Metodi e Modelli Matematici di Probabilit` a per la Gestione
Prova scritta – 13/01/2010
Esercizio 1. Questo esercizio esamina ci`o che avviene in un piccolo supermercato.
i) Durante una generica mattinata (sabato escluso) il numero medio di persone che entra ogni ora `e 30. Partendo da questo dato, ragionando il pi`u rigorosamente possibile, calcolare la probabilit`a che nell’arco di 3 minuti entrino due o pi`u persone.
ii) Di mattina il supermercato tiene due casse aperte, con un’unica coda.
Ogni cassa ha un tempo medio di servizio di tre minuti. Calcolare la proba- bilit`a che entrambe le casse siano occupate.
iii) Di pomeriggio l’afflusso di clienti `e superiore, uno al minuto. Per far fronte a questo si tengono aperte quattro casse. Tre di esse servono una persona ogni tre minuti. La quarta `e pi`u veloce, serve una persona ogni due minuti. Ogni cliente che al suo arrivo trova pi`u di una cassa vuota, sceglie una cassa a caso. Disegnare il grafo della catena di Markov, con i tassi di transizione, spiegando il ragionamento svolto nel calcolo dei tassi meno banali. Illustrare qual’era la soluzione alternativa pi`u banale e spiegare con precisione perche’ non era corretta.
iv) Nel periodo estivo, siccome arrivano in media solo tre persone ogni dieci minuti, una cassa `e sufficiente. Essa impiega in media tre minuti a servire la persona che ha davanti, se non ce ne sono altre, mentre solo due minuti quando ce ne sono altre in attesa. Calcolare la probabilit`a che in attesa ci sia al massimo una persona.
Esercizio 2. Consideriamo la funzione di distribuzione cumulativa Fα(x), dipendente dal parametro α positivo, che vale 0 per x < 0, 1 − (1 − xex−1)α per x ∈ [0, 1], ed 1 per x > 1.
i) Indichiamo con pnew.X.alpha e dnew.x.alpha i valori di tale cumu- lativa e della relativa densit`a, relativamente ad X ed alpha fissati. Scrivere le istruzioni che li calcolano. Indichiamo con qnew.t.alpha il quantile di ordine t. Scrivere le istruzioni che calcolano qnew.t.alpha, relativamente ad una coppia di numeri t ed alpha fissata. Attenzione: Fα non `e invertibile analiticamente.
ii) Supponiamo di trovare in rete una funzione di R che genera numeri
numeri aleatori nel caso α = 1, tracciano un istogramma e ad esso sovrap- pongono il grafico della relativa densit`a.
1 Soluzioni
Esercizio 1 i) Supponiamo che il processo Nt degli arrivi sia di Poisson.
Viene prescritto che E [N60] = 30, misurando il tempo in minuti. Siccome E [N60] = λ · 60, risulta λ = 1/2. Quindi
P (N3 ≥ 2) = 1 − X1
k=0
P (N3 = k) = 1 − e−1/2·3− e−1/2·31
2· 3 = 0. 442.
ii) Si devono usare le formule delle code a due serventi, con λ = 1/2 e µ = 1/3 e calcolare 1 − π0+ π1.
iii) Se si continua ad usare come stato del sistema il numero di utenti, dagli stati 1, 2 e 3 non `e possibile indicare il tasso di uscita verso il basso.
Infatti, se non sappiamo quali serventi sono all’opera, non possiamo decidere il tasso. Bisogna quindi specificare se sta lavorando la cassa pi`u veloce, negli stati con 1, 2 o 3 casse al lavoro (da quattro in su `e tutto univoco). Questo risponde all’ultima domanda.
Gli stati sono quindi 0, 4, 5, 6 ecc. e poi 1L = una cassa lenta che lavora, 1V = la cassa veloce che lavora, 2LL, 2 LV, 3LLL, 3LLV con ovvio significato.
Ora possiamo specificare tutti i tassi in discesa:
1L1/3→ 0, 1V 1/2→ 0
e poi
2LL
1 3+13
→ 1L, 2LV
1
→ 1V,3 2LV
1
→ 1L2
3LLL
1 3+13+13
→ 3LL, 3LLV
1 3+13
→ 2LV, 3LLV
1
→ 2LL2
dove i tassi con le somme sono stati decisi sulla base del teorema sul minimo di v.a. esponenziali, ed infine
4
1 3+13+13
→ 3LLV, 4
1
→ 3LLL2
come sopra. Circa i tassi di crescita, da 0 si pu`o passare a 1L o 1V, con scelta casuale del cliente; egli deve scegliere tra quattro casse, di cui tre lente ed una veloce; il tasso generale di crescita `e λ = 1/2, che deve essere la somma degli altri due, quindi
Analogamente, da 1L il prossimo cliente che arriva deve scegliere tra le tre casse vuote, quindi
1L
2 3λ
→ 2LL, 1L
1 3λ
→ 2LV.
Pi`u semplice `e 1V → 2V L. Analogamenteλ 2LL
1 2λ
→ 3LLL, 2LL
1 2λ
→ 3LLV.
mentre 2LV → 3LLV . Infine, sempre semplice, 3LLLλ → 4, 3LLVλ → 4.λ iv) Lo stato del sistema `e il numero di utenti nel sistema. Il tasso di arrivo
`e λ = 103. Dallo stato 1, il tasso di servizio `e µ− = 13. Da tutti i successivi `e µ+= 12. Dobbiamo calcolare π0 + π1+ π2.
Vale
ak = µ λ
µ−
¶k
per k = 0, 1 a1+j =
µ λ µ−
¶ µ λ µ+
¶j
per j = 0, 1, 2, ...
a = 1 + X∞ j=0
µ λ µ−
¶ µ λ µ+
¶j
= 1 + µ λ
µ−
¶ 1
1 − µλ+ = 3. 25
π0+ π1+ π2 = 1 a +a1
a + a2 a = 1
3. 25 µ
1 + 9 10 + 9
10 6 10
¶
= 0.75.
Esercizio 2. i) Per la cumulativa:
X<-...
alpha<-...
pnew.X.alpha<-1-(1-X*exp(X-1))^alpha Per la densit`a:
X<-...
alpha<-...
dnew.X.alpha<-alpha*exp(X-1)*(1+X)*
(1-X*exp(X-1))^(alpha-1) in quanto
D¡ 1 −¡
1 − xex−1¢α¢
= α¡
1 − xex−1¢α−1¡
ex−1+ xex−1¢
= αex−1(1 + x)¡
1 − xex−1¢α−1 Per il quantile:
t<-...
alpha<-...
X<-(1:10000)/10000
pnew.X.alpha<-1-(1-X*exp(X-1))^alpha
qnew.t.alpha <- X[which.min(abs(pnew.X.alpha-t))]
ii)
Y<-rnew(100,1)
hist(Y,20,freq=FALSE) X<-(1:1000)/1000 Y<-exp(X-1)*(1+X) lines(X,Y)
