Universit`a di Pisa - Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale Fisica Generale II e Elettronica Appello 5 - 07/01/2019 Soluzioni

Universit` a di Pisa - Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale

Fisica Generale II e Elettronica Appello 5 - 07/01/2019

Soluzioni

PROBLEMA 1

1) All’interno delle lastre conduttrici il campo elettrico ` e nullo, all’esterno delle lastre conduttrici il campo elettrico ` e ortogonale alle lastre e uniforme, di intensit` a E = _2 ^Q

0

L

, e verso opposto tra i due lati della lastra I.

2) Le cariche elettriche sulle due superfici della lastra I (a sinistra) sono Q _{1,lef t} = Q _1,right = ^Q ₂

. Le cariche elettriche sulle due superfici della lastra II (centrale) sono Q _{2,lef t} = − ^Q ₂

e Q _2,right = ^Q ₂

. Le cariche elettriche sulle due superfici della lastra III (centrale) sono Q _{3,lef t} = − ^Q ₂

e Q _3,right = ^Q ₂

. 3) Il campo elettrico nelle due regioni comprese tra le lastre ` e lo stesso e vale E = ^V _2d

.

4) Si devono determinare le cariche elettriche presenti sulla lastra I (Q ₁ ), e sulla lastra III (Q ₃ ), la carica elettrica sulla lastra II e’ 0.

Si ha Q 1 − Q 3 =  0 V 0 L

d e Q 1 + Q 3 = Q 0 . Si ha Q ₁ = ^Q ₂

+ ^V _2d

 ₀ L ² e Q ₃ = ^Q ₂

− ^V _2d

 ₀ L ² -

Si ha Q _{1,lef t} = ^Q ₂

, Q _1,right = ^V _2d

 ₀ L ² , Q _{2,lef t} = − ^V _2d

 ₀ L ² , Q _2,right = + ^V _2d

 ₀ L ² . Q _{3.lef t} = ^V _2d

 ₀ L ² , Q _3,right = ^Q ₂

.

5) La equazione del circuito ` e V ₀ − RI = V _I − V _III . Si ha V ₀ − RI = _ ^d

0

L

(Q _I − Q _III , con I = _dt ^d Q _I =

− _dt ^d Q _III .

Si ha R _dt ^d I + _ ^d

0

L

2I =, che ` e equivalente alla equazione di un circuito RC con C _eq = ^

_2d ^L

, che ` e la serie di due condensatori con C = ^

_d ^L

. A t = 0 si ha V ₀ − RI(t = 0) − _ ^d

0

L

(Q _I (0) − Q _III (0)) = 0, con Q _I (0) = Q ₀ e Q _III (0) = 0. Si ha I(0) = (V ₀ − _ ^Q

^d

0

L

) _R ¹ . PROBLEMA 2

1) I coefficienti di mutua induzione sono L 1 = µ 0 N

πa

h e L 2 = µ 0 N

π4a

h = 4L 1 . Il coefficiente di mutua induzione tra i due solenoidi ` e M = µ ₀ ^N

_h ^πa

= L ₁ .

2) Le equazioni dei due circuiti sono rispettivamente, per il solenoide interno _dt ^d (L ₁ I ₁ ) + _dt ^d (M I ₂ ) = 0;

e per il solenoide esterno V 2 = R 2 I 2 + _dt ^d (L 2 I 2 ) + _dt ^d (M I 1 ) = 0.

3) In condizioni stazionarie tutte le derivate sono nulle. Si ha I ₂ = _R ^V

2

. Si ha L ₁ I ₁ + M I ₂ = 0, che corrisponde alla condizione inziale di correnti entrambe nulle. Si ottiene I ₁ = − _L ^M

1

I ₂ . Nel caso di M = L ₁ , si ha I ₁ = −I ₂ e di conseguenza I ₁ = − _R ^V

2

.

4) Si sostituisce I ₁ = −I ₂ nella equazione per il circuito 2, del solenoide esterno. Si ha V ₂ = R ₂ I ₂ − (L ₂ − M ) _dt ^d I ₂ . Si utilizza L _eq = L ₂ − M = 3L ₁ . Si ha I ₂ (t) = _R ^V

2

(1 − e ^−t/τ ), con τ = ^L _R

2

. 5) Nel caso che si rimuove il circuito interno bruscamente, M varia rapidamente.

Si ha _dt ^d φ(B ₁ ) >> V ₂ , R ₂ I ₂ . La equazione per il circuito 2 ` e _dt ^d (L ₂ I ₂ ) + _dt ^d (M I ₁ ) = 0. Si integra l’equazione e si ha L ₂ ∆I ₂ + ∆(M I ₁ ) = 0.

Si ha L ₂ (I _2,f − I _2,staz ) + M _f I _1,f − M _I

_,staz = 0, con M _f = 0.

Si ha I _2,f = I _2,staz + ^M _L

2

I _1,staz . Si ha I _2,f = ³ ₄ I _2,staz = ³ _{4 R} ^V

2

.