Prof. Francesco Ragusa

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Prof. Francesco Ragusa

Università degli Studi di Milano

Anno Accademico 2020/2021

Elettromagnetismo

Acceleratori di particelle

Formulazione covariante dell'elettrodinamica Tensore campo elettromagnetico

Equazioni di Maxwell in forma covariante

Lezione n. 45 – 03.06.2021

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Acceleratori Circolari

• Anello con alto vuoto ( Beam Pipe)

• Un campo magnetico perpendicolare al disegno confina le particelle in una orbita circolare

• Le particelle sono preaccelerate da un acceleratore lineare (LINAC)

• Vengono iniettate nell’anello dell’accelera- tore:

• Il campo magnetico viene regolato in modo che

p = 0.3 B⋅R

• Le particelle seguono un’orbita circolare

• Una cavità accelera le particelle ad ogni attraversamento

• Il campo magnetico aumenta in fase con l’aumento di energia: sincrotrone

• Oltre ad aumentare l'energia della

particella la cavità compensa l’energia che la stessa perde per radiazione

• Essenziale per accelerare elettroni

• Per raggiungere energie molto elevate si utilizzano molte cavità

acceleratore lineare

cavità acceleratrici

dipoli magnetici

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Cavità acceleratrici

• Una delle caratteristiche importanti di una cavità è l'energia che trasferisce ad una particella carica che la attraversa

• Il "gradiente" della cavità

dE/dx

misurato usualmente in

MeV/m

• Per le cavità superconduttrici di LEP si ha

dE/dx ≈ 5 MeV/m

• Valori massimi oggi dell'ordine di

50 MeV/m

• Troviamo una importante relazione fra il gradiente

dE/dx

e la forza

dp/dt

• Per una particella relativistica

• Inoltre

• Dalle relazioni trovate possiamo ricavare

• Calcoliamo esplicitamente

dp/dt = d(mγv)/dt

• Preliminarmente calcoliamo

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Formula di Larmor

• Calcoliamo adesso

dp/dt

• Riscriviamo la formula di Larmor che abbiamo trovato nel caso di

v || a

• Caso importante per gli acceleratori lineari

• Possiamo adesso confrontare

• La potenza irraggiata

P

• La potenza assorbita dalla cavita

dE/dt

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Acceleratore lineare

• Ricordiamo che

• Calcoliamo il rapporto k

• Introduciamo il raggio classico dell'elettrone

• Abbiamo

• Introducendo

r

_e

= 2.82⋅10

⁻¹⁵

m, m

_e

c

²

= 0.5 MeV, dE/dx = 50 MeV/m

• In un acceleratore lineare l'energia perduta per radiazione è trascurabile rispetto a quella guadagnata dalla cavità

per particelle relativistiche

β ≈ 1

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Acceleratore circolare ad accumulazione

• Acceleratore circolare ad accumulazione: Storage Ring

• Supponiamo che la particella sia stata accelerata fino all'energia

E = mc

²

γ

• Assumiamo che per arrivare all'energia E non ci sia un problema di potenza

• Mentre la particelle percorre l'orbita il modulo della velocità non cambia

• La direzione della velocità cambia continuamente

• La particella emette radiazione (tanta)

• Dopo l'accelerazione lo scopo della cavità è mantenere costante l'energia

• Calcoliamo l'energia irraggiata

• La formula di Larmor per

v

e

a

perpendicolari

• L'accelerazione centripeta e l'energia sono

• La potenza irradiata aumenta con la quarta potenza dell'energia

E

• La potenza irradiata diminuisce con l'inverso del quadrato del raggio

R

• A parità di

R

e

E

gli elettroni immagazzinati nello Storage Ring irraggiano molto di più dei protoni

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Acceleratore circolare

• Quanta energia viene irraggiata ?

• Il tempo necessario per percorrere l'orbita è

• L'energia irraggiata in un'orbita è

• Calcoliamo nei seguenti casi

( β ≈ 1, R = 4.3 Km)

• Fascio di elettroni da

100 GeV

(LEP 2):

γ = 2. 10

⁵

• Fascio di protoni da

100 GeV

(confronto):

γ = 1. 10

²

• Fascio di protoni da

6.5 TeV

(LHC):

γ = 7. 10

³

• Per convertire in

eV

occorre dividere per il valore numerico di

e = 1.6⋅10

⁻¹⁹

• Si ottengono i seguenti risultati

• Elettroni da

100 GeV

(LEP 2):

γ = 2. 10

⁵

ΔE = 2.2⋅10

³

MeV

• Protoni da

100 GeV

(confronto):

γ = 1. 10

²

ΔE = 1.4⋅10

^-4

eV

• Protoni da

6.5 TeV

(LHC):

γ = 7. 10

³

ΔE = 3.4 MeV

• Questo spiega perché il raggio di LEP è così grande

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Formulazione covariante dell'elettrodinamica

• Riscriveremo adesso le leggi dell'elettrodinamica utilizzando una formulazione covariante

• Per approfondimenti si può consultare il testo

• Nolting W. - Theoretical Physics 4 - Special Theory of Relativity - Springer 2017

• Attenzione

• Abbiamo già notato che il testo di Griffiths utilizza una convenzione dei segni lievemente differente

• Il tensore F^μν definito nella diapositiva ha i segni opposti a quelli utilizzati da Griffiths

• In questa parte del corso continuiamo a utilizzare la stessa convenzione

• La convenzione oggi più utilizzata è quella vista nelle diapositive seguenti 1941219

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Operatore di derivazione

• Consideriamo le quattro operazioni di derivazione

• Possiamo riscriverle in funzione delle componenti x^μ (x⁰ = ct)

• Le 4 derivate si trasformano come le componenti di un 4-vettore covariante

• Per dimostrarlo consideriamo innanzitutto un sistema inerziale S′ in moto rispetto al sistema inerziale S in cui le coordinate sono x^μ

• Ricaviamo l’espressione di x in funzione di x'

• Pertanto

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Operatore di derivazione

• Calcoliamo la forma dell'operatore derivazione nel sistema inerziale S′

• Si ha ovviamente

• La derivata di x^α si calcola immediatamente

• Otteniamo pertanto

• Introduciamo una notazione più semplice

• Analogamente definiamo le componenti contravarianti Si trasforma in

modo covariante

contravariante

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Operatore di d’Alembert

• Introduciamo l’operatore di D’Alembert (o d’Alembertiano)

• È un operatore scalare

• È il prodotto scalare di un 4-vettore con se stesso

• Ha la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento

• In forma esplicita

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Equazione di continuità

• Abbiamo visto che la carica elettrica è un'invariante relativistico ( e seg.)

• Abbiamo anche visto che la densità di carica ρ non è un invariante

• Anche la densità di corrente non è definita in modo covariante

• Consideriamo un sistema di riferimento S in cui abbiamo una densità di carica elettrica ρ a riposo

• La carica contenuta in un volume dV è

• In un sistema inerziale S′ in moto rispetto a S avremo

• Sappiamo che l'invarianza della carica richiede che

• Nel sistema inerziale S′ in cui le cariche sono in movimento avremo pertanto 137825

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Equazione di continuità

• L'evidente somiglianza con la definizione di quadri-velocità o di

quadri-momento suggerisce che ρ e J siano le componenti di un 4-vettore

• Alternativamente

• Utilizzando le espressioni covarianti introdotte possiamo esprimere in modo covariante anche l'equazione di continuità

quadri-divergenza nulla

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Potenziale vettore A ^μ

• Abbiamo visto che anche i potenziali obbediscono all'equazione non omogenea dell'onda (vedi diapositiva )

• Elaboriamo la seconda equazione

• Utilizziamo l'operatore di d'Alembert e introduciamo J^μ

• Queste equazioni suggeriscono che anche

φ

e

A

siano le componenti di un quadri-vettore

4681094

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Potenziale vettore A ^μ

• Per finire esprimiamo in forma covariante il gauge di Lorentz

• Ricordiamo la formula della condizione (vedi diapositiva )

• Elaboriamo

• In definitiva

• Ancora una volta una condizione sulla quadri-divergenza 4621086

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Il tensore campo elettromagnetico

• Ricordiamo la relazione fra i campi

E

e

B

e i potenziali (vedi diapositiva )

• Scriviamo esplicitamente le componenti di

B

• Cambiano gli indici delle componenti

(x → x

¹

, y → x

²

, z → x

³

)

• In forma più sintetica

(∂/∂x

^k

= ∂

_k

= −∂

^k

, k = 1,2,3)

4581084

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Il tensore campo elettromagnetico

• Veniamo al campo elettrico

• Cambiamo gli indici (x → x¹, y → x², z → x³, ct = x⁰)

• In una forma più sintetica (∂/∂x⁰ = ∂₀ = ∂⁰, ∂/∂x^k = ∂_k = −∂^k, k = 1,2,3)

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Il tensore campo elettromagnetico

• Riassumendo

• Introduciamo il tensore campo elettromagnetico

• Una sorta di "rotore" quadri-dimensionale

• La quantità

F

^μν

F

_μν è un invariante relativistico (vedi diapositiva )

• Ha lo stesso valore in tutti i sistemi inerziali

• È facile verificare che

• Ovviamente, anche il segno di F^μνF_μν è invariante

• Non è possibile che un campo elettrostatico puro sia trasformato in un campo magnetostatico puro attraverso un cambio di sistema inerziale

1901669

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Il tensore campo elettromagnetico

• È possibile e utile definire un altro tensore , il tensore duale di F^μν

• Per la definizione si utilizza il tensore

ε

^μνρσ di Levi Civita

• Un tensore totalmente anti-simmetrico a 4 indici

• Il tensore duale è definito come

• È ottenuto da F^μν con la sostituzione

• Si può costruire un secondo invariante

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Il tensore campo elettromagnetico

• Osservazioni (vedi diapositiva )

• Per un campo elettrostatico o magnetostatico puro

• Il primo invariante è positivo o negativo rispettivamente

• Il secondo invariante è nullo

• Il passaggio ad un altro sistema inerziale può fare comparire un altro campo

• Perpendicolare all'altro

• I moduli dei campi devono mantenere il segno del primo invariante

• Per i campi di un'onda elettromagnetica i due invarianti sono nulli

• I moduli dei campi

E

_e

B

sono sempre nella relazione

E = cB

_{in ogni}

sistema inerziale

• I campi

E

_e

B

sono ortogonali in tutti i sistemi inerziali 1901669

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Equazioni di Maxwell

• Le equazioni di Maxwell possono essere riformulate attraverso un formalismo covariante che utilizzi il tensore F^μν

• Iniziamo con le due equazioni non omogenee (vedi diapositiva )

• Possono essere riscritte come

• Osserviamo che nel secondo membro delle due equazioni sono presenti le componenti del quadri-vettore densità di corrente

• Deve essere possibile riscrivere il primo membro in modo che sia evidente che si tratta delle componenti di un quadrivettore

2811241

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Equazioni di Maxwell

• Consideriamo la prima equazione

• Elaboriamo il primo membro

• In definitiva

• Consideriamo la seconda equazione

• Consideriamo la componente x

• Analogamente per le altre componenti

• Otteniamo infine

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Equazioni di Maxwell

• Consideriamo adesso le equazioni omogenee (vedi diapositiva )

• Queste due equazioni ci hanno permesso di introdurre i potenziali

• La divergenza di un rotore è nulla

• Il rotore di un gradiente è nullo

• L'introduzione dei potenziali rende

automatico il rispetto delle due equazioni

• In totale si tratta di quattro equazioni

• Analizziamo la prima equazione

• Analogamente, per la componente x della seconda equazione 2811241

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Equazioni di Maxwell

• Per le restanti due componenti si trova

• Ricordiamo le prime due

• Le quattro equazioni possono essere sintetizzate in

• In questa equazione gli indici αβγ

• Sono una scelta senza ripetizione di 3 di (0,1,2,3)

• Quattro possibilità: (0,1,2) (0,1,3) (0,2,3) (1,2,3)

• I tre termini dell'equazione hanno permutazioni cicliche di αβγ

• Una forma equivalente ma più compatta è

• Può essere formulata utilizzando il tensore duale

• L'equazione diventa

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Equazioni di Maxwell

• L'equazione omogenea implica che il tensore F^μν sia derivabile dal potenziale A^μ

• Applicando l'equazione al tensore F^μν espresso con il potenziale A^μ

• Sono considerazioni analoghe a quelle che hanno condotto all'introduzione dei potenziale nella formulazione non covariante

• Scrivere il tensore F^μν nella forma data assicura che le equazioni di Maxwell omogenee siano soddisfatte sempre

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