Matematica Generale VS (2)
Esercizi di preparazione alla prima prova parziale (OLVDEHWWD0LFKHWWL
1) Determinare i punti di massimo e minimo relativi delle seguenti funzioni soggette ai vincoli di seguito indicati:
a) z=x y t c2 . . 2x+ − =y 5 0 (per via analitica)
0 0
b) z= ⋅x y t c x . . +2y− =1 0 (per via analitica) c) z= +y x t c y . . +x2 =0 (per via analitica) d) z=x2+y2 . . t c x y⋅ = −2 (per via grafica)
e) z=2y2−8 x t c. . 2y2−2x2+ =8 (per via analitica)
f) z=2x+2y+1 . . t c x2+y2− =2 (per via analitica e grafica)
g) 1 2 2
. . 2 4 11 0
z= +y 2x t c x +y − x− y− = (per via grafica) h) z= ⋅x y t c x . . + − =y 2 0 (per via grafica)
2) Determinare i punti di massimo e minimo relativi delle seguenti funzioni:
a) z=(2x2+y x)( −y) b) z=x y3 2 −3x y2 +2y2 c) z= y3+x y2 2−2x3
3) Determinare per via grafica il dominio delle seguenti funzioni:
a)
2 2
2 2 4 16 2
ln( 1)
1
x y x
z x
x y
− − + +
= +
− + + − −y
b) z=ln[(y−x2+ − −1)( x2 y2+2x+8)]− −xy
Scheda A: Esercizi di ricapitolazione con risoluzione
1) Determinare per via grafica il dominio della funzione
[ ] 2
ln ln
z= y− x + x − + . y x
2
2
ln 0 0
0 ln ,
1 1
2, 4
V V
y x
x
x y x
y x
y x x x y
⎧ − >
⎪ >
⎨⎪ − + ≥
⎩
=
= + ⇒ = − = −
DOMINIO: parte bianca (esclusi i punti appartenenti alla curva y=lnx e dell’asse y, inclusi i punti della parabola)
2) Determinare i punti di massimo e minimo relativi della funzione
3 2 2
2 2
z=x + x + +x y − y
( )
2
1,2 1 2
1 2
1 1 1
2 2
3 4 1 0 4 16 12 1
, , 1, 1
2 2 0 6 3
1,1 , 1,1 3
6 4 0 2 0
( , ) , det ( ) 4 0, ( ) 2 0 minimo
0 2 0 2
2 0
det ( ) 4 0 punto di sella 0 2
x y
xx
z x x
x x x y
z y
P P
H x y x H P z P P
H P P
⎧ = + + = − ± −
⎪ ⇔ = = − = − =
⎨ = − =
⎪⎩
⎛ ⎞
= −⎜⎝ ⎟⎠ = −
⎛ + ⎞
=⎜ ⎟ = = > = > ⇒
⎝ ⎠
= − = − < ⇒
3) Determinare i punti di massimo e minimo relativi della funzione:
2 1
z= x+ − soggetta al vincolo y x2 +y2− = 5 0
i
2 2
2 2
2
2
2 2 2 1,2
1 1 1 1 2 2 2 2
( , , ) 2 1 ( 5)
1
2 2 0
1 2 0 1
2
5 0 1 1 4 1 20 1 1
5 0, 0, ,
4 4 4 2
1 1 1 1
, 2, 1 2,1, ; , 2, 1 2, 1,
2 2 2 2
0 ( , , )
x y
L x y x y x y
x
L x
L y y
x y
x y P x y P
H x y
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ λ
λ λ λ
λ λ
λ
= + − − + −
⎧ =⎪
⎧ = − = ⎪
⎪ = − = ⇔⎪ =
⎨ ⎨
⎪ ⎪
+ − =
⎩ ⎪⎪⎩ + − = + − = = = ±
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = ⇒ =⎜⎝ ⎟⎠ = − = − = − ⇒ = − − −⎜⎝ ⎟⎠
= i
i
1 1
2 2
2 2 0 4 2
2 2 0 , det ( ) 4 1 0 20 0 massimo vincolato
2 0 2 2 0 1
0 4 2
det ( ) 4 1 0 20 0 minimo vincolato
2 0 1
x y
x H P P
y
H P P
λ λ
⎛ ⎞
⎜ − ⎟ = − = > ⇒
⎜ ⎟
⎜ − ⎟ −
⎝ ⎠
− −
= − = − < ⇒
−
4) Determinare per via grafica i punti di massimo e minimo relativi della funzione:
z= − soggetta al vincolo x y x2+ y2+2x−4y+ = 4 0
2 2
2 4 4 0 ( 1, 2), 1 4 4 1
x y x y C r
x y k y x k
+ + − + = ⇒ = − = + − =
− = ⇒ = −
M = massimo vincolato, m = minimo vincolato
