Metodi e Modelli Matematici di Probabilit` a per la Gestione
Prova scritta – 29/01/2009
Esercizio 1 (14 punti). Un ufficio dell’anagrafe effettua due tipi di servizio, che richiedono tempi (aleatori esponenziali) Tid e Tds: fornisce carte d’identit`a e dichiarazioni sostitutive di atti notori.
Mediamente, ogni ora, arrivano 9 persone che desiderano la carta d’identit`a e 6 che hanno bisogno di una dichiarazione sostitutiva.
a) Immaginiamo la situazione pi`u semplice in cui E [Tid] = E [Tds]. Se l’ufficio ha un solo sportello aperto, quanto deve impiegare mediamente l’impiegato per un servizio, per garantire l’equilibrio?
b) In realt`a, mediamente, un impiegato per fare bene e senza rischi le operazioni necessarie ad un servizio impiega 5 minuti. Allora l’ordine ricevuto
`e il seguente: se nell’ufficio ci sono al massimo 6 persone inclusa quella che sta servendo, lavorer`a come si deve; con pi`u di 6 persone, deve accelerare e impiegare 3.5 minuti in media solamente. Dimostrare che la coda raggiunge l’equilibrio.
c) Nella situazione precedente, calcolare il numero medio di persone che attendono, sedute nell’ufficio, di essere chiamate dall’impiegato.
Esercizio 2 (8 punti). Cerchiamo di descrivere con un processo di Markov a salti una situazione complessa che richiederebbe l’uso del continuo per gli stati possibili del sistema. Idealizzando, immaginiamo di avere solo 4 stati.
Si tratta di 4 livelli diversi del mercato di un certo prodotto, detti A, B, C, D.
Come gi`a detto, decidiamo per assunto di usare un processo di Markov a salti, quindi supponiamo che il sistema resti in uno stato per un tempo esponenziale e poi effettui una transizione.
Supponiamo di avere le seguenti transizioni possibili: A → B, A → C, C → B, D → B, C → D, B → C.
i) In questo punto dell’esercizio, per semplicit`a, si elimini lo stato A e le sue transizioni. Supponiamo di non conoscere i tassi, ma solo le seguenti informazioni:
- quando il sistema `e in B (risp. in C, in D), l`ı resta per un tempo esponenziale di media 2 mesi (risp. 1 mese, 3 mesi);
- quando il sistema `e in C, 2 volte su 3 transisce in B.
Calcolare la probabilit`a all’equilibrio di essere in B.
ii) Ora consideriamo anche lo stato A. Inoltre, supponiamo che se il sistema si trova in A (risp. B, C, D) il guadagno giornaliero di una certa azienda sia di 500 euro (risp. 1000, 700, 500). Calcolare, all’equilibrio, il guadagno medio giornaliero di quell’azienda.
Esercizio 3 (8+3 punti). Nei vettori x, y, z, tutti di lunghezza 60, abbi- amo i valori di tre grandezze; x ed y sono relativi al grado di inquinamento, z al grado di salute delle persone. I 60 valori diversi corrispondono ai valori mensili degli anni 2000-2004, riferiti ad una certa zona geografica in dui la popolazione `e rimasta sostanzialmente costante negli anni considerati.
i) Sospettiamo che almeno uno tra x ed y influenzi z, o forse tutti e due.
Come possiamo esaminare questi nostri sospetti ed in base a cosa trarremo certe conclusioni piuttosto che altre (max. mezza pagina di svolgimento, solo le cose pi`u interessanti)?
ii) Piu precisamente, pensiamo che l’inquinamento impieghi un po’ di tempo a causare effetti negativi nelle persone. Supponiamo di aver deciso di usare Rˆ2 della regressione multipla come indicatore di influenza. Come possiamo determinare il ritardo pi`u attendibile tra inquinamento ed effetti sulla salute? Si decida per`o che sotto la numerosit`a 10, non consideriamo pi`u attendibili le analisi di legame tra variabili.
[Si intende che la risposta alle domande dev’essere la descrizione di come si farebbe con R a svolgere quelle cose, elencando i comandi e commentando la risoluzione.]
iii) Uno dei modelli del punto (i) `e Z = aX + bY + c + σε (ε di varianza unitaria). Chiamiamo varianza non spiegata dal modello la grandezza V ar[Z]σ2 (la percentuale di varianza di Z che `e propria dell’errore del modello). Sup- ponendo X, Y ed ε indipendenti, esprimere la varianza spiegata tramite le correlazioni tra Z ed X e tra Z ed Y .
1 Soluzioni
Esercizio 1. a) Gli arrivi per carte d’identit`a sono un processo di Poisson di parametro λid = 609 (in minuti−1), in quanto il numero medio di arrivi in 60 minuti `e 9 e deve essere uguale a 60 · λid. Mentre per le d.s. il parametro
`e λid = 606. La somma dei due processi `e Poisson di parametro λ = 9+660 = 14. Qui si arriva anche, pi`u intuitivamente, pensando che il tempo medio tra un arrivo e l’altro `e di 4 minuti. Se il tempo di servizio `e lo stesso, non serve distinguere le due categorie. Posto µ = E[T1
id], deve essere µ > λ quindi E [Tid] < 4 minuti.
b) I tassi di crescita sono tutti pari a λ = 14, mentre quelli di calo sono pari a µ−= 15 se si parte da k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, µ+= 3.51 per k > 6. Pertanto
ak = µ λ
µ−
¶k
per k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 a6+j =
µ λ µ−
¶6µ λ µ+
¶j
per j = 1, 2, ...
Vale
a = X6
k=0
µ λ µ−
¶k +
X∞ j=1
µ λ µ−
¶6µ λ µ+
¶j
= X5
k=0
µ λ µ−
¶k +
µ λ µ−
¶6 ∞X
j=0
µ λ µ+
¶j
dove la serie converge in quanto µλ+ < 1. Si raggiunge l’equilibrio.
c) Indicando con k il generico numero di persone nel sistema e con N la v.a. ‘numero di persone in attesa’, vale
E [Na] = X∞ k=1
(k − 1) πk= X∞ k=2
(k − 1) πk.
Inoltre, vale
a = 1 −
³ λ µ−
´6 1 −µλ− +
µ λ µ−
¶6 1
1 − µλ+ = 41. 776
πk = 1 a
µ λ µ−
¶k
per k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 π6+j = 1
a µ λ
µ−
¶6µ λ µ+
¶j
per j = 0, 1, 2, ...
quindi
E [Na] = X5 k=2
(k − 1)1 a
µ λ µ−
¶k +
X∞ j=0
(j + 5) 1 a
µ λ µ−
¶6µ λ µ+
¶j
= 1 a
X5 k=2
(k − 1) µ λ
µ−
¶k
+ 1 a
µ λ µ−
¶6Ã ∞ X
j=0
j µ λ
µ+
¶j + 5
X∞ j=0
µ λ µ+
¶j!
= 0.598 + 1 a
µ λ µ−
¶6
λ µ+
³ 1 − µλ+
´2 + 5 1 1 − µλ+
= 0.598 + 8.766 = 9.364.
Esercizio 2. i) Usiamo i simboli λAB ecc. per i tassi. Da B si va solo in C, quindi λBC = 12 (in mesi−1). Da D si va solo in B, quindi λDB = 13. Invece da C si va in B e D. Il tempo di permanenza nello stato C `e il minimo tra i tempi dei due orologi, quindi ha tasso λCB + λCD, che vale 1. Inoltre, siccome quando il sistema `e in C, 2 volte su 3 transisce in B, la probabilit`a di andare in B `e 23, che `e pari a λ λCB
CB+λCD = λCB1 . Quindi λCB = 23, λCD = 13. Le equazioni di bilancio sono
πB1
2 = πC2
3+ πD1 3 πC = πB1
2 πD1
3 = πC1 3
quindi ci conviene usare le ultime due trovando πB = 2πC, πD = πC, che sostituite in πB + πC + πD = 1 fornisce πC = 1/4, da cui poi πB = 1/2, π = 1/4. La probabilit`a richiesta `e π = 1/2.
ii) Se si conosce la teoria della classificazione degli stati, basta osservare che A `e transitorio, per cui non c’`e probabilit`a invariante su di esso. Al- trimenti, scriviamo le equazioni di bilancio con anche lo stato A, lasciando indeterminati i tassi di uscita da A:
πA(λAB+ λAC) = 0 πB1
2 = πC2
3 + πD1
3+ πAλAB πC = πB1
2 + πAλAC πD1
3 = πC1 3.
Ora, dalla prima equazione troviamo necessariamente πA = 0, quindi i ter- mini con πAspariscono anche dalle equazioni successive ed alla fine si ritrova la stessa soluzione di prima.
Il guadagno medio giornaliero `e pari ad euro
500πA+ 1000πB+ 700πC+ 500πD
= 10001
2 + 7001
4 + 5001
4 = 800.
Esercizio 3. Cenno di soluzione.
i) Per rispondere a questa domanda si possono descrivere correlazione 1- 1, regressione 1-1 e 2-1, discutere come Rˆ2 cambia da 1-1 a 2-1 per capire l’importanza di due invece che un fattore, valori p per decidere i fattori pi`u rilevanti.
ii) Fissato un ‘ritardo’ k, si introducono i vettori X.k <- X[1:(60-k)]
Y.k <- Y[1:(60-k)]
Z.k <- X[(k+1):60]
e si esegue lm(Z.k~X.k+Y.k) e si legge Rˆ2. Si sceglie il valore di k che produce il maggio Rˆ2 (si pu`o automatizzare la ricerca).
iii) Il procedimento `e identico a quello usato nel corso nel caso della regres- sione semplice. Calcolando V ar [Z] si trova una prima formula della varianza spiegata in termini delle varianze di X ed Y . Poi, calcolando Cov (Z, X) e Cov (Z, Y ) si trovano dei legami tra queste covarianze e le varianze di X ed Y , che vanno sostituiti nella formula della varianza spiegata trovata prima.
