RAPPORTO INCREMENTALE E
DERIVATA DI UNA FUNZIONE
f(x) funzione reale di una variabile reale definita in un intorno di x
0x = (x
0+h)-x
0= h = incremento della variabile indipendente
y = f(x
0+h) – f(x
0) = incremento della
variabile dipendente
x0 x0 + h
x = h f(x0)
f(x0 + h)
y = f(x0 + h) - f(x0)
RAPPORTO INCREMENTALE
y
x = f(x 0 + h) - f(x 0 ) h
Vi ricorda
qualcosa… ?
x0 x0 + h
x = h f(x0)
f(x0 + h)
y = f(x0 + h) - f(x0)
Il rapporto incrementale è
il coefficiente angolare della retta passante
per il punto
(x
0; f(x
0))
e per il punto
(x
0+h; f(x
0+h))
COSA SUCCEDE SE SI FA TENDERE A ZERO
L’INCREMENTO
DELLA VARIABILE
INDIPENDENTE?
Dal punto di vista analitico si ha:
h
) f(x
h)
f(x 0 0
0 h
lim
h
) f(x
h)
f(x 0 0
0 h
lim
Si tratta, a prima vista, di
una forma indeterminata del
tipo [0/0]
h
) f(x
h)
f(x 0 0
0 h
lim
Questo limite, se esiste, si dice derivata della funzione
f(x) nel punto x
0La derivata della funzione f(x) nel punto x
0si indica
con una delle seguenti notazioni:
x
0dx x
dy
)
(x '
f 0
Questa è la “famosa”
notazione di Leibniz
x
0dx x
dy
E DAL PUNTO DI
VISTA GEOMETRICO?
x0 x0 + h
x f(x0)
f(x0 + h)
y
x0 x0 + h
x f(x0)
f(x0 + h)
y
x0 x0 + h
x f(x0)
f(x0 + h)
y
Il limite del rapporto incrementale
per h 0 è il coefficiente angolare della
retta tangente alla curva nel
punto di
ascissa x
0Il limite del rapporto incrementale
per h 0 è il coefficiente angolare della
retta tangente alla curva nel
punto di ascissa x
0... buono a sapersi!
... buono a sapersi!
Tangente alla curva di equazione y=f(x) nel punto di ascissa x
0m = f ’ (x0) (per quanto detto prima)
QUINDI, IMPONENDO L’APPARTENENZA DI P(x0, f(x0)) alla retta tangente:
y = f ’ (x
0) (x-x
0) + f(x
0)
UN PAIO DI ESEMPI
1) Tangente alla curva y=x2-3x+2 nel punto di ascissa -1
m = f ’(-1) = ...
h
2]
1) (
3 1)
[(
2]
h) 1
3(
h) 1
[(
h
f(-1) h)
f(-1
2 2
0 h
0 h
lim
lim
UN PAIO DI ESEMPI
1) Tangente alla curva y=x2-3x+2 nel punto di ascissa -1
m = f ’(-1) = ...
h 5
5) h(h
h
5) h(h
h
5h h
h
2 3
1 2
3h 3
h 2h
1
0 h 0
h 2
0 h
2 0
h
lim lim
lim
lim
UN PAIO DI ESEMPI
1) Tangente alla curva y=x2-3x+2 nel punto di ascissa -1
m = f ’(-1) = -5
y = -5[x –(-1)] + f(-1)
UN PAIO DI ESEMPI
1) Tangente alla curva y=x2-3x+2 nel punto di ascissa -1
m = f ’(-1) = -5
y = -5(x+1) + 6
y = -5x+1
UN PAIO DI ESEMPI
1) Tangente alla curva y=x2-3x+2 nel punto di ascissa -1
Niente male, vero?
Vi ricordate come avete calcolato, fino
ad ora, la tangente ad una parabola in
un punto ad essa appartenente?
UN PAIO DI ESEMPI
1) Tangente alla curva y=x2-3x+2 nel punto di ascissa -1
Fascio di rette con centro nel punto – sistema con l’equazione della
parabola – “delta”=0 nella risolvente
per trovare m
UN PAIO DI ESEMPI
1) Tangente alla curva y=x2-3x+2 nel punto di ascissa -1
Adesso abbiamo
un’alternativa interessante...
UN PAIO DI ESEMPI
1) Tangente alla curva y=x2-3x+2 nel punto di ascissa -1
... che in qualche caso diventa
l’unica strada percorribile...
UN PAIO DI ESEMPI
2) Tangente alla curva y=ex nel punto di ascissa 0
y=e
xnon è una conica... quindi possiamo scordarci fascio di rette e “delta”...
... l’unica possibilità che ci rimane è la
derivata e il suo significato geometrico.
UN PAIO DI ESEMPI
2) Tangente alla curva y=ex nel punto di ascissa 0
m = f ’(0) = ...
h
e e
h
f(0) h)
f(0
0 h 00 h
0
h
lim
lim
h
1 e
h0
lim
hUN PAIO DI ESEMPI
2) Tangente alla curva y=ex nel punto di ascissa 0
m = f ’(-1) = ...
h 1 1 e
h0
h
lim
UN PAIO DI ESEMPI
2) Tangente alla curva y=ex nel punto di ascissa 0
m = f ’(-1) = ...
UN PAIO DI ESEMPI
2) Tangente alla curva y=ex nel punto di ascissa 0
