Metodi e Modelli Matematici di Probabilit`a per la Gestione Prova scritta C – 21/12/2009

Metodi e Modelli Matematici di Probabilit` a per la Gestione

Prova scritta C – 21/12/2009

Esercizio 1. In periodo di esodo per le vacanze, sull’A1 una grande area di servizio lavora a pieno regime. In media ogni 10 secondi una nuova macchina si ferma all’area di servizio. Di queste, un sesto si recher`a diret- tamente al rifornimento benzina, la met`a prima al luogo di ristoro e poi al rifornimento, un terzo solo al ristoro.

i) Cosa sapete dire della grandezza aleatoria: numero di macchine entrate nell’area di servizio tra le 11 e le 12? Giustificare accuratamente la risposta.

ii) Una generica persona che si ferma al ristoro impiega un tempo aleatorio di media 3 minuti a scegliere un prodotto che poi va a pagare all’unica cassa aperta, dove confluiscono tutti coloro che vanno al punto di ristoro, e poi esce.

La cassa serve una persona in media ogni 10 secondi. Mediamente, quanto tempo trascorre una persona all’interno del ristoro? (Rispondere descrivendo tutti i dettagli, ad es. il sistema markoviano della cassa).

Esercizio 2. Esaminiamo il controllo passaporti in un aeroporto in en- trata per gli Stati Uniti. Supponiamo che un controllo duri in media 5 minuti.

i) In una fase non di punta, trascorrono in media 10 minuti tra un arrivo e l’altro e quindi viene aperto un solo banco di controllo. Supponiamo che l’addetto al controllo, appena termina di controllare l’ultima persona che ha di fronte si assenti per un tempo esponenziale di media 5 minuti. In nes- sun’altra situazione l’addetto si allontana dal banco. Descrivere il sistema con un modello markoviano (in particolare, disegnare il grafo coi tassi di tran- sizione, spiegare la scelta fatta per la transizione allo stato senza addetto).

Al solo scopo di capire se in questa nuova situazione il sistema rag- giunge l’equilibrio, che ragionamento non rigoroso ma intuitivamente plausi- bile potreste fare?

ii) In orario di punta il tempo medio tra un arrivo e l’altro `e di 2 minuti.

Per motivi di sicurezza si vuole un numero medio di persone nell’area di controllo inferiore a 20. Mostrare che tre banchi sono sufficienti.

Esercizio 3. Esaminiamo i dati, di 10 nazioni mondiali, relativi a 4 indi- catori: due legati alla ricerca teorica, due al turismo. Chiamiamo X₁, X₂, X₃, X₄ le variabili aleatorie corrispondenti a questi indicatori. Supponiamo che i dati siano standardizzati, che le variabili X₁ e X₂ siano molto correlate negativa- mente, che le variabili X₃ e X₄ siano molto correlate positivamente, e che i

due gruppi X₁, X₂ e X₃, X₄ siano molto scorrelati. Sia A la matrice in R che contiene questi dati (4 colonne, 10 righe).

Eseguendo l’analisi in componenti principali, cosa vi aspettate di vedere nel piano principale? Sapendo che la matrice di covarianza ha due coppie di autovalori uguali, come pu`o essere fatta tale matrice, una volta diago- nalizzata, se la varianza spiegata dal piano principale `e il 90% (giustificare accuratamente la risposta)?

Esercizio 4. Si consideri la funzione di distribuzione cumulativa F_λ(x) che vale 0 per x < 0 e

F_λ(x) = 1 − exp −λx^2.7

per x ≥ 0.

Dipende dal solo parametro λ > 0. Dati q ∈ (0, 1) e λ > 0, calcolare x tale che F_λ(x) = q.

[Si intende che la risposta alla domanda 4 dev’essere la descrizione di come si farebbe con R a svolgere quelle cose, elencando i comandi e commen- tando la risoluzione.]

1 Soluzioni

Esercizio 1 (16/06/2009). i) Alle ore 11 possiamo riazzerare l’orologio degli arrivi per la propriet`a di assenza di memoria e cos`ı ripartire con un processo di Poisson. Il tempo medio di interarrivo `e di 10 secondi, quindi il parametro λ del processo di Poisson `e ₁₀¹ sec⁻¹ oppure 6 min⁻¹. Useremo i minuti nel seguito. Il numero N₆₀ di arrivi nei 60 minuti prescritti `e una v.a. di Poisson di parametro λ · 60 = 360.

ii) La cassa `e una coda M/M/1 con tasso di arrivo 5 min⁻¹ (5/6 del tasso di arrivo all’area) e tasso di servizio 6 min⁻¹, quindi ρ = ⁵₆. Il tempo totale

`

e la somma del tempo di ricerca del prodotto da comprare pi`u il tempo di permanenza nella coda della cassa. Per la linearit`a del valor medio, il tempo medio `e la somma dei due, quindi

3 + E [T_perm] = 3 + 1 µ

1

1 − ρ = 3 + 1 = 4 minuti.

Esercizio 2 (12/01/2009). i) Il generico stato deve dare due informazioni:

il numero k di utenti nel sistema, e l’informazione se il banco sia attivo (A) o meno (B). La transizione da A a B pu`o avvenire solo se siamo nello stato (1, A).

Le transizioni possibili sono (con λ = ₁₀¹ min⁻¹, µ = ¹₅ min⁻¹) (k, A)→ (k + 1, A) ,^λ k ≥ 0

(k, A) → (k − 1, A) ,^µ k ≥ 2 (1, A)→ (0, B)^µ

(k, B)→ (k + 1, B) ,^λ k ≥ 0 (k, B)

1

→ (k, A) ,5 k ≥ 0.

Si noti che non abbiamo inserito (0, A) → (0, B), ma (1, A)^µ → (0, B), in^µ quanto l’addetto si assenta immediatamente dopo l’ultimo servizio, non in un generico momento in cui il sistema `e vuoto.

Un modo intuitivo di capire se si raggiunge o meno l’equilibrio `e il seguente.

Quando ci sono k ≥ 2 persone nel sistema e l’addetto `e al lavoro, il sistema

non collassa (ρ = ¹₂). Quando, trovandosi in k = 1, capita che l’addetto si as- senti, nei 5 minuti arrivano in media 5 · λ = ¹₂ persone, comunque un numero distribuito secondo Poisson di parametro ¹₂ (non quindi quantit`a che possano portare al collasso mentre `e via). Poi l’addetto rientra, trova un numero aleatorio ma comunque mediamente basso di persone l`ı in coda, ed inizia a servirle ripristinando un’usuale coda M/M/1 non esplosiva. Non esiste, in particolare, alcun fenomeno di accumulo delle persone arrivate in diverse pause (tra una pausa e l’altra bisogna che le persone nel sistema tornino a zero).

ii) Calcoliamo il numero medio di utenti nel sistema nel caso di 3 serventi, con λ = ¹₂ min⁻¹, µ = ¹₅ min⁻¹. Dobbiamo calcolare

∞

X

k=0

kπk =

∞

X

k=1

kπk

dove, nel caso di 3 serventi, vale π_k= 1

a λ^k

k!µ^k per k = 0, 1, 2 π_3+k = 1

a λ³

3!µ³ρ^k per k ≥ 3 dove ora ρ = ⁵₆,

a = λ⁰

0!µ⁰ + λ¹

1!µ¹ + λ²

2!µ² + λ³ 3!µ³

1

1 − ρ = 22. 25.

Quindi

∞

X

k=1

kπ_k = π₁+ 2 · π₂+

∞

X

n=3

nπ_n= 1 a

 λ µ+ λ²

µ²

 + 1

a λ³ 3!µ³

∞

X

k=0

(k + 3) ρ^k

= 1 a

 λ µ+ λ²

µ²

 + 1

a λ³ 3!µ³

ρ

(1 − ρ)² +3 a

λ³ 3!µ³

1

1 − ρ = 6. 01.

Esercizio 3 (15/12/2008). Ci aspettiamo di vedere le frecce rosse rel- ative ad X1, X2 abbastanza allineate, quelle relative ad X3, X4 sostanzial- mente dirette in senso opposto, mentre le due di X₁, X₂ e le due di X₃, X₄ sostanzialmente ortogonali (salvo che per motivi di proiezione non lo siano).

Se la varianza spiegata dal piano principale `e 0.9 e gli autovalori sono uguali a coppie, la matrice in forma diagonale deve essere del tipo









a 0 0 0 0 a 0 0 0 0 b 0 0 0 0 b









con _2a+2b^2a = 0.9, da cui a = ^0.9_0.1b = 9b. Inoltre i dati sono standardizzati, quindi 2a + 2b = 4 (la traccia non cambia, ed inizialmente vale 4). Quindi La forma diagonale `e del tipo









1.8 0 0 0

0 1.8 0 0

0 0 0.2 0

0 0 0 0.2







 .

Esercizio 4 (16/06/2009). i) Si pu`o risolvere in vari modi. Uno molto sbrigativo, ma non generalizzabile a funzioni molto pi`u complicate, `e risolvere prima analiticamente l’equazione

q = F_λ(x) = 1 − exp −λx^2.7

nell’incognita x, cio`e exp (−λx^2.7) = 1 − q, −λx^2.7 = log (1 − q), x^2.7 =

−λ⁻¹log (1 − q), x = (−λ⁻¹log (1 − q))^1/2.7, quindi porre lambda<-...

q<-...

x<-(-log(1-q)/lambda)^(1/2.7)

dove al posto dei puntini si mettono i valori desiderati. Altre soluzioni basate sulla risoluzione approssimata di equazioni (ci sono due modi almeno) vanno benissimo e sono un po’ pi`u generali come struttura (necessitano per`o del difficile passo di determinare il range di certi parametri).