Esercizio 1 (Formula di d’Alembert)

Equazioni Differenziali 1, L.M. in Matematica, A.A. 2012-2013.

Docente: Annalisa Cesaroni Foglio 6.

Esercizio 1 (Formula di d’Alembert). Sia dato il problema ai dati iniziali per l’equazione delle onde in dimensione 1







utt(x, t) − c²uxx(x, t) = 0 (x, t) ∈ R × (0, +∞) u(x, 0) = g(x) x ∈ R,

u_t(x, 0) = h(x) x ∈ R, con g ∈ C²(R), h ∈ C¹(R).

(i) Sia

v(x, t) = u_t(x, t) − cu_x(x, t).

Mostrare che v risolve l’equazione del trasporto omogenea v_t(x, t) + cv_x(x, t) = 0 (x, t) ∈ R × (0, +∞) con dato iniziale v(x, 0) = h(x) − g⁰(x).

Determinare esplicitamente v.

(ii) Mostrare che u risolve l’equazione del trasporto non omogenea ut(x, t) − cux(x, t) = v(x, t) (x, t)R × (0, +∞)

con dato iniziale u(x, 0) = g(x). Scrivere, utilizzando la formula di rappresentazione di v determinata nel punto precedente,la soluzione u.

Esercizio 2. Sia u ∈ C²(R³× [0, +∞) la soluzione del problema







u_tt(x, t) − ∆u(x, t) = 0 (x, t) ∈ R³× (0, +∞) u(x, 0) = g(x) x ∈ R³,

u_t(x, 0) = h(x) x ∈ R³,

con h, g funzioni regolari e con supporto compatto contenuto nella palla B(0, r).

i) Mostrare che per ogni t fissato la mappa x −→ u(x, t) ha supporto contenuto nell’anello

(t − r)⁺ ≤ |x| ≤ r + t ove (t − r)⁺= max(0, t − r).

(ii) Mostrare che esiste una costante C(r) > 0, che dipende solo da r, tale che sup

x∈R³

|u(x, t)| ≤ C(r) kgk_∞

t² + khk∞+ kDgk∞

t

 . Suggerimento: ricordare la formula di Kirchhoff.

1

2

Esercizio 3. Sia n = 3. Mostrare che esistono delle funzioni regolari α : (0, +∞) → R, α 6≡ 0, detta funzione di attenuazione dell’onda e β : (0, +∞) → [0, +∞), con β(0) = 0, detta funzione di ritardo tali che per ogni profilo regolare φ : R → R la funzione

u(x, t) = α(|x|)φ(t − β(|x|))

`

e un’onda sferica (cio`e `e una soluzione dell’equazione dell’onda sferica) in R³ \ {0} × R.

Mostrare che la costruzione di tali α, β non `e possibile per n = 2 e n > 3.

Esercizio 4. Sia u ∈ C² una soluzione del problema di Cauchy







u_tt(x, t) − c²u_xx(x, t) = 0 (x, t) ∈ R × (0, +∞) u(x, 0) = g(x) x ∈ R,

ut(x, 0) = h(x) x ∈ R.

Assumiamo che le funzioni h, g siano regolari e abbiano supporto compatto in R, contenuto nell’intervallo (−k, k), con k > 0. Definiamo l’energia cinetica

k(t) = 1 2

ˆ

R

u²_t(x, t)dx e l’energia potenziale

p(t) = c² 2

ˆ

R

u²_x(x, t)dx.

i) Mostrare che u(x, t) = 0 nell’insieme {(x, t) | |x| > k + ct}.

ii) Mostrare che k(t) + p(t) `e costante.

iii) Equipartizione dell’energia. Mostrare che esiste T > 0 tale che k(t) = p(t) per t ≥ T .

Suggerimento per iii): calcolare utilizzando la formula di D’Alembert u²_t − c²u²_x e mostrare che u²_t − c²u²_x = 0 per x ∈ R e t > k/c.