A. Teta APPUNTI DI MECCANICA RAZIONALE Sistemi unidimensionali a.a. 2007/08

A. Teta

APPUNTI DI MECCANICA RAZIONALE Sistemi unidimensionali

a.a. 2007/08

1

INDICE

1. Introduzione pag. 3

2. Conservazione dell’energia e riduzione alle quadrature 4

3. Moti periodici 6

4. Moti asintotici 10

5. Equilibrio e stabilitá 13

6. Stime di periodo 15

7. Analisi qualitativa delle orbite nel piano delle fasi 21

1. Introduzione

Consideriamo un punto materiale di massa m che si muove sotto l’azione di una forza f diretta lungo una retta γ e dipendente solo dalla posizione del punto materiale su γ. Fissato l’asse delle x lungo γ, l’equazione del moto lungo gli assi y, z è banale (cioè m¨ y = m¨ z = 0) mentre quella lungo l’asse x si scrive:

m¨ x = f (x) (1.1)

Supponiamo per semplicità f ∈ C

, cosicché vale il teorema di esistenza e di unicità locale della soluzione t → x(t) di (1.1) per ogni scelta dei dati iniziali

x(0) = x

, ˙x(0) = v

x

, v

∈ R (1.2)

Vogliamo allora studiare il moto lungo l’asse x descritto dalla (1.1). In alcuni casi semplici

(per es. f(x) = −kx, k > 0) la soluzione di (1.1) si trova esplicitamente per ogni scelta dei

dati iniziali. Tuttavia nella maggioranza dei casi non è possibile trovare la soluzione esplicita

ed è quindi importante elaborare dei metodi per studiare alcune delle proprietà delle soluzioni

di (1.1) senza conoscerne la forma esplicita. È questo l’argomento della cosiddetta “analisi

qualitativa” delle soluzioni. Esempi di proprietà interessanti delle soluzioni che studieremo

sono: l’esistenza e la stabilità degli equilibri, l’esistenza di soluzioni periodiche, il periodo di

una soluzione periodica, etc. . .

2. Conservazione dell’energia e riduzione alle quadrature

Sia V una primitiva della forza f cambiata di segno, cioè una funzione di classe C

tale che

V

(x) = −f(x) (2.1)

La funzione V si dice energia potenziale o semplicemente potenziale associato alla forza f. È evidente che, data f, il potenziale V è definito a meno di una costante arbitraria che non ha alcun significato fisico. Nelle applicazioni tale costante viene fissata imponendo che il potenziale V si annulli all’infinito oppure in qualche punto di riferimento x

, scelto in modo da semplificare i calcoli.

L’equazione (1.1) si riscrive

m¨ x = −V

(x) (2.2)

Definiamo energia associata all’equazione (2.2) la funzione E(x, ˙x) = 1

2 m ˙x

+ V (x) (2.3)

Proposizione 2.1. L’energia E(x, ˙x) è un integrale primo (o costante del moto) di (2.2).

Dimostrazione. Sia t → x(t) una soluzione di (2.2). Allora d

dt E(x(t), ˙x(t)) = ∂

∂x E(x(t), ˙x(t)) ˙x(t) + ∂

∂ ˙x E(x(t), ˙x(t))¨x(t) =

= V

(x(t)) ˙x(t) + m ˙x(t)¨ x(t) = 0 (2.4) X Come vedremo, la conservazione dell’energia è l’ingrediente fondamentale per lo studio delle soluzioni di (2.2). Se (x

, v

) è un dato iniziale, indichiamo con E il valore corrispondente dell’energia, cioè E = E(x

, v

).

Osserviamo innanzitutto che dalla conservazione dell’energia risulta che i punti x ∈ R accessibili al moto sono quelli per cui V (x) ≤ E. In particolare i punti x ∈ R per cui V (x) = E corrispondono ad una velocità nulla e si dicono quindi punti di arresto o di inversione del moto.

Inoltre dalla (2.3), per ogni soluzione t → x(t) di (2.2) si ha:

˙x(t) = ± r 2

m (E − V (x)) (2.5)

Se accade che il potenziale V è limitato dal basso, cioè esiste una costante positiva B tale che per ogni x ∈ R

V (x) ≥ −B (2.6)

allora da (2.5) si ha

|x(t)| ≤ |x

| + Z

0

ds r 2

m (E − V (x(s)) ≤ |x

| + t r 2

m (E + B) (2.7)

Dalla stima (2.7) risulta allora che comunque si fissa T > 0, la soluzione di (2.2) esiste per ogni tempo t ≤ T , si ha cioè esistenza globale della soluzione.

Vediamo ora come dalla (2.5) si può ridurre il moto alle quadrature (si dice che il moto è ridotto alle quadrature se il calcolo di t → x(t) si riduce al calcolo di un integrale definito di una funzione nota).

Il primo passo è fissare il segno nella (2.5), dove naturalmente il + corrisponde ad un moto progressivo ed il − ad un moto retrogrado.

Consideriamo prima il caso in cui v

> 0. Siccome ˙x(t) è una funzione continua, allora per tempi piccoli sarà ˙x(t) > 0 e quindi nella (2.5) si sceglie il segno +. Tale scelta si mantiene fino al primo istante in cui la velocità si annulla.

Se si ha v

< 0, in maniera analoga si sceglie il segno − nella (2.5) fino al primo istante in cui la velocità si annulla. Nel caso in cui risulti v

= 0 occorre controllare il segno dela forza f. Se f (x

)>0, allora ¨x(0) > 0 e quindi ˙x(t) è crescente per tempi piccoli. Ne segue che ˙x(t) è positiva per tempi piccoli e nella (2.5) si sceglie il segno +. Se f (x

)<0, analogamente si sceglie il segno

−. Se infine abbiamo f (x

)=0 allora vuol dire che (x

,0) è una configurazione di equilibrio per (2.2) e quindi la soluzione è semplicemente x(t) = x

, ∀t > 0.

Con le considerazioni precedenti possiamo risolvere l’ambiguità di segno in (2.5) ed integrare l’equazione. Per fissare le idee, consideriamo v

> 0; si ha allora dalla (2.5)

t(x) = Z

x0

dx

q

m

(E − V (x

))

(2.8)

dove t(x) rappresenta il tempo impiegato dal punto materiale per andare da x

a x, con x tale che V (x) < E e x > x

. Siccome

dt

dx = 1

q

m

(E − V (x))

> 0 (2.9)

allora la (2.8) può essere invertita e la sua inversa t → x(t) è il moto richiesto fino al primo

istante in cui la velocità si annulla.

3. Moti periodici

In questo paragrafo analizzeremo sotto quali condizioni il moto unidimensionale risulta perio- dico e troveremo una formula per il periodo.

Ricordiamo che il moto t → x(t) si dice periodico se esiste T > 0 tale che

x(t + T ) = x(t) ∀t ≥ 0 (3.1)

Il più piccolo numero T > 0 per cui la (3.1) è soddisfatta si dice periodo del moto. Consideriamo come esempio un potenziale del tipo indicato in figura 1

Figura 1

Sia E il valore dell’energia fissato come in figura 1. Dal grafico risulta che l’equazione V (x) = E ammette tre soluzioni x

, x

, x

.

Se scegliamo la posizione iniziale x

∈ [x

, x

] allora il moto avviene nell’intervallo [x

, x

] ed inoltre la velocità sarà diversa da zero quando x(t) ∈ (x

, x

) e sarà nulla se x(t) = x

Si osservi che dalla figura risulta V

(x

) < 0, V

(x

) > 0 cosicché la forza f è diretta lungo le x positive per x = x

e lungo le x negative per x = x

.

In queste condizioni è ragionevole aspettarsi che un moto che parte da x

, per esempio con velocità positiva, raggiunga il punto x

con velocità nulla (punto di invesione) e da qui riparta con velocità negativa sotto l’azione della forza f (x

).

Quindi il moto raggiunge x

con velocità nulla e da qui riparte con velocità positiva sotto l’azione di f (x

) e così di seguito. In definitiva ci si aspetta un moto periodico che oscilla tra x

e x

. È precisamente questo il contenuto della seguente proposizione.

Proposizione 3.1. Si consideri il sistema unidimensionale m¨ x = −V

(x), con V ∈ C

, e sia

E un valore fissato dell’energia tale che l’equazione E=V(x) ammette due soluzioni x

< x

,

con V

(x

) 6= 0 e V(x)<E per ogni x ∈ (x

, x

).

Sia inoltre x

∈ (x

, x

) la posizione iniziale. Allora il moto corrispondente all’energia E ed alla posizione iniziale x

è periodico con periodo

T (E) = √ 2m

Z

x−

dx

pE − V (x

) (3.2)

Dimostrazione. Si noti innanzitutto che, come nell’esempio in figura 1, il moto avviene in [x

, x

], con x

unici punti di inversione. Inoltre V è decrescente in un intorno destro di x

e crescente in un intorno sinistro si x

, cosicché V

(x

) < 0 e V

(x

) > 0.

Consideriamo, per fissare le idee x(0) = x

∈ (x

, x

) e ˙x(0) = v

> 0 (gli altri casi si trattano analogamente). Si ha allora un moto progressivo descritto da

˙x(t) = r 2

m (E − V (x(t))) (3.3)

per t ∈ (0, t

), dove t

è il primo istante in cui il punto materiale raggiunge il punto di inversione x

.

Mostriamo allora che t

< ∞. Integrando l’equazione (3.3) si ha

t

= r m 2

Z

x0

dx

pE − V

(x) (3.4)

La funzione integranda nell’equazione (3.4) è regolare (di classe C

) in tutto l’intervallo di integrazione tranne nell’estremo x

, laddove il denominatore si annulla e si ha quindi una singolarità.

Facciamo allora vedere che si tratta di una singolarità integrabile. Fissiamo η > 0 sufficiente- mente piccolo in modo che risulti

V

(x) > 0 ∀x ∈ [x

− η, x

] (3.5)

e sviluppiamo V con la formula di Taylor al primo ordine in [x

− η, x

] e con punto iniziale x

V (x) = V (x

) + V

(ξ)(x − x

) x ∈ [x

− η, x

] (3.6) dove ξ è un punto interno all’intervallo (x

− η, x

). Sia inoltre

m

≡ min

x∈[x+−η,x+]

V

(x) > 0 (3.7) Naturalmente per ogni x ∈ [x

− η, x

] risulta

E − V (x) = V

(ξ)(x

− x) ≥ m

(x

− x) (3.8) cosicché

t

= r m 2

Z

dx

pE − V (x

) + r m 2

Z

x+−η

dx

pE − V (x

) ≤

≤ r m 2

Z

dx

pE − V (x

) + r m 2

Z

x+−η

dx

pm

(x

− x

) (3.9) Gli ultimi due integrali della (3.9) sono chiaramente finiti e quindi t

< ∞ e si può scrivere

x(t

) = x

˙x(t

) = 0 (3.10)

Siccome per ipotesi f(x

) < 0, sappiamo che a partire da t = t

inizia una fase di moto retrogrado descritto da

˙x(t) = − r 2

m (E − V (x(t))) (3.11)

per ogni t ∈ (t

, t

), dove t

è il primo istante in cui il punto materiale raggiungie il punto di inversione x

. Dalla (3.11) risulta ovviamente

t

− t

= − r m 2

Z

x+

dx

pE − V (x

) (3.12)

Procedendo come nel caso di t

, è facile mostrare che risulta t

< ∞ e si può scrivere

x(t

) = x

˙x(t

) = 0 (3.13)

Siccome per ipotesi f(x

) > 0, sappiamo che a partire da t = t

inizia una fase di moto progressivo descritto da

˙x(t) = r 2

m (E − V (x(t)) (3.14)

per ogni t ∈ (t

, t

), dove t

è il primo istante in cui il punto materiale raggiunge di nuovo il punto di inversione x

e così via. Quindi il punto materiale compie continue oscillazioni tra x

ed x

, raggiungendo tali punti con velocità nulla. Verifichiamo che si tratta di un moto periodico. Sia T ∈ (t

, t

) il primo istante in cui il punto raggiunge la posizione iniziale x

. Risulta ovviamente

x(T ) = x

˙x(T ) = v

(3.15)

Quindi per t = T la posizione e la velocità del moto t → x(t) coincidono con le condizioni iniziali soddisfatte per t=0. Per il teorema di unicità per le equazioni differenziali ordinarie risulta

x(t + T ) = x(t) ∀t ∈ [0, T ] (3.16)

Il discorso si ripete per t = 2T , per t = 3T e così via, quindi si può concludere che

x(t + T ) = x(t) ∀t ≥ 0 (3.17)

cioè il moto è periodico di periodo T , dove

T = r m 2

Z

x0

dx

pE − V (x

) − r m 2

Z

x+

dx

pE − V (x

) + r m 2

Z

x−

dx

pE − V (x

) =

= r m 2

Z

x−

dx

pE − V (x

) + r m 2

Z

x−

dx

pE − V (x

) (3.18)

La (3.18) è la formula cercata per il periodo e questo conclude la dimostrazione della proposi- zione.

X

Esercizio . Verificare che nel caso V (x) =

kx

(oscillatore armonico) si hanno moti periodici

per ogni valore positivo dell’energia e calcolare il periodo.

4. Moti asintotici

In questo paragrafo studieremo il caso in cui il valore dell’energia E è tale che l’equazione E = V (x) ha una soluzione ¯ x tale che V

(¯ x) = 0 = f (¯ x). In altri termini ¯ x è una posizione di equilibrio del sistema.

Faremo vedere che il moto di avvicinamento al punto di equilibrio diventa sempre più lento cosicché tale punto non viene mai raggiunto. Tali tipi di moto si dicono asintotici (oppure a meta asintotica).

Come esempio si consideri la figura 2, dove risulta asintotico il moto corrispondente all’energia E e posizione iniziale x

(si noti che V ha un punto di flesso in ¯x).

Figura 2

Proposizione 4.1. Si consideri il sistema unidimensionale m¨ x = −V

(x), con V ∈ C

, e sia E un valore fissato dell’energia tale che l’equazione E = V (x) ammetta una soluzione ¯ x, con V

(¯ x) = 0.

Sia (x

, v

) il dato iniziale tale che x

< x ¯ , V (x) < E, ∀x ∈ [x

, x) e v ¯

= + q

2

m

(E − V (x

)).

Supponiamo inoltre che esista η > 0 tale che V

(x) < 0 ∀x ∈ [¯x − η, ¯x). Allora il moto corrispondente è asintotico, cioè

x→¯

lim

t(x) = lim

x→¯x

r m 2

Z

dx

pE − V (x

) = ∞ (4.1)

Dimostrazione. È chiaro che siamo nel caso di un moto progressivo di avvicinamento al punto x, descritto da ¯

˙x(t) = r 2

m (E − V (x(t)) (4.2)

Inoltre t(x) nella (4.1) indica il tempo impiegato per andare da x

a ¯x, con x

< x. Sviluppiamo ¯ V con la formula di Taylor al secondo ordine in [¯x − η, ¯x], con punto iniziale ¯x

V (x) = V (¯ x) + 1

2 V

(ξ)(x − ¯x)

(4.3)

dove ξ è punto interno all’intervallo (¯x − η, ¯x). Sia inoltre k ≡ max

x∈[¯x−η,¯x]

|V

(x)| (4.4)

Naturalmente per ogni x ∈ [¯x − η, ¯x] risulta

E − V (x) = − 1

2 V

(ξ)(x − ¯x)

≤ k

2 (x − ¯x)

(4.5)

cosicché si ha

t(x) = r m 2

Z

dx

pE − V (x

) + r m 2

Z

¯ x−η

dx

pE − V (x

) ≥

≥ r m 2

Z

dx

pE − V (x

) + r m 2

Z

¯ x−η

dx

q

2

p(x

− ¯x)

(4.6)

Nella (4.6) l’integrale da x

a ¯x − η è chiaramente finito mentre l’ultimo integrale diverge quando x → ¯x e questo conclude la dimostrazione della proposizione.

X

Si osservi che in maniera analoga si studia il caso in cui il dato iniziale soddisfi x

> x, V (x) < E ¯

∀x ∈ (¯x, x

] e v

= − q

2

m

(E − V (x

)) ed inoltre V

(x) < 0 ∀x ∈ (¯x, ¯x + η].

Esercizio. Si consideri il caso V (θ) =

(1 − cos(θ)), θ ∈ (−π, π] (pendolo semplice) e si determinino i valori dell’energia per cui si hanno moti asintotici e quelli per cui si hanno moti periodici.

Esercizio. Si studi il caso V (x) = x

per E = 0.

5. Equilibrio e stabilità

Come è noto, una configurazione di equilibrio per un sistema meccanico è una configurazione in cui la velocità è nulla e la posizione è uno zero della forza. Quindi, se il sistema è posto in una configurazione di equilibrio a t = 0 allora vi rimane ∀t > 0. Consideriamo il sistema unidimensionale

m¨ x = −V

(x) (5.1)

che si riscrive equivalentemente come sistema del primo ordine nel piano posizione-velocità, detto piano delle fasi

 ˙x = v

˙v = −

(5.2) Definendo z ≡ (x, v) ∈ R

la (5.2) si può scrivere

˙z = F (z), F (z) ≡ F (x, v) =



v, − V

(x) m



(5.3) Dunque F è il campo vettoriale associato a (5.2). Per un fissato dato iniziale (x

, v

), indichiamo con (x(t; x

, v

), v(t; x

, v

)) la corrisponente soluzione di (5.2). Ricordiamo quindi le definizioni di equilibrio, di equilibrio stabile e di equilibrio asintoticamente stabile.

Definizione 5.1. Una configurazione di equilibrio per il sistema (5.2)(o equivalentemente per (5.1)) è la coppia (¯x, 0), tale che V

(¯ x) = 0.

Definizione 5.2. La configurazione di equilibrio (¯ x, 0) per il sistema (5.2) è stabile se ∀ǫ >

0 ∃δ(ǫ) > 0 tale che se (x

, v

) è un dato iniziale che soddisfa |x

− ¯x| + |v

| < δ(ǫ) allora

|x(t; x

, v

) − ¯x)| + |v(t; x

, v

)| < ǫ per ogni t ≥ 0.

Definizione 5.3. La configurazione di equilibrio stabile (¯ x, 0) per il sistema (5.2) si dice asintoticamente stabile se ∃ η > 0 tale che se |x

− ¯x| + |v

| < η allora

t→∞

lim |x(t; x

, v

) − ¯x| = lim

|v(t; x

, v

)| = 0 (5.4) La sfera di centro ¯ x e raggio η si dice bacino di attrazione.

Dal teorema di Lyapunov discende la seguente proposizione.

Proposizione 5.1. (Teorema di Lagrange-Dirichlet). Sia (¯ x, 0) di equilibrio per il sistema (5.2), con V ∈ C

, e sia inoltre ¯ x un punto di minimo stretto per V. Allora (¯ x, 0) è stabile.

Dimostrazione. Si consideri la funzione G(x, v) =

mv

+ V (x) − V (¯x). È immediatto verifi-

care che in un intorno di (¯x, 0) risulta G ≥ 0 e G(x, v) = 0 se e solo se (x, v) = (¯x, 0). Inoltre

per la conservazione dell’energia si ha

d

dt G(x(t), v(t)) = 0 (5.5)

Quindi G è una funzione di Lyapunov per il sistema (5.2) relativa alla configurazione (¯x, 0) e il teorema è provato.

X Osserviamo che una notevole proprietà dei sistemi meccanici conservativi è che non esistono equilibri asintoticamente stabili. Siano infatti E(x, v) l’energia di (5.2), (¯x, 0) un punto asinto- ticamente stabile per (5.2) e (x

, v

) tale che |x

− ¯x| + |v

| < η, dove η è il raggio del bacino di attrazione. Allora E(x

, v

) = E(x(t; x

, v

), v(t; x

, v

)). Passando questa eguaglianza al limite per t → ∞ si ha E(x

, v

) = E(¯x, 0). Quindi E(x, v) sarebbe costante nella palla di centro (¯x, 0) e raggio η ma questo è un assurdo.

La seguente proposizione fornisce un criterio sufficiente per l’instabilità.

Proposizione 5.2. Sia (¯ x, 0) di equilibrio per (5.2) e supponiamo che esista ε

> 0 tale che V

(x) < 0 per ogni x ∈ (¯x, ¯x + ε

] (oppure, equivalentemente tale che V

(x) > 0 per ogni x ∈ [¯x − ε

, x ¯ ). Allora (¯ x, 0) è instabile.

Dimostrazione. Sia ε

> 0 tale che V

(x) < 0 per x ∈ (¯x, ¯x + ε

]. È allora sufficiente mostrare che comunque piccolo si fissi δ > 0 esiste un dato iniziale (x

, v

), con |x

− ¯x| + |v

| < δ, ed un tempo t

< ∞ tali che risulti |x(t

) − ¯x| + |v(t

)| > ε

. Fissato δ, sia allora v

= 0 e x

tale che

|x

− ¯x| < δ e x

∈ (¯x, ¯x + ε

). Il moto corrispondente a queste condizioni iniziali è progressivo e procedendo come nella proposizione 3.1, si vede facilmente che il tempo t

per andare da x

a ¯x + ε

è finito. Questo vuol dire che |x(t

) − ¯x| + |v(t

)| > |x(t

) − ¯x| = ε

e questo prova l’instabiltità. Il caso in cui V

(x) > 0 per ogni x ∈ [¯x − ε

, x) si tratta analogamente e quindi ¯ la proposizione è provata.

X

6. Stime di periodo

Abbiamo visto, con la proposizione 3.1, sotto quali condizioni un moto unidimensionale è periodico e abbiamo ricavato una formula per il periodo T (E) (la (3.2)). Il calcolo esplicito del valore di T (E) non è in generale possibile ma si possono elaborare semplici metodi per fornire una stima inferiore e superiore. L’idea base si ricava dalla seguente proposizione.

Proposizione 6.1. Assumiamo le ipotesi della proposizione 3.1 e consideriamo V

, V

(non necessariamente continue) tali che

V

(x) ≤ V (x) ≤ V

(x) ≤ E ∀x ∈ [x

, x

] (6.1) Allora

√ 2m Z

x−

dx

pE − V

(x

) ≤ T (E) ≤ √ 2m

Z

x−

dx

pE − V

(x

) (6.2) La dimostrazione è lasciata come esercizio.

Osserviamo che la stima (6.2) è utile solo quando i due integrali in (6.2) sono calcolabili esplicitamente ed inoltre l’integrale contenente V

è finito. Nelle applicazioni quindi si scelgono generalmente per V

e V

tratti di rette o parabole. Un esempio di stima è fornito dalla seguente proposizione.

Proposizione 6.2. (Stima con il metodo delle parabole). Assumiamo le ipotesi della pro- posizione 3.1 e supponiamo inoltre che esista ¯ x ∈ (x

, x

) tale V

(¯ x) = 0 e V

(x) > 0 per ogni x ∈ [x

, x

]. Allora

π r m

B

+ r m B



≤ T (E) ≤ π r m

A

+ r m A



(6.3) dove

A

≡ min

x∈[¯x,x±]

V

(x) B

≡ max

x∈[¯x,x±]

V

(x)

Dimostrazione. Senza perdita di generalità poniamo ¯x = 0, V (0) = 0 e cominciamo con lo stimare l’integrale

T

(E) = √ 2m

Z

0

dx

pE − V (x) (6.4)

Definiamo le due parabole (si veda la figura 3 ) P

(x) = A

2 x

+ E − A

2 x

(6.5)

P

(x) = B

2 x

+ E − B

2 x

(6.6)

Figura 3

Entrambe la parabole passano per il punto (x

, E) ed hanno l’asse delle ordinate come asse di simmetria. Definiamo quindi la funzione

F ≡ P

− V (6.7)

Risulta

F (0) = E − A

2 x

> 0 F (x

) = 0 (6.8)

ed inoltre facendo uso dello sviluppo di Taylor al primo ordine di V

in [0, x

] si ha

F

(x) = P

(x) − V

(x) = A

x − (V

(0) + V

(ξ)x) = A

x − V

(ξ)x ≤ 0 (6.9) Quindi per ogni x ∈ [0, x

] si ottiene

F (x) = F (x

) + Z

x+

F

(z)dz = − Z

x

F

(z)dz ≥ 0 (6.10)

Possiamo allora concludere che

P

(x) ≥ V (x) ∀x ∈ [0, x

] (6.11) Analogamente si prova

P

(x) ≤ V (x) ∀x ∈ [0, x

] (6.12)

Dalla (6.11) e dalla (6.12) si ricava (cfr la proposizione 6.1)

√ 2m Z

0

dx

pE − P

(x) ≤ T

(E) ≤ √ 2m

Z

0

dx

pE − P

(x

) (6.13) Siccome

Z

0

dx

pE − P

(x) = Z

0

dx q

2

(x

− x

)

= s 2

A

Z

√ dz

1 − z

= π

√ 2A

(6.14)

e analogamente

Z

0

dx

pE − P

(x) = π

√ 2B

(6.15) otteniamo la stima di T

(E)

π r m

B

≤ T

(E) ≤ π r m

A

(6.16)

Per la stima dell’integrale

T

(E) = √ 2m

Z

dx

pE − V (x) (6.17)

si procede in maniera analoga e si ottiene

π

r m

B

≤ T

(E) ≤ π

r m

A

(6.18) Usando la (6.16) e la (6.18) si conclude la dimostrazione.

X Nel caso dell’oscillare armonico (cioè V (x) =

kx

) è noto che il moto è sempre periodioco di periodo T = 2πp

. D’altra parte se V è un generico potenziale che ha un minimo stretto in x = 0 allora il suo grafico vicino a x = 0 è vicino a quello dell’oscillatore armonico. Quindi è lecito aspettarsi che i moti che avvengono vicino a x = 0 siano periodici con periodo circa uguale a 2π q

V^′′(0)

. É questo il contenuto della seguente proposizione.

Proposizione 6.3. (Piccole oscillazioni-Galileo). Si consideri il sistema unidimensionale m¨ x = −V

(x), con V ∈ C

, V (0) = V

(0) = 0, V

(0) > 0. Allora esiste E

> 0 tale che per ogni E ≤ E

il moto di energia E è periodico e

E→0

lim T (E) = 2π

r m

V

(0) (6.19)

Dimostrazione. Per la continuità di V

, sappiamo che esiste δ > 0 tale che V

(x) > 0 per ogni x ∈ (−δ, δ). Inoltre

V

(x) = V

(0) + Z

0

V

(z)dz = Z

0

V

(z)dz (6.20)

quindi V

(x) > 0 per ogni x ∈ (0, δ) e V

(x) < 0 per ogni x ∈ (−δ, 0). Analogamente V (x) = V (0) +

Z

V

(z)dz = Z

0

V

(z)dz (6.21)

quindi V (x) > 0 per ogni x ∈ (0, δ) e per ogni x ∈ (−δ, 0).

L’andamento qualitativo di V nell’intorno di x = 0 è mostrato in figura 4.

Figura 4

Nell’intervallo (0, δ) la funzione V è strettamente crescente (quindi invertibile) e assume tutti i valori da 0 a V (δ). Quindi per ogni E ∈ (0, V (δ)) esiste un unico x

∈ (0, δ) tale che E = V (x

).

Analogamente per ogni E ∈ (0, V (−δ)) esiste un unico x

∈ (−δ, 0) tale che E = V (x

).

Sia E

≡ min {V (−δ), V (δ)}; allora per ogni E ∈ (0, E

) ci sono esattamente due soluzioni

x

∈ (−δ, δ) dell’equazione E = V (x). Per la proposizione 3.1 il moto è dunque periodico se scegliamo E ≤ E

e x

∈ (x

, x

). Se T (E) denota il periodo, per la proposizione (6.2) si ha la stima (6.3) e passando al limite per E → 0 si ha la tesi.

X

Esercizio. Studiare il periodo T (E) del moto con il potenziale V (x) =

nel limite E → 0 e

E → ∞.

7. Analisi qualitativa delle orbite nel piano delle fasi

Un’interessante descrizione qualitativa del moto di un sistema unidimensionale si ottiene stu- diando le cosiddette curve di livello dell’energia nel piano delle fasi. Fissato un valore E ammissibile per l’energia, la corrispondente curva di livello è definita da

Γ

=



(x, ˙x) ∈ R | 1

2 m ˙x

+ V (x) = E



(7.1) Osserviamo che

a) Per la conservazione dell’energia ogni soluzione o orbita (x(t), ˙x(t)), corrispondente ad un certo dato iniziale (x

, ˙x

), giace sulla curva di livello Γ

, dove E

=

m ˙x

+ V (x

). D’altra parte ogni curva di livello può contenere più di un’orbita.

b) Le curve di livello sono simmetriche rispetto all’asse x.

c) Le curve di livello sono regolari tranne che nei punti di equilibrio del sistema. Infatti dall’equazione della curva di livello in forma implicita

G(x, ˙x) = 1

2 m ˙x

+ V (x) − E = 0 (7.2)

si ricava che i punti singolari sono quelli per cui

∂G

∂x = ∂G

∂ ˙x = 0 (7.3)

D’altra parte

= V

(x) e

= m ˙x e quindi i punti singolari coincidono con gli equilibri.

d) Ogni tratto di orbita è percorso in senso orario.

e) Un punto del piano delle fasi non può appartenere a due orbite distinte (per il teorema di unicità della soluzione di un’equazione differenziale ordinaria).

f) Due curve di livello Γ

, Γ

diffeomorfe sono qualitativamente equivalenti se il numero e le caratteristiche delle orbite contenute in esse sono uguali. Nascono invece differenze qualitative quando il valore dell’energia coincide con il valore del potenziale in un punto critico.

Si supponga allora assegnato un potenziale V ∈ C

e il sistema m¨x = −V

(x). Per analizzare qualitativamente le orbite si può procedere nel seguente modo.

(1) Si studia e si disegna il grafico del potenziale V determinando in particolare i punti critici x

di V .

(2) Si considerano i valori qualitativamente significativi dell’energia, cioè i valori E tali che E = V (x

) e quelli per cui V (x

) < E < V (x

); si disegnano quindi con le linee tratteggiate le rette y = E;

(3) Per ciascun valore significativo dell’energia si disegna la corrispondente curva di livel-

lo nel piano delle fasi (x, ˙x) e si classificano tutte le orbite su di essa contenute. In

particolare per ciascuna orbita va specificato se è:

• una posizione di equilibrio, stabile o instabile; una tale orbita è rappresentata da un punto sull’asse x;

• un’orbita periodica, indicando i relativi punti di inversione ed il periodo; si osservi che un’orbita periodica è rappresentata da una curva chiusa e regolare;

• un’orbita a meta asintotica verso un equilibrio instabile ¯x (separatrice), calcolan- do l’equazione delle tangenti nel punto instabile; si ossevi che un’orbita a meta asintotica è sempre una curva aperta limitata o non limitata;

• un orbita aperta e non limitata per t → ±∞, cioè tale che |x(t)| → ∞ per t → ±∞;

nel caso di orbite non limitate va calcolata la velocità limite (se esiste).

Per esemplificare quanto abbiamo detto consideriamo il caso del potenziale V (x) = −2x

+ x

, il cui grafico ha l’andamento mostrato in figura 5.

Figura 5

I livelli di energia qualitativamente interessanti sono in questo caso i valori E

, i=1,. . . ,4, con E

= −1, −1 < E

< 0, E

= 0 ed E

> 0. Discutiamo i vari casi separatamente.

E = E

L’energia corrisponde al valore del potenziale in due punti di minimo stretto x

=

−1, x

= 1. La curva di livello contiene quindi due orbite che coincidono con le

corrispondenti configurazioni di equilibrio stabile (vedi figura 6) Γ

= (−1, 0), (1, 0)

Figura 6

E = E

In questo caso siamo nelle ipotesi della proposizione 3.1 e quindi si hanno due possibili moti periodici intorno ai punti x

e x

. I punti di inversione dei due moti x

, i=3,4,5,6 si trovano risolvendo l’equazione E

= V (x) e il periodo dei due moti può essere stimato.

La curva di livello contiene quindi due orbite γ

e γ

; tali orbite sono curve chiuse e regolari contenenti i punti (-1,0) e (1,0) rispettivamente (figura 7)

Γ

= γ

∪ γ

Figura 7

E = E

Il valore dell’energia coincide con il valore del punto di massimo x = 0, corrispondente ad una posizione di equilibrio instabile. Per la proposizione 4.1 si hanno anche due moti asintotici di avvicinamento alla posizione di equilibrio e con due punti di inversione x

= − √

2 e x

= − √

2. Quindi la curva di livello contiene tre orbite di cui una è la configurazione di equilibrio instabile (0,0) e due sono orbite asintotiche γ

e γ

, che sono due curve limitate e aperte. Tale curva di livello contenente un equilibrio instabile si dice separatrice. In forma esplicita, la separatrice è costituita dai due rami

˙x = ± √

4x

− 2x

. Sviluppando al primo ordine nell’intorno di x = 0 si trova ˙x = ±4x, che sono le equazioni delle tangenti alla separatrice nel punto di equilibrio instabile. In definitiva si ha (figura 8)

Γ

= (0, 0) ∪ γ

∪ γ

Figura 8

E = E

Per questo valore delll’energia siamo di nuovo nelle ipotesi della proposizione 3.1 e quindi si ha un moto periodico con punti di inversione x

e x

, soluzioni di E

= V (x), e periodo che può essere stimato. La curva di livello contiene quindi una sola orbita γ

; tale orbita è una curva chiusa e regolare (figura 9)

Figura 9