie di Fourier della funzione incognita y `e:

S_y(x) = a₀+

∞

X

k=1

a_kcos kx.

Infatti, mancando la derivata prima, anche i coefficienti b_k saranno nulli.

Per determinare i coefficienti a₀ e a_k imponiamo l’uguaglianza 3y⁰⁰+ 4y = f (x), cio`e

4(a₀+

∞

X

k=1

a_kcos kx) + 3(

∞

X

k=1

−a_kk²cos kx) = 4a₀+

∞

X

k=1

(4 − 3k²)a_kcos kx =

5 4+

∞

X

k=1

4 k²π²

h

(−1)^k− cos kπ 2 i

cos kx

che `e verificata se

(4a₀ = ⁵₄ −→ a₀ = ₁₆⁵

(4 − 3k²)a_k = _k2⁴π² (−1)^k− cos k^π₂

−→ a_k= _k2π²(4−3k^{4 2}) (−1)^k− cos k^π₂
infatti 4 − 3k² 6= 0 poich`e k pu`o assumere solo valori interi.