Metodi e Modelli Matematici di Probabilit` a per la Gestione
Prova scritta – 13/01/2010
Esercizio 1. Studiamo un grande negozio di abbigliamento.
i) Supponiamo (nel pomeriggio) che il numero medio di persone che entra ogni 10 minuti sia 5. Partendo da questo dato, ragionando il pi`u rigorosa- mente possibile, calcolare la probabilit`a che in un minuto entri pi`u di una persona (due o pi`u).
ii) Supponiamo che ci siano 3 casse aperte, ciascuna che serve una persona ogni 2 minuti. Per semplicit`a si supponga che la coda sia unica, per le tre casse. Calcolare la probabilit`a che almeno una cassa sia libera.
iii) Ad un certo punto una delle tre cassiere finisce il suo orario di servizio e viene sostituita da un cassiere maschio, piuttosto lento, che impiega media- mente 4 minuti a servire una persona. Ogni cliente che al suo arrivo trova pi`u di una cassa vuota, sceglie una cassa a caso. Disegnare il grafo della catena di Markov, con i tassi di transizione, spiegando il ragionamento svolto nel calcolo dei tassi meno banali. Illustrare qual’era la soluzione alternativa pi`u banale e spiegare con precisione perche’ non era corretta.
iv) Al mattino arriva meno gente, in media una persona ogni 5 minuti. Si decide allora di tenere una sola cassa aperta, che serve in media in quattro minuti se oltre alla persona in fase di servizio non c’`e nessuno in coda (impiega quattro minuti perche’ propone l’attivazione di una tessera a punti), mentre impiega solo due minuti se c’`e qualcuno in coda. Quanto spesso `e necessario che la cassiera rinunci a proporre la tessera?
Esercizio 2. Consideriamo la funzione di distribuzione cumulativa Ft(x), dipendente dal parametro t positivo, che vale 0 per x < 0, 1 per x > 1 e vale 1 − (1 − x2ex−1)tper x ∈ [0, 1]. Indichiamo con p.X.t e d.x.t i valori di tale cumulativa e della relativa densit`a, relativamente ad X e t fissati.
i) Scrivere le istruzioni che li calcolano. Indichiamo con q.alpha.t il quantile di ordine alpha. Scrivere le istruzioni che calcolano q.alpha.t, relativamente ad una coppia di numeri t ed alpha fissata. Attenzione: Ft
non `e invertibile analiticamente.
ii) Supponiamo di trovare in rete una funzione di R che genera numeri aleatori col comando r(n,t). Scrivere i comandi che generano 100 numeri aleatori nel caso t = 2, tracciano un istogramma e ad esso sovrappongono il grafico della relativa densit`a.
1
1 Soluzioni
Esercizio 1 i) Supponiamo che il processo Nt degli arrivi sia di Poisson.
Viene prescritto che E [N10] = 5, misurando il tempo in minuti. Siccome E [N10] = λ · 10, risulta λ = 1/2. Quindi
P (N1 ≥ 2) = 1 − X1 k=0
P (N1 = k) = 1 − e−1/2− e−1/21
2 = 0.09.
ii) Si devono usare le formule delle code a tre serventi, con λ = 1/2 e µ = 1/2 e calcolare π0 + π1+ π2.
iii) Se si continua ad usare come stato del sistema il numero di utenti, dagli stati 1 e 2 non `e possibile indicare il tasso di uscita verso il basso.
Infatti, se non sappiamo quali serventi sono all’opera, non possiamo decidere il tasso. Bisogna quindi specificare se sta lavorando il cassiere lento, negli stati con 1 o 2 casse al lavoro (da tre in su `e tutto univoco). Questo risponde all’ultima domanda.
Gli stati sono quindi 0, 3, 4, 5, ecc. e poi 1V = una cassa veloce che lavora, 1L = la cassa lenta che lavora, 2VV, 2 VL con ovvio significato. Ora possiamo specificare tutti i tassi in discesa:
1V 1/2→ 0, 1L1/4→ 0 e poi
2V V
1 2+12
→ 1V, 2V L
1
→ 1V,4 2V L
1
→ 1L2
dove il primo tasso `e deciso sulla base del teorema sul minimo di v.a. espo- nenziali, ed infine
3
1 2+12
→ 2V L, 3
1
→ 2V V4
come sopra. Circa i tassi di crescita, da 0 si pu`o passare a 1V o 1L, con scelta casuale del cliente; egli deve scegliere tra tre casse, di cui due veloci ed una lenta; il tasso generale di crescita `e λ = 1/2, che deve essere la somma degli altri due, quindi
0
2 3λ
→ 1V, 0
1 3λ
→ 1L.
Analogamente, da 1V il prossimo cliente che arriva deve scegliere tra le due casse vuote, quindi
1V
1 2λ
→ 2V V, 1V
1 2λ
→ 2V L.
2
Pi`u semplice `e 1L→ 2V L. Infine, sempre semplice, 2V Vλ → 3, 2V Lλ → 3.λ iv) Lo stato del sistema `e il numero di utenti nel sistema. Il tasso di arrivo
`e λ = 15. Dallo stato 1, il tasso di servizio `e µ− = 14. Da tutti i successivi `e µ+= 12. Dobbiamo calcolare 1 − π0− π1.
Vale
ak = µ λ
µ−
¶k
per k = 0, 1
a1+j = µ λ
µ−
¶ µ λ µ+
¶j
per j = 0, 1, 2, ...
a = 1 + X∞
j=0
µ λ µ−
¶ µ λ µ+
¶j
= 1 + µ λ
µ−
¶ 1
1 −µλ+ = 2. 333
1 − π0− π1 = 1 − 1 a −a1
a = 1 − 1 2. 333−
4 5
2. 333 = 0.228.
Esercizio 2. Esercizio 2. i) Per la cumulativa:
X<-...
t<-...
p.X.t<-1-(1-X^2*exp(X-1))^t Per la densit`a:
X<-...
t<-...
d.X.t<-t*x*exp(X-1)*(2+X)*
(1-X^2*exp(X-1))^(t-1) in quanto
D
³ 1 −¡
1 − x2ex−1¢t´
= t¡
1 − x2ex−1¢t−1¡
2xex−1+ x2ex−1¢
= txex−1(2 + x)¡
1 − x2ex−1¢t−1 Per il quantile:
alpha<-...
t<-...
X<-(1:10000)/10000
p.X.t<-1-(1-X^2*exp(X-1))^t
q.alpha.t <- X[which.min(abs(p.X.t-alpha))]
3
ii)
Y<-r(100,2)
hist(Y,20,freq=FALSE) X<-(1:1000)/1000
Y<-2*x*exp(X-1)*(2+X)*(1-X^2*exp(X-1)) lines(X,Y)
4
