Esercizi di Algebra Lineare Proiezioni e simmetrie

Esercizi di Algebra Lineare Proiezioni e simmetrie

Anna M. Bigatti 15 ottobre 2012

Esercizio 1. (*) Siano dati il piano π : x − y − z − 1 = 0 e la retta r : (t, t, t − 3) . (a) trovare la proiezione di r su π

(b) trovare la retta simmetrica di r rispetto a π

Esercizio 2. (*) Trovare il simmetrico del piano π : 2x − y = 0 rispetto al piano π⁰ : 2x − 3z = 1 .

Esercizio 3. Determinare i punti simmetrici del punto A(3, 0, 1) rispetto ai piani coordinati e agli assi coordinati.

Esercizio 4. Determinare la retta simmetrica di r : (2t, t, −t) rispetto al piano π : x+3y +z = 0 .

Esercizio 5. Determinare la proiezione ortogonale della retta r : (t, 2t, 3) sul piano x + z = 0 . Esercizio 6. Determinare il piano simmetrico del piano x = 1 rispetto al punto (1, 0, −2) . Esercizio 7. Dati i punti A(1, 2, 3) e B(4, 5, 6) , trovare un’equazione del piano π tale che B sia il simmetrico di A rispetto a π .

1

Soluzioni di alcuni esercizi

Esercizio 1: Soluzione

(a) Prima di tutto controllo se r giace su π o `e perpendicolare a π (altrimenti l’esercizio sarebbe banale):

Use QQ[x,y,z, t,s, a,b,c];

Vr := [1,1,1];

Vpi := [1,-1,-1];

-- non sono ortogonali, non sono paralleli

Il piano per r e perpendicolare a π determina la proiezione di r su π : scrivo r in forma cartesiana e poi il fascio di piani per r :

R1 := x-y;

R2 := x-z-3;

Fascio := t*R1 + s*R2; Fascio; -- x*t -y*t +x*s -z*s -3*s Impongo l’ortogonalit`a a π

ScalarProduct(Vpi, [t+s,-t,-s]); -- 2t+2s Subst(Fascio, [[t,1],[s,-1]]); -- -y +z +3

Quindi per t = 1, s = −1 ottengo π⁰ : −y + z + 3 = 0 ortogonale a π .

Verifica: r su π⁰: −t + (t − 3) + 3 = 0 vero; π⁰⊥ π : (0, −1, 1)(1, −1, −1) = 0 vero.

Conclusione: r⁰ :

 x − y − z − 1 = 0

−y + z + 3 = 0 `e la proiezione ortogonale di r su π . (b) Cerco P l’intersezione di r e π

R := [t,t,t-3];

ScalarProduct(Vpi, R) -1; -- -t +2

P := Subst(R, [[t,2]]); P;-- [2, 2, -1] r inters pi

Cerco un punto Q su r non appartenente a π e ne calcolo il simmetrico Q⁰ Q := Subst(R, [[t,0]]); Q; -- [0,0,-3] Q punto su r

R1 := t*Vpi + Q; R1; -- [t, -t, -t -3] retta per Q perp a pi ScalarProduct(Vpi, R1) -1; -- 3*t +2

H := Subst(R1, [[t,-2/3]]); H;-- [-2/3, 2/3, -7/3] proiezione di Q su pi -- verifico H su pi

ScalarProduct(Vpi, H) -1; -- 0 ==> vero

Q1 := 2*H-Q; Q1; -- [-4/3, 4/3, -5/3] simmetrico di Q risp a pi -- verifico Q1-Q perp a pi

Q1-Q; -- [-4/3, 4/3, 4/3] parallelo a [1, -1, -1]

-- verifico H punto medio Q1-H = H-Q; -- true

La retta simmetrica di r rispetto a π `e la retta passante per Q⁰ e P

2

Vs := P-Q1; Vs; -- [10/3, 2/3, 2/3]

Rs := t*Vs + P; Rs; -- [(10/3)*t +2, (2/3)*t +2, (2/3)*t -1]

-- verifico

Q - P; -- [-2, -2, -2] -2*Vr

somma := (Q-P) + (Q1-P); somma; -- [16/3, 8/3, 8/3]

ScalarProduct(somma, Vpi); --> 0 quindi la somma e’ parallela a pi Conclusione: La retta s : (¹⁰₃t + 2,²₃t + 2,²₃t − 1) `e la simmetrica di r rispetto a π .

u t Esercizio 1: Soluzione

I piani π e π⁰ hanno vettori direzionali (2, 1, 0) e (2, 0, −3) , quindi non sono paralleli: chiamo r la loro intersezione.

Il fascio di piani passanti per r `e Φ_r: l’insieme dei piani di equazioni λ · (2x − y) + µ · (2x − 3z − 1) = 0 , al variare di λ e µ in R .

Il simmetrico di π rispetto a π⁰ passa per r e quindi appartiene al fascio. Cerchiamo un suo punto (che non appartenga a r ) per poterlo determinare. Il punto A(0, 0, 1) ∈ π e A 6∈ r : calcoliamo il suo simmetrico A⁰⁰ rispetto a π⁰.

Use QQ[x,y,z, t,s, a,b,c];

A := [0, 0, 1]; -- punto su pi, non su r V := [2, 1, 0]; -- vett ortogonale a pi V1 := [2, 0, -3]; -- vett ortogonale a pi’

Q := t*V1 + A; Q; -- punto generico sulla retta per A perp. a pi --> [2*t, 0, -3*t +1]

-- impongo appartenenza a pi’ : 2x - 3z = 1 ScalarProduct(V1,Q) -1; -- (2,3,0)(Q-O) -1 = 0 --> 13*t -4

H := Subst(Q, [[t,4/13]]); H; --> [8/13, 0, 1/13] pr.ort. di A su pi’

A2 := 2*H - A; A2; --> [16/13, 0, -11/13] simmetrico di A rispetto a pi’

-- verifico A2-A perp a pi’

A2-A; -- [16/13, 0, -24/13] e’ multiplo di [2, 0, -3] ==> vero -- verifico H punto medio

A2-H = H-A; -- true

Per concludere basta trovare il piano del fascio passante per A⁰⁰ Fascio := t*(2*x - y) + s*(2*x - 3*z - 1); Fascio;

--> 2*x*t -y*t +2*x*s -3*z*s -s -- impongo il passaggio per A’’

Subst(Fascio, [[x,A2[1]], [y,A2[2]], [z,A2[3]]]);

--> (32/13)*t +4*s = 0 --> soddisfatta per t=13, s=4 Subst(Fascio, [[t,13], [s,-8]]);

--> 10*x -13*y +24*z +8

-- verifico l’uguaglianza dei quadrati coseni degli angoli V2 := [10, -13, 24];

ScalarProduct(V,V1)^2 / (ScalarProduct(V,V)*ScalarProduct(V1,V1)); -- 16/65 ScalarProduct(V2,V1)^2 / (ScalarProduct(V2,V2)*ScalarProduct(V1,V1)); -- 16/65 Conclusione: il piano di equazione π⁰⁰ : 10 ∗ x − 13 ∗ y + 24 ∗ z + 8 = 0 `e il simmetrico di π

rispetto a π⁰. ut

3