Metodi e Modelli Matematici di Probabilit` a per la Gestione
Prova scritta – 23/07/2009
Esercizio 1 (18 punti). In un’impresa manifatturiera un operaio prende i semilavorati che gli arrivano, ad uno ad uno, e ne completa la lavorazione.
La sua lavorazione consiste in una prima operazione pi`u alcune rifiniture. La prima operazione pu`o essere svolta solo nell’arco di pochi minuti (tra i 10 e 20, indicativamente, ma questo dato non deve essere usato nel seguito, serve solo per capire l’idea del problema) dall’arrivo in coda del pezzo, altrimenti esso perde certe propriet`a di lavorabilit`a e deve essere rimandato indietro.
L’operaio impiega in media 2 minuti a svolgere la prima lavorazione e 5 minuti in totale (prima operazione pi`u rifiniture), per ogni esemplare.
Si stabilisce allora di seguire questa procedura: se in coda ci sono al pi`u tre pezzi (incluso il pezzo in lavorazione), li lavora completamente; appena ce ne sono pi`u di tre, effettua solo la prima operazione (anche del pezzo in corso di lavorazione); altri operai si prenderanno cura successivamente dei pezzi lavorati in modo incompleto. Ogni volta che la coda torna ad essere di al pi`u tre pezzi, l’operaio torna a svolgere il lavoro completo.
1) Lo stato del sistema sia il numero di pezzi nella coda dell’operaio (incluso l’eventuale pezzo in fase di lavorazione). Gli arrivi siano un processo di Poisson di tasso λ = 1/6. Il tempo sia misurato in minuti. Descrivere accuratamente i tassi di transizione.
2) Cerchiamo di capire quanto spesso scatta la lavorazione breve. Lo facciamo in modo approssimato col seguente trucco logico: studiamo il caso artificioso in cui l’operaio esegue sempre la lavorazione completa (qualsiasi sia il numero di pezzi) e calcoliamo la probabilit`a che in coda ci siano pi`u di tre pezzi, all’equilibrio. Qual’`e questa probabilit`a?
3) Torniamo al problema vero. Calcolare ora la probabilit`a che ci siano pi`u di tre pezzi, all’equilibrio. Senza svolgere i calcoli potremmo dire se `e maggiore o minore di quella trovata al punto 2?
4) Sempre per il problema vero, calcolare il numero medio di pezzi nel sistema.
Esercizio 2 (12 punti). i) Supponete che il vostro download di R sia incompleto e non ci sia la funzione qnorm(alpha,m,s), ma tutte le altre.
1
Come vi potete costruire la funzione mancante?
ii) Volete illustrare ad un amico alcune idee intuitive alla base del metodo delle componenti principali. Volete quindi mostrargli come appare una nuvola di punti gaussiani nel piano, avente una direzione pi`u allungata ed una meno, non parallele agli assi. Come fate con R?
iii) Volete usare le variabili esponenziali ma non riuscite a trovarle con l’help di R, quindi decidete di costruirvi da soli le funzioni *exp(...,...), con * uguale a d, p, q. Che fate?
[Si intende che la risposta alle domande dev’essere la descrizione di come si farebbe con R a svolgere quelle cose, elencando i comandi e commentando la risoluzione.]
2
1 Soluzioni
Esercizio 1. 1) Le transizioni k → k + 1 seguono il processo di Poisson, quindi avvengono con tassi di transizione uguali, pari a λ = 1/6.
Invece, le transizioni 1 → 0, 2 → 1, 3 → 2 avvengono con tasso µ1 = 1/5.
Mentre le transizioni 4 → 3, 5 → 4, ecc. avvengono con tasso µ2 = 1/2.
2) Si tratta di una semplice coda M/M/1 con tassi λ = 1/6 e µ = 1/5.
Quindi ρ = 56, πk = 16¡5
6
¢k
, per cui la probabilit`a richiesta `e X
k>3
1 6
µ5 6
¶k
= 1 − X3 k=0
1 6
µ5 6
¶k
= 0.482.
3) Nella situazione del punto 1, calcoliamo
a0 = 1, a1 = λ µ1 = 5
6, a2 = λ2 µ21 =
µ5 6
¶2 , a3 = λ3
µ31 = µ5
6
¶3
, ak = λk µ31µk−32 =
µ5 6
¶3µ 1 3
¶k−3
per k > 3
poi calcoliamo la loro somma X∞
k=0
ak = 1 +5 6 +
µ5 6
¶2 +
X∞ k≥3
µ5 6
¶3µ 1 3
¶k−3
= 2. 528 + µ5
6
¶3 1
1 − 13 = 3. 39 da cui
π0 = 1
3. 39, π1 = 5/6
3. 39, π2 =
¡5
6
¢2 3. 39, π3 =
¡5
6
¢3
3. 39, πk =
¡5
6
¢3 3. 39
µ1 2
¶k−3
per k > 3.
La probabilit`a richiesta `e
1 − 1 3. 39
à 1 + 5
6+ µ5
6
¶2 +
µ5 6
¶3!
= 0.084.
3
4) E’
X∞ k=0
kπk = 1 3. 39
à 5 6 + 2
µ5 6
¶2 + 3
µ5 6
¶3 +
µ5 6
¶3 ∞X
k>3
k µ1
3
¶k−3!
= 1
3. 39 Ã
5 6 + 2
µ5 6
¶2 + 3
µ5 6
¶3 +
µ5 2
¶3 ∞X
k>3
k µ1
3
¶k!
dove
X∞ k>3
k µ1
3
¶k
= X∞
k>0
k µ1
3
¶k
− 1 µ1
3
¶1
− 2 µ1
3
¶2
− 3 µ1
3
¶3
=
1
¡ 3
1 − 13¢2 − 1 µ1
3
¶1
− 2 µ1
3
¶2
− 3 µ1
3
¶3
= 0.0833.
In definitiva, X∞ k=0
kπk= 1 3. 39
à 5 6+ 2
µ5 6
¶2 + 3
µ5 6
¶3 +
µ5 2
¶3
· 0.0833
!
= 1. 552.
Esercizio 2. i) Dati m,s costruiamo un range plausibile delle x, che `e [m − 5s, m + 5s]:
x <- (1 : 1000)/1000*(10*s)+m-5*s
Per valori di α non troppo piccoli o grandi, il quantile sta in questo range.
Ora cerchiamo k per cui pnorm(x[k],m,s)
sia pi`u vicino possibile all’α assegnato. Il quantile `e x[k].
ii) I punti
x <-rnorm(1000,0,1) y <-rnorm(1000,0,2)
sono una nuvola con assi paralleli agli assi coordinati, allungata lungo l’asse y. Basta ruotarli con la matrice di componenti √12,√12, −√12,√12.
iii) Sappiamo che f (x) = λe−λx per x > 0, F (x) = 1 − e−λx per x > 0, da cui ricaviamo anche q = −λ1 log (1 − α). Basta implementare queste formule.
4
