7 con k0 = π ⇑ F 1 3−ix = 2πe−3kH(k

Esercitazione 4 (2 Novembre 2017)

Corso di laurea in Ingegneria Elettrica, Elettronica ed Informatica Tutor: Caterina Fenu

1. Calcolare le seguenti trasformate di Fourier F sin πx

3 − ix



, F⁻¹ sin 3(k − 1) k − 1



, F⁻¹ cos πx x²+ 4

 .

Soluzione:

F_{sin πx}

3−ix

= _2i¹2πe^−3(k−π)H(k − π) − e^−3(k+π)H(k + π)

⇓ Propr. 7 con k₀ = π ⇑ F ₁

3−ix

= 2πe^−3kH(k)

⇓ Propr. 5 ⇑

F⁻¹ ₁

3−ik

= e^3xH(−x)

F⁻¹n

sin 3(k−1) k−1

o

= ^e₂^ix [H(x + 3) − H(x − 3)]

⇓ Propr. 3 con k₀ = 1 ⇑ F⁻¹_{sin 3k}

k = ³₆F⁻¹_{6 sin 3k}

3k

= ¹₂[H(x + 3) − H(x − 3)]

F⁻¹_{cos πx}

x²+4

= ¹₂^π₂

(e^2(k−π)+ e^2(k+π)

se k ≥ 0

e^−2(k−π)+ e^−2(k+π)

se k < 0

⇓ Propr. 6 con k₀ = π ⇑

F ₁

x²+4

= 2π¹₄

(e^2k se k ≥ 0 e^−2k se k < 0

⇓ Propr. 5 ⇑

F⁻¹ ₁

k²+4 = ¹₄F⁻¹ ₄

k²+4

= ¹₄e^−2|x| = ¹₄

(e^−2x se x ≥ 0 e^2x se x < 0 2. Calcolare le seguenti convoluzioni

e^−xH(x) ? [H(x + 2) − H(x − 3)] , e^2xH(−x) ? [H(x + 1) − H(x − 3)] . Soluzione:

[e^−xH(x)] ? [H(x + 2) − H(x − 3)] =R∞

−∞e^−(x−y)H(x − y) [H(y + 2) − H(y − 3)] dy

=R3

−2e^−(x−y)H(x − y) dy = e^−xR3

−2e^yH(x − y) dy

= e^−x







0 se x < −2 Rx

−2e^ydy se − 2 ≤ x ≤ 3 R3

−2e^ydy se x > 3

= e^−x







0 se x < −2 e^x− e⁻² se − 2 ≤ x ≤ 3 e³ − e⁻² se x > 3

=







0 se x < −2

1 − e^−(x+2) se − 2 ≤ x ≤ 3 e^3−x− e^−(x+2) se x > 3

[e^2xH(−x)] ? [H(x + 1) − H(x − 3)] =R∞

−∞e^2(x−y)H(y − x) [H(y + 1) − H(y − 3)] dy

=R3

−1e^2(x−y)H(y − x) dy = e^2xR3

−1e^−2yH(y − x) dy

= e^2x





 R3

−1e^−2ydy se x < −1 R3

x e^−2ydy se − 1 ≤ x ≤ 3 0 se x > 3

= e^2x







−¹₂(e⁻⁶− e²) se x < −1

−¹₂(e⁻⁶− e^−2x) se − 1 ≤ x ≤ 3

0 se x > 3

=







−¹₂e^2(x+1)(e⁻³− 1) se x < −1

−¹₂e^2(x−1)(e³− e^x) se − 1 ≤ x ≤ 3

0 se x > 3

3. Risolvere, ricorrendo alla trasformata di Fourier, la seguente equazione differenziale 3y⁰+ 2πy = [H(x − 3) − H(x − 7)] , x ∈ R,

dove H(x) indica la funzione di Heaviside.

Soluzione: Per la propriet`a 8 si ha, trasformando entrambi i membri:

3ikY (k) + 2πY (k) = F (k) −→ (3ik + 2π)Y (k) = F (k) −→ Y (k) = 1 3

F (k) (^2π₃ + ik) dove Y (k) e F (k) denotano le trasformate di Fourier rispettivamente di y(x) e f (x).

Per la propriet`a 10 si ha che y(x) = g ∗ f con

(f(x) = [H(x − 3) − H(x − 7)]

g(x) = ¹₃F⁻¹n

1 (^2π₃ +ik)

o

= ¹₃e^{−2π3 x}H(x)

y(x) = 1 3

h

e^{−2π3 x}H(x)i

∗ [H(x − 3) − H(x − 7)] =

= 1 3

Z ∞

−∞

e^{−2π3(x−y)}H(x − y) [H(x − 3) − H(x − 7)] dy =

= 1 3

Z 7 3

e^{−2π3 (x−y)}H(x − y) dy =

= 1 3







0 se x < 3

Rx

3 e^{−2π3 (x−y)}dy se 3 ≤ x ≤ 7 R7

3 e^{−2π3 (x−y)}dy se x > 7

= 1 3e^{−2π3 x}







0 se x < 3 Rx

3 e^{2π3 y}dy se 3 ≤ x ≤ 7 R7

3 e^{2π3 y}dy se x > 7

= 1 3e^{−2π3 x}











0 se x < 3

3 2π



e^{2π3 x}− e^2π

se 3 ≤ x ≤ 7

3 2π



e^14π3 − e^2π

se x > −1

=







0 se x < 3

1

2π 1 − e^2π(1−x3

se 3 ≤ x ≤ 7

1

2πe^{−2π3(1−x)}(e⁷− e³) se x > −1

4. Risolvere, ricorrendo alla trasformata di Fourier, la seguente equazione differenziale y⁰⁰− 2y =h

H(x +√

2) − H(x − 3√ 2)i

, x ∈ R, dove H(x) indica la funzione di Heaviside.

Soluzione: Per la propriet`a 8 si ha, trasformando entrambi i membri:

(ik)²Y (k) − 2Y (k) = F (k) −→ (−k²− 2)Y (k) = F (k) −→ Y (k) = − F (k) 2 + k² dove Y (k) e F (k) denotano le trasformate di Fourier rispettivamente di y(x) e f (x).

Per la propriet`a 10 si ha che y(x) = g ∗ f con

(f(x) = H(x +√

2) − H(x − 3√ 2) g(x) = −F⁻¹ ₁

2+k² = −^√1

2F⁻¹n

2√ 2 2+k²

o

= −^√1

2e⁻

√ 2|x|

y(x) = − 1

√2 h

e⁻

√2|x|i

∗h

H(x +√

2) − H(x − 3√ 2)i

=

= − 1

√2 Z ∞

−∞

e⁻

√ 2|x−y|h

H(y +√

2) − H(y − 3√ 2)i

dy =

= − 1

√2 Z 3√

2

−√ 2

e⁻

√

2|x−y|dy =

= − 1

√2









 R3√

2

−√ 2e⁻

√2(y−x)dy se x < −√

2 Rx

−√ 2e⁻

√

2(y−x)dy +R3√ 2 x e⁻

√

2(x−y)dy se −√

2 ≤ x ≤ 3√ 2 R3√

2

−√ 2e⁻

√2(x−y)dy se x > 3√

2

= − 1

√2









 e

√2xR3√ 2

−√ 2e⁻

√2y)dy se x < −√

2 e

√ 2xRx

−√ 2e⁻

√

2ydy + e⁻

√ 2xR3√

2

x e

√

2ydy se −√

2 ≤ x ≤ 3√ 2 e⁻

√2xR3√ 2

−√ 2e

√2ydy se x > 3√

2

=







1 2e

√ 2(x+√

2)(e⁻³− 1) se x < −√ 2

−¹₂e

√ 2(x+√

2)(1 + e⁽³⁻

√

2)) se −√

2 ≤ x ≤ 3√ 2

−¹₂e

√ 2(√

2−x)(e³ − e⁻¹) se x > 3√ 2

5. Calcolare le seguenti trasformate di Fourier F⁻¹

 e^−3ik 8 − 6ik − k²



, F⁻¹

 e^2ik k²− 4k + 7

 .

Soluzione:

F⁻¹n

e^−3ik 8−6ik−k²

o

= −¹₂e^2(x−3)(e^2(x−3)− 1)H(3 − x)

⇓ Propr. 2 con x₀ = 3 ⇑ F⁻¹ ₁

8−6ik−k²

= −¹₂e^2x(e^2x− 1)H(−x)

⇓ ⇑

F⁻¹n

1 (4−ik)(2−ik)

o

=

(0 se x ≥ 0

−¹₂(e^4x− e^2x) se x < 0

⇓ ⇑

h F⁻¹n

1 (4−ik)

oi

? h

F⁻¹n

1 (2−ik)

oi

= [e^4xH(−x)] ? [e^2xH(−x)]

Infatti il calcolo della convoluzione rende:

R∞

−∞e^4(x−y)H(y − x) [e^2yH(−y)] dy =R0

−∞e^4(x−y)H(y − x)e^2ydy

= e^4x

(0 se x ≥ 0

R0

x e^−2ydy se x < 0 = −¹₂

(0 se x ≥ 0

e^4x(1 − e^−2x) se x < 0

F⁻¹n

e^2ik k²−4k+7

o

= ¹

2√

3e^2i(x+2)e⁻

√ 3|x+2|

⇓ Propr. 2 con x₀ = −2 ⇑ F⁻¹ ₁

k²−4k+7

= ¹

2√

3e^2ixe⁻

√ 3|x|

⇓ ⇑

F⁻¹n

1 (k−2)²+3

o

= ¹₄F⁻¹ ₄

k²+4

= e^{2ix 1}

2√ 3e⁻

√3|x|

⇓ Propr. 3 con k₀ = 2 ⇑ F⁻¹ ₁

k²+3 = ¹

2√

3F⁻¹n

2√ 3 k²+3

o

= ¹

2√ 3e⁻

√ 3|x|