Esercizi su dominio limiti continuit`a - prof. B.Bacchelli
Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.1, 3.2. - Eser- cizi 3.1, 3.2.
ESERCIZI
* Determinare e disegnare il dominio delle seguenti funzioni, e stabilire se tali domini sono insiemi aperti o chiusi.
f (x, y) =√ 2x − y
D = {(x, y) ∈ R2| y ≥ 2x} , D `e insieme chiuso (il complementare `e aperto).
f (x, y) = ln(x4+ y4− 2x2y2)
D = {(x, y) ∈ R2| x 6= ± y } , D `e insieme aperto.
f (x, y) = xy
D = {(x, y) ∈ R2| x > 0} ∪ {(x, y) ∈ R2| x = 0 e y > 0} , D non `e n`e aperto n`e chiuso: (0, 0) ∈ Dc ma `e di frontiera per D.
f (x, y) = arcsin x q
x2+ (y − 1)2 D = {R2 (0, 1)}. Infatti
¯¯
¯¯
¯¯ q x
x2+ (y − 1)2
¯¯
¯¯
¯¯ ≤ 1 sempre, e il denomina- tore si annulla solo in (0,1).
f (x, y) = arctan x + y 1 − xy
D = {(x, y) ∈ R2| xy 6= 1} , La curva dei punti esclusi `e una iperbole equilatera. D `e insieme aperto.
f (x, y) =p
(x − y2)(x2− y)
D = {(x, y) ∈ R2| (x − y2)(x2− y) ≥ 0} , D `e insieme chiuso (il comple- mentare `e aperto).
Per disegnare D si tracci le curve della frontiera di D, y = x2 e x = y2, si osservi che ogni ”attraversamento” di tali curve implica un cambio di segno del prodotto (x − y2)(x2 − y), quindi si valuti il prodotto in un punto, per es. (0,1), e si deduca l’insieme D.
f (x, y) = y py2 − x2
D = {(x, y) ∈ R2| y < − |x| , y > |x|} , D `e insieme aperto.
f (x, y) = tanx2 y D =
(x, y) ∈ R2
¯¯
¯¯
¯¯
x2
y 6= π
2 + kπ, k ∈ Z y 6= 0
. I punti esclusi formano un fascio di parabole (disegnarne qualcuna), unione l’asse delle ascisse. D `e insieme aperto.
* Disegnare la curva di livello c = 1 delle seguenti funzioni, e studi- are come variano al crescere di c, e per c tendente a zero, immaginando l’andamento della funzione.
f (x, y) = x + y (piano) D = R2.
x + y = c fascio di rette parallele di coefficiente angolare −1.
f (x, y) = r1
y − x2 D =
(x, y) ∈ R2
¯¯
¯¯
¯¯
1 y ≥ x2 y 6= 0
= {(0, y), y > 0}∪
½
(x, y), 0 < y ≤ 1 x2
¾
D non `e n`e aperto, n`e chiuso(disegnare). Le curve di livello c si hanno solo per valori c ≥ 0. Le curve hanno equazione 1
y = c2+ x2. f (x, y) = y
x2+ y2
D = {R2 (0, 0)} . Per c = 0 la curva di livello `e l’asse delle ascisse y = 0.
Se c 6= 0 l’equazione della curva `e y = c(x2+ y2) : al variare di c `e un fascio di circonferenze di centro (0, 1
2c) e passanti per (0,0).
f (x, y) =p y + x2
D = {y ≥ −x2} cio`e i punti che ”stanno sopra” alla parabola di equazione y = −x2. D `e chiuso (il complementare `e aperto).
Le curve di livello hanno equazione y = −x2 + c2, per c ≥ 0: al variare di c formano un fascio di parabole di asse x = 0, ciascuna `e una traslazione verticale della y = −x2.
LIMITI
N.B. Per funzioni di pi`u variabili, i ”modi” con cui un punto x si avvicina ad a sono infiniti: per provare che L (o +∞, o -∞) `e il limite, occorre
”liberarsi dal modo di avvicinamento”. A tal fine nelle forme di indecisione pu`o essere opportuno usare delle maggiorazioni, per esempio in R2
x2
x2+ y2 ≤ 1, |xy|
x2+ y2 ≤ 1
2, |x|
px2+ y2 ≤ 1
o anche `e noto che |sin t| ≤ |t| , e per |t| > |t0| (opportuno) si hanno le maggiorazioni t2 ≥ 2 |t| , log |t| ≤ α |t|β, |t| ≤ e|t|, eccetera.
Pu`o essere utile passare in coordinate polari: in R2 sono cos`ı espresse: se x = (x, y) e a = (a, b), allora
½ x = a + ρ cos θ y = b + ρ sin θ ρ = |x − a| =p
(x − a)2+ (y − b)2, cos θ = x − a
ρ , sin θ = y − b ρ
e sapere che e per ogni θ ∈ [0, 2π) : cos2θ + sin2θ = 1, |cos θ sin θ| ≤ 1 2 (si applichi |xy|
x2+ y2 ≤ 1
2 opportunamente), (cos θ)2n+ (sin θ)2n ≥ m > 0 (si applich il teorema di Weierstrass opportunamente).
* Mediante la definizione di limite provare
(x,y)→(2,2)lim x y = 1 Svolgendo la disequazione
¯¯
¯¯x y − 1
¯¯
¯¯ < ε, 0 < ε < 1, per x > 0 (poich`e x → 2) si ottiene 1
1 + εx < y < 1
1 − εx, quindi la definizione `e soddisfatta con δ la distanza del punto (2, 2) dalla retta y − 1
1 + εx = 0.
* Mediante la definizione di limite provare
(x,y)→(0,0)lim
¡x2cos y − y2sin x¢
= 0
Si ha |f (x, y) − 0| ≤ x2+ y2; quindi |f (x, y)| < ε se x2+ y2 < ε, cio`e la definizione `e soddisfatta con δ =√
ε.
* Mediante la definizione di limite provare
(x,y)→(0,0)lim 1
x2+ y2 = +∞
Si ha |f (x, y)| > M ⇔ x2 + y2 < 1
M, e la definizione `e soddisfatta con δ =
r 1 M.
* Mediante la definizione di limite provare
(x,y)→∞lim x
x2+ y2 = 0
Dobbiamo verificare che ∀ε > 0 ∃K > 0 tale che se |(x, y)| > K allora
|f (x, y)| < ε; si ha
p |x|
x2+ y2 ≤ 1 quindi |f (x, y)| ≤ 1
px2+ y2, e la definizione `e soddisfatta con K = 1 ε.
* Calcolare il limite λ, se esiste.
lim(x,y)→(2,−1)(xy + x2)
λ = −2 + 4 = 2 (essendo funzione continua) lim(x,y)→(0,0)(x2+ y2) sin( 1
x + y)
|f (x, y)| ≤ x2+ y2 → 0 ⇒ λ = 0
lim(x,y)→(0,0)
x x2+ y2
non esiste: f (0, y) = 0 → 0, f (x, 0) = 1
x → ∞ : se esiste il limite, `e unico.
lim(x,y)→(0,0)
xy2 x2+ y4
non esiste: f (0, y) = 0 → 0, f (y2, y) = 1
2 → 1/2
lim(x,y)→(0,0)
x2 x2+ y2
non esiste: f (0, y) = 0 → 0, f (x, x) = 1/2 → 1/2.
lim(x,y)→(0,0)
x2y 3x2 + y2
¯¯
¯¯ x2y 3x2+ y2
¯¯
¯¯ ≤ 1
3|y| → 0 ⇒ λ = 0 (teorema del confronto).
lim(x,y)→(1,0)
(x − 1)y (x − 1)2+ |y|
|f (x, y)| ≤ |x − 1| → 0 ⇒ λ = 0
lim(x,y)→(0,0)
sin(x − y) + 1 cos(x + y)
f `e continua in un intorno di (0,0) ⇒ λ = f (0, 0) = 1.
lim(x,y)→(0,0)
2x2 − xy x2 − y2
non esiste: f (0, y) = 0 → 0, f (x, x + x2) = x2− x3
−2x3− x4 → ∞.
lim(x,y)→(0,0)
xy3 x2+ y2
¯¯
¯¯ xy3 x2 + y2
¯¯
¯¯ ≤ |xy| → 0 ⇒ λ = 0
lim|x,y|→+∞e−(x2+y2)x
passando in coordinate polari vediamo il limite limρ→+∞f (ρ cos θ, ρ sin θ)
|f (ρ cos θ, ρ sin θ)| =
¯¯
¯ρ cos θe−ρ2
¯¯
¯ ≤ ρe−ρ2 → 0 se ρ → +∞.
⇒ λ = 0.
lim(x,y)→(0,0)
x5y3 (x2 + y2)3
occorre passare in coordinate polari. x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, per ρ → 0, uniformemente rispetto a θ ∈ [0, 2π]
Poich`e |cos θ| ≤ 1, e |sin θ| ≤ 1, allora:
0 ≤ |f (ρ cos θ, ρ sin θ)| =
¯¯
¯¯ρ8cos5θ sin3θ ρ6
¯¯
¯¯
= |ρ2| |cos5θ|¯
¯sin3θ¯
¯ ≤ ρ2 → 0 ⇒ λ = 0
lim(x,y)→(0,0)
xy3 (x2 + y2)3
poich`e f (0, y) = 0 → 0, ma f (x, x) = x4
8x6 = 1
8x2 → +∞, allora il limite non esiste.
lim(x,y)→∞(x2+ y2− ex2− ey2)
Si ha che per x > x0, y > y0, ex2 > 2x2, ey2 > 2y2. Quindi
f (x, y) < x2+ y2− 2x2− 2y2 = −x2 − y2 → −∞ ⇒ λ = −∞
Determinare g(x) in modo che f sia continua: f (x, y) =
x3− y3
x − y , se x 6= y g(x), se x = y g(x) = 3x2
